Les nombres complexes – Parties 1 et 2 [Vidéo] (Terminale)

LES NOMBRES COMPLEXES – Partie 1.

Bonjour et bienvenue à toi sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet. Je te propose une série de vidéos sur les nombres complexes : c’est une notion qui est introduite en terminale S et qui pose souvent problème aux élèves c’est pour cela que j’ai décidé de créer ces vidéos afin d’aider les élèves à mieux comprendre les nombres complexes.
Dans cette 1ère vidéo nous allons nous concentrer sur la forme algébrique d’un nombre complexe; nous parlerons également du module d’un nombre complexe et nous ferons des calculs sur les nombres complexes (addition, soustraction, multiplication et module d’un nombre complexe). On commence tout de suite !

La forme algébrique des nombres complexes

Alors on va commencer par rappeler ce qu’est la forme algébrique d’un nombre complexe. Alors un nombre complexe se note, en général, z et sa forme algébrique sera de la forme x + i fois y. Alors je vais te préciser tout ça, avec x un nombre réel donc appartenant à R, y appartenant à R et le nombre i vérifie l’égalité suivante i au carré = -1, c’est la relation fondamentale que nous avons sur les nombres complexes; à chaque fois que tu verras i au carré, tu pourras remplacer ce nombre par -1.
Dans la forme algébrique qui est ici, le nombre x s’appelle la partie réelle du nombre complexe z; ça se notera comme ceci : x = Re (z) et le nombre y, qui est en produit du nombre i ici, s’appellera la partie imaginaire du nombre complexe z et se notera donc Im (z) comme ceci.

Alors faisons un petit exemple : je vais considérer le nombre complexe z qui s’écrit sous forme algébrique 3 + 2 fois i. Alors est-ce que tu es d’accord qu’il a pour partie réelle x = 3 et pour partie imaginaire y = 2 ?

Interprétation géométrique d’un nombre complexe sous forme algébrique

On va maintenant pouvoir donner une interprétation géométrique d’un nombre complexe qui est sous forme algébrique. Donc tu vois ici que j’ai un repère orthonormé O, i, j et je vais considérer mon nombre complexe z qui est égal à x + i y. Hé bien avec ce nombre complexe z, tu vas former le point M qui a pour coordonnées x et y. Par exemple sur mon exemple ici z = 3 + 2 i je vais former le point M qui a pour coordonnées 3 et 2 donc ici 3 sur l’axe des abscisses, ici 2 sur l’axe des ordonnées et donc mon point M se situe ici dans le repère O, i, j.
Alors on dit que le nombre complexe z est l’affixe du point M ou encore que le point M est l’image du nombre complexe z. Voilà donc il faut connaitre un petit peu le vocabulaire et surtout la correspondance entre un nombre complexe z et le point qui lui est associé dans un repère. Alors juste une petite notation : si je reprends mon exemple avec le point M qui a pour coordonnées 3 et 2, alors son affixe en fait je vais la noter z indice M qui est donc égal à 3 + 2i.

Module d’un nombre complexe

Terminons ces rappels avec le module d’un nombre complexe. Donc je vais prendre mon nombre complexe z toujours sous forme algébrique x + i y. Tu sais maintenant que ce nombre complexe z, il a un point image que j’ai noté M ici dans le repère O, i, j. Hé bien son module, que je vais noter comme ceci, ça sera tout simplement la distance OM donc c’est ça le module du nombre complexe z. Et si tu te rappelles les formules de distances, le module de z est égal à la formule suivante : Racine Carré de x au carré + y au carré.

Les nombres complexes : calculs

Je te propose maintenant de traiter un exercice de calculs sur les nombres complexes. Tu peux donc mettre la vidéo sur pause quelques instants pour traiter cet exercice tout seul et ensuite tu peux relancer la vidéo pour voir le corrigé.
Alors on nous donne 2 nombres complexes z1 et z2 sous forme algébrique.

Calculer le module d’un nombre complexe

On va traiter la 1ère question dans laquelle il faut calculer leurs modules. On va commencer par le module de z1 et comme je n’ai pas envie de mettre une racine carré, je vais calculer le module de z1 au carré et il me restera donc uniquement x au carré + y au carré c’est-à-dire ici 2 au carré + 3 au carré qui est égal à 4 + 9 = 13 donc, quand je vais enlever le carré, module de z1 sera égal à la racine carré de 13.
On calcule de la même manière le module du nombre complexe z2; alors tout d’abord on va mettre au carré, ça va nous faire x au carré ici donc 4 au carré + y au carré et ici y vaut -1 donc attention de mettre des parenthèses donc -1 au carré qui est égal à 16 + 1 = 17 donc finalement le module de z2 est égal à la racine carré de 17.

Calculer une somme ou une différence de 2 nombres complexes

On passe à la 2ème question : tout d’abord il faut mettre sous forme algébrique le nombre complexe z1 + z2 c’est-à-dire 2 + 3i + 4 – i; alors on calcule les parties réelles ensemble 2 + 4 = 6 et les parties imaginaires ensemble + 3i – i ça nous fait donc + 2i et notre nombre z1 + z2 est bien sous forme algébrique.
Ensuite on calcule le nombre complexe z1 – z2 : ça nous donne donc 2 + 3i – (4 – i) ensuite j’enlève les parenthèses et comme j’ai un signe – devant, ça change tous les signes et ça va me donner -4 + i et, comme précédemment, je calcule les parties réelles ensemble 2 – 4 ça fait -2 et les parties imaginaires ensemble + 3i + i, + 4i et le nombre complexe z1 – z2 est bien sous forme algébrique.

Calculer le carré d’un nombre complexe

On calcule ensemble le nombre complexe z1 au carré; cela va nous donner (2 + 3i) au carré et bien évidemment on va appliquer la 1ère identité remarquable (a + b) au carré et tu sais que c’est égal à a carré + 2ab + b au carré. Donc ici cela nous donne 2 a u carré + 2 fois 2 fois 3i + (3i) au carré; on calcule tout ça 2 au carré 4 + 12i + 9i au carré. Alors ici qu’est-ce qu’on peut faire ? Hé bien 4 + 12i on le garde et on sait que i au carré ça fait -1 donc on a + 9 fois (-1) c’est-à-dire 4 – 9 pour les parties réelles et 12i pour la partie imaginaire et au final cela nous donne -5 + 12i qui est bien sous forme algébrique.

Calculer le produit de 2 nombres complexes

On termine avec le calcul du produit z1 z2 : ça nous donne (2 + 3i) (4 – i) et on va développer ça en faisant la double distributivité 8 – 2i + 12i – 3i au carré. Alors on a 8, on peut calculer -2i + 12i cela nous donne + 10i – 3 fois i au carré qui vaut -1. Au final on a 8 + 3 pour la partie réelle + 10i pour la partie imaginaire et donc cela nous donne 11 + 10i qui est bien la forme algébrique du nombre complexe z1 fois z2.

Les nombres complexes : conclusion de la vidéo #1

Hé bien cette 1ère vidéo sur les nombres complexes est à présent terminée. Tu sais désormais faire des calculs sur la forme algébrique d’un nombre complexe, tu sais additionner 2 nombres complexes ou les soustraire ou les multiplier ou mettre un nombre complexe au carré ou encore calculer le module d’un nombre complexe. Dans la 2ème vidéo je vais t’expliquer comment obtenir la forme algébrique de l’inverse d’un nombre complexe ou du quotient de 2 nombres complexes et cela fera intervenir la notion de conjugué d’un nombre complexe. Je t’invite donc à venir regarder cette 2ème vidéo sur les nombres complexes. A tout de suite !

 

LES NOMBRES COMPLEXES – Partie 2.

 Dans cette 2ème vidéo sur les nombres complexes, nous allons parler du conjugué d’un nombre complexe et nous allons voir comment obtenir la forme algébrique de l’inverse d’un nombre complexe et du quotient de 2 nombres complexes. On y va tout de suite !

Conjugué d’un nombre complexe

Tout d’abord qu’est-ce que le conjugué d’un nombre complexe ? Hébien si un nombre complexe z s’écrit sous forme algébrique x + i y alors son conjuguése notera z barre comme ceci et sera égal àx – i y tout simplement. Alors comment est-ce qu’on peut voir ça graphiquement ? Ici j’ai un repère orthonormé O, i, j, je vais considérer le point M image de ce nombre complexe z donc de coordonnées x, y et je vais considérer le point M’image de son conjugué donc de coordonnées x et -y.

Faisons un petit exemple. Si je prends le nombre complexe z égal à3 + 2i, je place mon point M donc de coordonnées 3 et 2 donc le point M se situe ici. A ce moment là, le nombre complexe conjuguéz barre sera égal à3 – 2i tu es bien d’accord ? Donc le point M’, son image, se placera ici de coordonnées 3 et -2 donc voici M’. Qu’est-ce qu’on peut en dire ? Hé bien on peut dire que le point M et le point M’sont symétriques par rapport àl’axe des abscisses.

Lien entre conjugué et module d’un nombre complexe

Enfin je voudrai te montrer le lien qu’il y a entre le conjugué d’un nombre complexe et le module.

Alors tu prends un nombre complexe z et tu vas le multiplier par son conjugué z barre. Je le fais devant toi: cela va nous donner (x + i y) (x – i y); est-ce que tu es d’accord ? On va développer ça donc ça c’est une identité remarquable de la forme (a +b) (a – b) et tu es d’accord que c’est égal à a au carré- b au carré donc ici cela va nous donner x au carré- (i y) le tout au carré c’est-à-dire x au carré- i au carré fois y au carré; sauf que, j’espère que tu t’en rappelles, i au carré est égal à-1 donc nous allons avoir ceci. Finalement je vais avoir z z barre qui est égal à x au carré+ y au carré; voila le résultat de z fois z barre, c’est égal à x au carré+ y au carré; hé bien j’espère que tu vois que ce résultat c’est le module de z au carré et pour te rappeler les choses le module de z c’est la distance OM donc le module de z au carré est égal à z fois z barre.

Inverse d’un nombre complexe

A présent intéressons nous à l’inverse d’un nombre complexe. Je me demande comment inverser un nombre complexe qui est sous forme algébrique et obtenir la forme algébrique de cet inverse. Donc ici on prend z = x + i y (un nombre complexe sous forme algébrique), je vais supposer que z est différent de 0 pour pouvoir calculer son inverse 1 / z qui est donc égal à 1 / x + i y.

Pour obtenir sa forme algébrique, je vais multiplier en haut et en bas de la fraction par le conjugué de z donc ici nous avons (x + i y) qui sera multiplié par (x – i y) et donc en haut ça va me faire une fois x – i y. Je vais donc avoir au numérateur x – i y qui n’a pas changé; en revanche au dénominateur j’ai z fois z barre et c’est donc égal au module de z au carré c’est-à-dire x au carré+ y carré et ceci est la forme algébrique du nombre complexe 1 / z.

Exercice : rechercher l’inverse d’un nombre complexe sous forme algébrique

Je te propose un exercice pour mettre cela en application. Je voudrai écrire sous forme algébrique le nombre complexe 1 / (3 – 2i).

Alors si j’applique la méthode énoncée précédemment, je vais multiplier en haut et en bas par le conjuguéde (3 – 2i) c’est-à-dire (3 + 2i) donc au numérateur je vais avoir 1 fois (3 + 2i); je garde le numérateur 3 + 2i et au dénominateur je vais donc avoir x au carré+ y au carréc’est-à-dire 3 au carré+ 2 au carré; cela va me donner 3 + 2i / (9 + 4) c’est-à-dire 3 + 2i / 13 et làje suis sous forme algébrique tout simplement car si tu sépares en 2 fractions, cela va te donner 3 / 13 qui est la partie réelle de notre inverse + 2 / 13 (qui est la partie imaginaire de notre inverse) fois i.

Quotient de deux nombres complexes

Enfin comment est-ce qu’on peut calculer le quotient de 2 nombres complexes qui sont donnés sous forme algébrique et donc obtenir le quotient sous forme algébrique ?

Donc ici je prends 2 nombres complexes z1 et z2; z1 s’écrit sous forme algébrique (a + i b) et z2 = x + i y (je vais supposer z2 différent de 0 pour pouvoir diviser par z2).

Alors le nombre complexe z1 / z2 déjàc’est égal à(a + i b) / (x  + i y) mais ceci n’est pas sous forme algébrique. Pour y remédier, je vais multiplier en haut et en bas par le conjuguéde z2 c’est-à-dire par x – i y. Ensuite qu’est-ce que l’on fait ? Hébien pour ce qui est du haut on développe tout simplement en faisant la double distributivitéet pour ce qui est du bas on reconnait z fois z barre c’est-à-dire le module de z au carréce qui va nous donner x carré+ y carré.

Exercice : rechercher le quotient de 2 nombres complexes sous forme algébrique

Je te propose un exercice pour mettre cela en application. Il s’agit d’écrire sous forme algébrique le quotient (-4 + 6i) / (3 – 2i). Alors j’écris mon quotient et je vais appliquer ce qui a été dit précédemment à savoir que je vais multiplier en haut et en bas de cette fraction par le conjugué de 3 – 2i qui est 3 + 2i; ensuite qu’est-ce que je vais faire ? Hé bien pour le haut je distribue, ça fait (-12 – 8i + 18i + 12i au carré); pour ce qui est du bas hé bien je dis que c’est x au carré+ y au carré c’est-à-dire 3 au carré+ 2 au carré; ensuite, pour ce qui est du numérateur en haut, je vais avoir (-12 + 10i + 12 fois (-1)) / (9 + 4); on continue nos calculs, cela va nous faire -12 – 12 + 10i et au dénominateur 9 + 4 = 13; finalement on obtient (-24 + 10i) / 13 et ceci est bien sous forme algébrique. Alors tu le vois mieux si on sépare cela en 2 fractions, cela va nous donner -24 / 13 (pour la partie réelle) + 10 / 13 (pour la partie imaginaire) fois i.

Les nombres complexes : conclusion de la vidéo #2

Hé bien c’est la fin de cette vidéo sur les nombres complexes. Désormais la forme algébrique des nombres complexes n’a plus de secrets pour toi, tu vas pouvoir faire tous les calculs possibles sur la forme algébrique d’un nombre complexe notamment inverser 1 nombre complexe et calculer le quotient de deux nombres complexes.

Alors pour t’entrainer je t’invite à télécharger la feuille d’exercices qui est juste en dessous de la vidéo et à vérifier tes réponses grâce au corrigé. Je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très très bientôt, au revoir !