Produit scalaire exercices corrigés [Vidéo] (Première)

Dans cette vidéo, nous allons étudier des petits exercices sur le produit scalaire de deux vecteurs.

Je vais t’expliquer comment appliquer les formules du produit scalaire et surtout quelle formule appliquer dans une situation précise.

Tu as du mal à savoir quand appliquer telle ou telle formule du produit scalaire ? Viens donc voir cette vidéo et tu auras la réponse à ta question !

Exercices corrigés sur le produit scalaire : la vidéo

Produit scalaire : quelle formule appliquer ?

Produit scalaire : rappels des 4 formules

Je te rappelle que, pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs du plan, tu as 4 formules :

– la formule utilisant les normes des vecteurs;

– la formule avec les coordonnées des vecteurs;

– la formule avec le projeté orthogonal d’un vecteur sur l’autre vecteur;

– la formule avec le cosinus de l’angle formé par les deux vecteurs.

Pour revoir les différentes formules du produit scalaire et les propriétés importantes, va voir ou revoir la première vidéo sur le produit scalaire.

Produit scalaire : quand utiliser la formule avec les normes ?

Tu utiliseras la formule du produit scalaire avec les normes des vecteurs lorsque tu auras une figure ou un énoncé avec des longueurs données.

Laquelle des 2 formules avec les normes choisir ?

– La 1ère formule du produit scalaire avec les normes est : $latex \boxed{\overrightarrow{u} \ . \ \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2)}$.

Tu prendras plutôt cette 1ère formule lorsque le vecteur $latex \vec{u}+\vec{v}$ se simplifie bien en un seul vecteur, par exemple $latex \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ grâce à la relation de Chasles.

– La 2ème formule du produit scalaire  avec les normes est : $latex \boxed{\overrightarrow{u} \ . \ \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2)}$.
Tu prendras plutôt cette 2ème formule lorsque le vecteur $latex \vec{u}-\vec{v}$ se simplifie bien en un seul vecteur, par exemple $latex \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ toujours grâce à la fameuse relation de Chasles.

Produit scalaire : quand utiliser la formule avec les coordonnées ?

Hé bien tout simplement lorsque tu travailles dans un repère orthonormé, la formule du produit scalaire avec les coordonnées semble la plus adaptée.

Je te la rappelle : dans un repère orthonormé, si $latex \vec{u}(x \ ; \ y)$ et $latex \vec{v}(x’ \ ; \ y’)$ alors $latex \boxed{\overrightarrow{u} \ . \ \overrightarrow{v}=xx’+yy’}$.

Produit scalaire : quand utiliser la formule avec le projeté orthogonal ?

En général, ce procédé s’utilise dans une figure qui contient des angles droits comme un carré ou un rectangle.

Pourquoi ? Hé bien tout simplement parce que lorsque deux vecteurs $latex \vec{u}$ et $latex \vec{v}$ sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul : $latex \overrightarrow{u} \ . \ \overrightarrow{v}=0$.

Si ta figure contient des angles droits elle contient tout plein de vecteurs orthogonaux ! La formule du produit scalaire avec le projeté orthogonal d’un vecteur sur l’autre est alors bien pratique !

Produit scalaire : quand utiliser la formule avec le cosinus ?

Je te rappelle cette formule : $latex \boxed{\overrightarrow{u} \ . \ \overrightarrow{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times cos(\vec{u} \ ; \ \vec{v})}$.

Tu utiliseras cette formule lorsque tu connaîtras la mesure de l’angle formé par un sommet de ta figure.

Des exercices sur le produit scalaire pour s’entraîner

Pour t’entraîner et vérifier si tu as compris comment appliquer ces formules du produit scalaire, télécharger la feuille d’exercices sur le produit scalaire de deux vecteurs ici.

Pour vérifier tes résultats et t’améliorer, voici le corrigé des exercices sur le produit scalaire.

Alors, as-tu compris comment appliquer les formules du produit scalaire ? Sais-tu quelle formule appliquer dans un calcul de produit scalaire ?

Laisse ta réponse dans les commentaires juste en-dessous, merci à toi !

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Commentaires

  • boutin :

    Bonjour, j'ai une question pour la question 2 de l'exercice 4, je ne comprend pas pourquoi dans le corrigée il y a le signe moins quand on développe (AB² + BC2) = AB² - 2 vecteur BA.BC + BC² . Parce que l'identité remarquable (a+c)² = a² + 2ab + c² . Donc est-ce que c'est une erreur de ma part ?

    • Corinne Huet :

      J'ai tout simplement remplacé +2AB par -2BA (en vecteurs).

  • annissa :

    svp aidez-moi à faire un exercice difficile du produit scalaire

    • Corinne Huet :

      As-tu regardé la vidéo ? Tout y est normalement et elle devrait t'aider à traiter ton exercice.

  • Léna :

    Bonjour, Merci pour votre travail ! Ayant du mal avec mon professeur cette année, votre site m'aide beaucoup ! Je suis actuellement en train de faire votre fiche d'exercices, et je pense avoir vu une petite faute dans le corrigé. Ex 3, 1/ : (1/2) x 58 = 26 --> c'est 29 non ? Ce qui entraîne un résultat faux au 2/ aussi. ^^ Merci encore pour votre travail, bonne journée et bonne continuation.

    • Corinne Huet :

      Merci, tu as tout-à-fait raison, il y a une erreur dans l'ex 3 : on a bien AB.AC=29 (et pas 26). Et alors dans la question 2), l'angle BAC vaut Arccos(29/35) soit environ 34 degrés ! Encore merci de m'avoir signalé cette erreur !

  • VAR :

    Je pense que dans l'exercice 3 des produits scalaires 1/2*58=29 et non 26 Cordialement

    • Corinne Huet :

      Oui tu as tout-à-fait raison, il y a cette petite erreur de frappe qui s'est glissée dans le corrigé. AB.AC=(1/2)*58=29 (et non pas 26). Par la suite, l'angle BAC vaut Arcos(29/35) soit environ 34 degrés.

  • Ju23 :

    Je trouve vos vidéos super, je commence à réapprécier les maths car depuis quelques mois je n'y comprenais plus rien !! Je vous remercie !!! J'ai fait les exercices correspondants aux vidéos sur le produit scalaire mais il se trouve que pour l'exercice 3 - 1) j'ai trouvé 29 et je ne comprend pas votre résultat de 26 car 1/2 ( 25+49-16) = 1/2 *58 =29 et non 26 !!! pourrais tu m'expliquer ??? à moins qu'il s'agisse d'une coquille. Merci !!

    • Corinne Huet :

      Il s'agissait bien d'une coquille !

  • larb13 :

    merci pour le travail c’est très bien

    • Corinne Huet :

      Merci à toi pour ce commentaire.

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