Produit scalaire exercices corrigés [Vidéo] (Première S / Terminale S)

Dans cette vidéo, nous allons étudier des petits exercices sur le produit scalaire de deux vecteurs.

Je vais t’expliquer comment appliquer les formules du produit scalaire et surtout quelle formule appliquer dans une situation précise.

Tu as du mal à savoir quand appliquer telle ou telle formule du produit scalaire ? Viens donc voir cette vidéo et tu auras la réponse à ta question !

Exercices corrigés sur le produit scalaire : la vidéo

Produit scalaire : quelle formule appliquer ?

Produit scalaire : rappels des 4 formules

Je te rappelle que, pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs du plan, tu as 4 formules :

– la formule utilisant les normes des vecteurs;

– la formule avec les coordonnées des vecteurs;

– la formule avec le projeté orthogonal d’un vecteur sur l’autre vecteur;

– la formule avec le cosinus de l’angle formé par les deux vecteurs.

Pour revoir les différentes formules du produit scalaire et les propriétés importantes, va voir ou revoir la première vidéo sur le produit scalaire.

Produit scalaire : quand utiliser la formule avec les normes ?

Tu utiliseras la formule du produit scalaire avec les normes des vecteurs lorsque tu auras une figure ou un énoncé avec des longueurs données.

Laquelle des 2 formules avec les normes choisir ?

– La 1ère formule du produit scalaire avec les normes est : \boxed{\overrightarrow{u} \ . \ \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2)}.

Tu prendras plutôt cette 1ère formule lorsque le vecteur \vec{u}+\vec{v} se simplifie bien en un seul vecteur, par exemple \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} grâce à la relation de Chasles.

– La 2ème formule du produit scalaire  avec les normes est : \boxed{\overrightarrow{u} \ . \ \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2)}.
Tu prendras plutôt cette 2ème formule lorsque le vecteur \vec{u}-\vec{v} se simplifie bien en un seul vecteur, par exemple \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} toujours grâce à la fameuse relation de Chasles.

Produit scalaire : quand utiliser la formule avec les coordonnées ?

Hé bien tout simplement lorsque tu travailles dans un repère orthonormé, la formule du produit scalaire avec les coordonnées semble la plus adaptée.

Je te la rappelle : dans un repère orthonormé, si \vec{u}(x \ ; \ y) et \vec{v}(x' \ ; \ y') alors \boxed{\overrightarrow{u} \ . \ \overrightarrow{v}=xx'+yy'}.

Produit scalaire : quand utiliser la formule avec le projeté orthogonal ?

En général, ce procédé s’utilise dans une figure qui contient des angles droits comme un carré ou un rectangle.

Pourquoi ? Hé bien tout simplement parce que lorsque deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul : \overrightarrow{u} \ . \ \overrightarrow{v}=0.

Si ta figure contient des angles droits elle contient tout plein de vecteurs orthogonaux ! La formule du produit scalaire avec le projeté orthogonal d’un vecteur sur l’autre est alors bien pratique !

Produit scalaire : quand utiliser la formule avec le cosinus ?

Je te rappelle cette formule : \boxed{\overrightarrow{u} \ . \ \overrightarrow{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times cos(\vec{u} \ ; \ \vec{v})}.

Tu utiliseras cette formule lorsque tu connaîtras la mesure de l’angle formé par un sommet de ta figure.

Des exercices sur le produit scalaire pour s’entraîner

Pour t’entraîner et vérifier si tu as compris comment appliquer ces formules du produit scalaire, télécharger la feuille d’exercices sur le produit scalaire de deux vecteurs ici.

Pour vérifier tes résultats et t’améliorer, voici le corrigé des exercices sur le produit scalaire.

Alors, as-tu compris comment appliquer les formules du produit scalaire ? Sais-tu quelle formule appliquer dans un calcul de produit scalaire ?

Laisse ta réponse dans les commentaires juste en-dessous, merci à toi !