THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES (Terminales)

Salut à toi et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet.
Dans cette vidéo, je vais t’expliquer comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur une étude de fonction : cette vidéo te sera très utile pour passer ton BAC que ça soit en ES ou en S puisque cette question sur le théorème des valeurs intermédiaires sort systématiquement pour les sujets de Bac donc je te conseille de bien visionner cette vidéo et d’en prendre le maximum. Je te dis à tout de suite !

Théorème des valeurs intermédiaires sur une fonction polynôme

Alors on entre dans le vif du sujet avec la fonction f qui est définie sur R par cette expression f(x) = x au cube + 6x carré – 15x + 2 donc ça c’est une fonction polynôme hein tu vois qu’on a des puissances de x (x au cube, x au carré, x puissance 1 et une constante).

1ère question il s’agit d’étudier les variations de f sur R. La méthode tu la connais, il faut dériver la fonction f et étudier le signe de f’ sa dérivée. Tu peux peut-être mettre la vidéo sur pause pour essayer de le faire seul.
Alors dérivons la fonction f donc f’(x) sera égale à la dérivée de x au cube qui fait 3x carré + la dérivée de 6x carré qui fait 6 fois 2x – la dérivée de 15 qui fait 15 fois 1 + la dérivée de 2 qui vaut 0. Si on arrange tout ça, ça nous fait 3x carré + 12x – 15.
Voici f’(x) maintenant il faut étudier le signe de cette expression. Tu vois comme moi qu’il s’agit d’une fonction polynôme du 2nd degrés et donc pour étudier son signe, tu dois calculer les racines de ce trinôme.
Tu peux mettre la vidéo sur pause pour calculer delta et les racines. Alors après calculs, moi j’obtiens que delta = 324 et que le trinôme f’(x) possède 2 racines à savoir x1 = -5 et x2 = 1. A partir de là, je peux tracer le tableau de signes de f’ donc ici x est dans R et donc f’(x) tout d’abord il a 2 racines qui sont -5 et 1 (que je fais apparaitre ici) donc f’(x) s’annule en -5 et en 1 et pour compléter les cases avec les signes + et – je dois regarder le coefficient a qui est devant x au carré. Ici petit a est égal à 3.
La règle est que le signe du trinôme est le signe de a (ici positif) partout sauf entre les racines ou je vais mettre un -. Voilà pour le signe de f’ et donc je vais pouvoir poursuivre mon tableau en mettant ici les variations de f. Donc ma fonction f est d’abord croissante puisque f’ est positif puis décroissante puisque f’ est négatif et ensuite croissante puisque f’ est positif à nouveau. Pour pouvoir compléter le tableau de variation, il faudrait les images de -5 et de 1 donc par exemple pour f(1), hé bien je vais ici dans f(x) et je remplace tous les x par 1 : cela me fait 1 au cube + 6 fois 1 au carré – 15 fois 1 + 2, ça nous fait donc 1 + 6 – 15 + 2; résultat : -6 que je reporte ici dans le tableau de variation.
Tu fais le calcul pour -5 ou alors tu fais un tableau de valeurs sur ta calculatrice pour obtenir la valeur de f en -5 et donc on obtient 102. Donc voici le tableau de variations de f sur R : si on te demande d’étudier les variations, hé bien il faut faire une phrase. Il faut dire que f est strictement croissante sur l’intervalle – l’infini; -5; f est strictement décroissante sur l’intervalle -5;1 et f est strictement croissante sur l’intervalle 1; plus l’infini. Voilà pour les variations !

Théorème des valeurs intermédiaires pour résoudre f(x)=0

Voici la 2ème question. C’est celle qui nous intéresse vraiment pour cette vidéo. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution alpha dans l’intervalle -5;1 et ensuite il faudra donner un encadrement d’alpha puis une valeur approchée de alpha avec une certaine précision.
Alors donc j’ai reporté ici le tableau de variation obtenu précédemment et donc ce qui m’intéresse maintenant c’est de travailler sur l’intervalle -5;1 et de voir que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution alpha dans l’intervalle -5;1.

Les hypothèses du théorème de la valeur intermédiaire (TVI)

Pour résoudre cette question, on va appliquer le théorème de la valeur intermédiaire. Pour pouvoir l’appliquer tu as un certain nombre d’hypothèses à donner au départ :

-tout d’abord, il faut dire que la fonction f est continue. Pourquoi elle est continue ? Tout simplement car c’est une fonction polynôme donc elle est continue sur R et en plus tu vois qu’elle est strictement décroissante sur l’intervalle qui nous intéresse c’est-à-dire sur l’intervalle -5;1

-Ensuite, 2ème chose que tu dois dire c’est que 0 il est bien entre -6 et 102 donc pour ça tu vas d’abord donner l’image de -5 c’est-à-dire f(-5) = 102 et donner l’image de 1, f(1) = -6 donc on constate bien que 0 il appartient à l’intervalle formé par ces deux images; on va dire que 0 appartient à l’intervalle -6;102 c’est-à-dire f(1); f(-5) qui sont bien les nombres -6 et 102.

A ce moment là, toutes mes hypothèses sont réunies et je peux donc dire que, d’après le théorème de la valeur intermédiaire, l’équation f(x) = 0 admet une unique solution que j’appelle alpha dans l’intervalle -5;1
Voilà, je te fais une petite remarque c’est que le théorème que l’on applique c’est le théorème de la valeur intermédiaire ce qui nous garantit une unique solution. Voilà c’est comme cela que tu dois rédiger ce fameux théorème.

Encadrer la solution alpha du TVI avec la calculatrice

Maintenant voyons comment encadrer alpha. Alors pour faire cela, je vais utiliser ma calculatrice (ici c’est le modèle TI). Tout d’abord, dans f(x) j’ai entré l’expression de ma fonction f et je vais aller faire un tableau de valeur. D’abord il faut régler le tableau de valeurs en allant ici sur deftab donc en faisant seconde fenêtre.
Donc le début de ma table, comme tu recherches alpha hé bien il est entre -5 et 1 donc le début de la table tu vas le mettre à -5 et on va commencer par faire un pas de 1, on va générer la table de valeurs en faisant seconde graph : donc tu as ici à gauche les valeurs de x (donc tu vois bien que ça va de -5 à 1) et ici à droite les valeurs de f(x) donc en -5 ça vaut bien 102, 94, 74 et toi ce que tu cherches c’est quand est-ce que f(x) va passer par 0. Alors il me semble que ici ça vaut 2 et ici ça vaut -6 et on va passer par 0 entre ces deux valeurs donc notre alpha sera compris entre 0 et 1 donc je vais retourner dans defttab pour régler les paramètres de ma table et je vais, cette fois ci, commencer par 0 et je vais affiner le pas en mettant un pas de 0,1. Voilà je génère mon tableau de valeurs en faisant seconde graph et je répète le procédé c’est-à-dire qu’ici je repère quand est-ce que f(x) va passer par 0; Tu vois que c’est ici entre 0,561 et -0,752 puisqu’on a un nombre positif et un nombre négatif donc mon alpha sera entre 0,1 et 0,2 donc on retourne dans les paramètres de la table et on met comme début de table maintenant 0,1 et je vais continuer à affiner le pas en faisant 0,01. Entrer, Seconde graph pour aller voir le tableau, je répète le procédé et je vois que je vais par 0 ici entre 0,02034 et -0,11116 donc mon alpha sera compris entre 0,14 et 0,15; On retourne dans deftabl et on met un début de table à 0,14, on affine encore le pas d’un cran en mettant un pas cette fois ci de la précision voulue c’est-à-dire 10 puissance -3 à savoir 0,001 et on va voir le tableau de valeurs et ici qu’est-ce qu’on voit ? Hé bien on voit qu’on va passer par 0 entre ces 2 valeurs donc mon alpha sera entre 0,141 et 0,142 donc pour écrire ça sur ma feuille je fais tout simplement un petit tableau de valeurs avec les 2 valeurs qui m’intéressent c’est-à-dire ici pour les valeurs de x 0,141 et 0,142; pour les valeurs de f(x) hé bien j’avais 0,00709 et -0,0062. Donc qu’est-ce que ça signifie ? Cela signifie qu’entre ces deux valeurs, je suis passé par 0 donc mon alpha est entre ces 2 valeurs là donc voici un encadrement de alpha à 10 puissance -3 près, alpha est compris entre 0,141 et 0,142.

Valeur approchée de la solution alpha du TVI avec la calculatrice

Si on te demande une valeur approchée de alpha ça sera une de ces deux valeurs. Laquelle je vais choisir ? Hé bien je regarde ici au niveau des images et je prend l’image la plus proche de 0 donc il me semble que c’est -0,0062 qui est plus proche de 0 que 0,00709 donc le alpha que je vais choisir c’est ce nombre là et je vais donc dire qu’alpha est à peu prés égal à 0,142 et je précise que je suis à une précision de 10 puissance -3 près. Voilà c’est comme cela que l’on procède pour pouvoir encadrer alpha ou en donner une valeur approchée. Il faut donc utiliser le tableau de valeurs de ta calculatrice.

Obtenir le signe d’une fonction grâce au théorème des valeurs intermédiaires

Pour la 3ème question il faut en déduire le signe de f(x) pour x qui appartient à l’intervalle -5;1. Donc j’ai prévu ici mon tableau de signe donc x on va le placer dans l’intervalle -5;1 et je souhaiterai avoir le signe de f(x).
Alors j’ai reporté ici le tableau de variation que l’on avait obtenu avec ici la valeur en 0 qui est donnée par x = alpha que l’on a obtenu précédemment. On va se concentrer nous sur l’intervalle -5;1 donc comment, à partir de ces variations, je vais pouvoir en déduire le signe ? Hé bien tu sais que d’abord dans un tableau de signe il faut d’abord compléter les 0 donc quand est-ce que f(x) vaut 0 ? f(x) vaut 0 quand x = alpha (je te rappelle qu’alpha vaut environ 0,142).
Ensuite comment est-ce que je vais compléter avec les signes + et – ? Hé bien tu vois que sur la partie -5 jusqu’à alpha f(x) va prendre les valeurs de 0 à 102 donc en fait on va être positif et de alpha à 1 f(x) va prendre les valeurs de -6 à 0 donc f(x) va être négatif et je vais pouvoir mettre son signe – ici.

Étendre le théorème des valeurs intermédiaires à plusieurs solutions

Pour finir, je voudrais faire un petit aparté pour aller plus loin (spécialement en terminale S) avec les limites. Donc ici j’ai toujours la même fonction f avec son tableau de variations et tu vois j’ai rajouté les limites de f en – l’infini et en + l’infini; Donc si tu regardes ta fonction f qui est un polynôme de degré 3, les limites ne sont pas très compliquées à faire : il suffit de prendre le terme de plus haut degré.
Et voici la question : on veut démontrer que l’équation f(x) = 0 admet 3 solutions dans R. Donc cette fois ci, je ne vais plus travailler sur -5;1 je vais travailler dans R tout entier.
Alors sur -5;1 l’histoire est réglée c’est-à-dire que j’ai déjà trouvé un 0 donc comment est-ce que tu vas procéder maintenant ? Hé bien tu vas procéder en 2 intervalles c’est-à-dire que tu vas d’abord travailler sur – l’infini; -5 et ensuite sur 1; + l’infini donc on va appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur l’intervalle – l’infini; -5. Donc les hypothèses c’est toujours les mêmes : on va dire que f est continue étant donné que c’est une fonction polynôme et strictement croissante sur l’intervalle – l’infini; -5. Ensuite on donne les images donc ici ça sera une limite donc on va écrire que la limite de f(x) lorsque x tend vers – l’infini est égale à – l’infini et l’image de -5 = 102 donc ce qu’on peut dire c’est que de – l’infini à 102 on va passer par 0 donc on va pouvoir dire que 0 appartient à l’intervalle – l’infini; 102 qui est f(-5).
Voilà mes hypothèses sont réunies, je vais donc pouvoir appliquer le théorème de la valeur intermédiaire donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire l’équation f(x) = 0 admet une unique solution (alors si tu veux on va l’appeler alpha prime) dans l’intervalle – l’infini; -5. Si tu as compris ce processus, hé bien tu peux recommencer le processus dans l’intervalle 1; + l’infini. Je vais te laisser rédiger pour t’entrainer. Donc on va dire que f est continue et strictement croissante sur l’intervalle 1; + l’infini, on va donner les images donc f(1) = -6, la limite de f en + l’infini est égale à + l’infini et donc tu vois bien que de -6 à + l’infini on va bien passer par 0 donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire, l’équation f(x) = 0 admettra une unique solution (on va l’appeler alpha seconde) dans l’intervalle 1; + l’infini.
Voilà et moralité : l’équation f(x) = 0 finalement elle admettra 3 solutions dans l’intervalle – l’infini; + l’infini c’est-à-dire dans R. Voilà mes 3 solutions : alpha prime, alpha et alpha seconde. Donc tu vois ici que, pour travailler sur R, j’ai du appliquer 3 fois le théorème de la valeur intermédiaire sur chacun des intervalles ou la fonction f était strictement monotone c’est-à-dire soit strictement croissante soit strictement décroissante et c’est comme ça que tu devras procéder dans tes exercices.

Conclusion : faire des exercices type Bac sur le théorème des valeurs intermédiaires

Hé bien maintenant tu dois savoir appliquer le théorème de la valeur intermédiaire dans tes exercices et surtout le jour du Bac. J’espère que cette vidéo t’aura servi et je te remercie de l’avoir visionnée sur bossetesmaths.com.
Pour t’entrainer, je t’invite à télécharger la feuille d’exercices juste en bas de la vidéo, j’ai sélectionné pour toi des exercices de sujets de bac donc tu pourras vraiment voir si tu réussis à traiter ces questions, ça te permettra d’assurer quelques points pour ton bac, je te dis à très bientôt sur bossetesmaths.com !