Suites géométriques [Vidéo](Première)

Bonjour, ici Corinne Huet du site bossetesmaths.com, bienvenue dans cette vidéo sur les suites géométriques partie 1.
Alors dans cette vidéo je vais tout simplement t’expliquer comment on montre qu’une suite n’est pas géométrique ou qu’une suite est géométrique. Une fois que tu auras acquis ces deux notions, on pourra passer à la partie numéro 2 où je t’expliquerai comment les suites géométriques interviennent dans les sujets de BAC. Tu verras c’est très formateur. Je te dis à tout de suite !

Alors je crois qu’on peut commencer en rappelant ce que c’est qu’une suite géométrique : alors tu imagines que je parte du premier terme qui est en général noté u0, pour avoir le deuxième terme et bien tout simplement on va multiplier u0 par une constante q. Ensuite, pour avoir le terme suivant noté u2, on va refaire la même transformation, c’est à dire qu’on va multiplier le terme précédent u1 par q la même constance qu’avant. On répète ce procédé et pour passer d’un terme Un à son terme suivant Un+1, on va faire exactement la même chose on va multiplier par cette constante q qui s’appelle la raison de la suite géométrique. Si on écrit ceci sous forme d’une formule, tu peux voir qu’on a Un+1 le terme suivant qui est égale a q fois Un, le terme précédent. C’est une formule indispensable qui donne la définition d’une suite géométrique.
Alors on a une deuxième formule indispensable qui va nous donner en fait Un en fonction de U0. Et bien regarde ce qu’on va faire: Un en fait, c’est u0 que tu vas multiplier par q que tu vas encore multiplier par q que tu vas encore multiplier par q etc. Tu va le faire n fois. Au final, Un sera égale à u0 multiplié par q fois q fois q, n fois. Donc fois q puissance n. Voici les deux formules indispensables à connaître sur les suites géométriques. On va pouvoir poursuivre maintenant.

Alors le premier objectif de cette vidéo: comment montrer qu’une suite Un n’est pas géométrique? Voici la méthode: tout d’abord tu vas calculer ses trois premiers termes. Alors en général on va les noter u0, u1, u2 et tu vas constater que pour passer de u0 à u1 tu va multiplier u0 par q, en revanche pour passer de u1 à u2 tu vas multiplier par un nombre q prime qui n’est pas le même que le nombre q précédent. Finalement, il suffira de montrer que u1 sur u0 qui est donc nôtre nombre q, n’est pas égal à u2 sur u1 qui est nôtre nombre q prime. Donc finalement tu n’obtiens pas la même constante et donc tu pourras conclure que la suite Un n’est pas géométrique. Voila pour la méthode. On regarde tout de suite cette méthode sur des exemples. Voici donc un premier exemple:
On me dit pour n appartenant à grand n, alors ça signifie que n est un entier égal à 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 etc (des entiers naturels), on va nous donner des formules pour Un : Un égal 4+2 puissance n. Il s’agit de montrer que cette suite Un n’est pas géométrique. Donc comme je l’ai rappelé dans la méthode précédente, on va calculer ses trois premiers termes. Commençons par son premier terme u0: on remplace n par 0 dans cette formule, ça va nous donner 4+2 puissance 0, c’est à dire 4+1 puisque 2 puissance 0 par convention c’est égal à 1 et donc résultat égal 5. Je calcule le deuxième terme de la suite: u1. En remplaçant n par 1 dans cette formule ça va me donner 4+2 puissance 1, c’est à dire 4+2, c’est à dire 6. Enfin je calcule le troisième terme cette suite: u2. En remplaçant n par 2 dans cette formule, ce qui va me donner 4+2 puissance 2, c’est à dire 4+4, c’est à dire 8. Voila. Donc je constate que pour passer de 5 à 6 et bien il suffit de multiplier par 6 cinquième. Tu fais 5 fois 6 cinquième, tu constates qu’on peut simplifier par 5 et on obtient bien 6. Ensuite pour passer de 6 à 8 il suffit de multiplier par 8 sur 6, pour la même raison si tu fais 6 fois 8 sur 6 tu peux simplifier par 6 et ça nous donne bien 8. Donc, finalement quand je calcule u1 sur u0 j’obtiens 6 sur 5 et quand je calcule u2 sur u1 j’obtiens 8 sur 6. Donc pour passer d’une terme à l’autre je ne multiplie pas par le même nombre. Donc je peux dire que u1 sur u0 n’est pas égal à u2 sur u1 et ceci me permet de conclure que ma suite Un n’est pas géométrique. Est-ce que tu as compris cela?

Dans le deuxième exemple on me donne une suite récurrente, alors elle est donnée par u0 égal -1 son premier terme et la récurrence Un+1 égal 1-5 Un au carré pour tout les entiers N. Il s’agit encore de montrer que la suite Un n’est pas géométrique et je vais procéder comme précédemment en calculant ses trois premiers termes pour commencer. Alors u0 on me le donne dans la formule ici c’est égal à -1. Pour calculer u1 je regarde la relation de récurrence qui est donnée ici en remplaçant n par 0. Je vais avoir u indice 0+1 c’est à dire u1 qui est égal à 1-5 u0 au carré et je vais remplacer u0 par la valeur -1. Cela va me donner 1-5 fois -1 au carré. Donc ça va me faire 1-5 fois -1 au carré qui fait 1 et 1-5 ça fait -4. Ensuite je calcule u2 toujours grâce à cette relation de récurrence, en remplaçant cette fois ci n par 1 puisque u indice 1+1 ça fait bien u indice 2. C’est donc égal à 1-5 u1 au carré. Et par le même principe je vais remplacer u1 par sa valeur qui valait -4, ça va donc me faire 1-5 fois -4 qui est au carré, c’est à dire 1-5 fois -4 au carré qui fait 16 et 5 fois 16 c’est égal à 80 donc 1-80, résultat: -79. Alors, pour passer de u0 à u1, de -1 à -4 est-ce que tu es d’accord qu’on a simplement multiplié par 4 ? Et pour passer de -4 à -79 j’ai multiplié par 79 sur 4. Donc le quotient u1 sur u0 est égal à 4 tandis que le quotient u2 sur u1 est égal à 79 sur 4. Et ces deux nombres là sont totalement différents. Donc je peux dire que u1 sur u0 n’est pas égal à u2 sur u1. Comme précédemment ça me permet de conclure que ma suite Un n’est pas géométrique.
Passons maintenant à l’objectif numéro deux de cette vidéo: comment montrer qu’une suite Un cette fois est géométrique ? Alors voici le principe : en fait tu te fixes un entier N et tu vas calculer Un+1 sur Un, tu dois trouver une constante q qui ne dépend pas de n, ce sera la raison de ta suite. Alors pourquoi ce principe là fonctionne ? Je ne sais pas si tu t’en rappelles mais une suite géométrique est donnée par cette formule : Un+1 est égal à q fois Un (le terme d’après est toujours égal au terme d’avant)
Donc si tu divises par Un, cela est équivalant à dire que Un+1 sur Un est égal à q. Donc je répète: pour montrer qu’une suite Un est géométrique, tu calcule Un+1 sur Un et tu montre que le résultat est une constante q qui ne dépend pas de n. On voit ça tout de suite sur un exemple.
Voici l’exemple 3 : pour n entier naturel on donne Un égal 3 fois 4 puissance n+1. On doit montrer que cette suite Un est géométrique. Donc comme je l’ai rappelé précédemment on va se fixer un entier naturel N, soit n appartenant à grand N et on va calculer Un+1 sur Un en espérant trouver une constante q qui ne dépend pas de n. Alors pour calculer Un+1 je vais utiliser évidemment cette formule en remplaçant n par n+1. Ca va me faire 3 fois 4 puissance n+1+1 c’est à dire n+2, sur 3 fois 4 puissance n+1. Alors, ici tu vois que 3 sur 3 ça s’annule, qu’en est il des 4? Il faut que tu comprennes que 4 puissance n+2 en fait c’est 4 fois 4 fois 4 fois 4 fois 4 n+2 fois. Alors est-ce que tu es d’accord que si je regroupe les n+1 premiers je vais avoir 4 fois 4 fois 4 n plus une fois, c’est à dire 4 puissance n+1 fois 4 pour que ça me fasse n+2. Pour ce qui est du dénominateur je vais conserver 4 puissance n+1 puisque maintenant je vais pouvoir simplifier 4 puissance n+1 et au final mon résultat sera égal à 4.
Donc Un+1 sur Un est tout le temps égal à 4 pour tout les entiers N, c’est une constante qui ne dépend pas de n, donc je peux dire que la suite Un est géométrique et je peux même conclure que sa raison c’est cette constante que je viens de calculer: q qui est égal à 4.
Voici un quatrième et dernier exemple: alors on va me donner une suite récurrente c’est à dire qu’on va me donner son premier terme: u0 égal -4 et une formule de récurrence : Un+1 égal Un sur 3 pour tout les entiers N. Il s’agit encore de montrer que la suite Un est géométrique. Donc comme précédemment je vais me fixer un entier N naturel et je vais calculer Un+1 sur Un. Je reviens évidemment à la formule de récurrence qui définie la suite Un et est-ce que tu es d’accord qu’ici, Un sur 3 ça veut dire 1Un sur 3. Donc qu’est-ce que je vais faire ? Je vais tout simplement diviser par Un et tu vois comme moi qu’il va me rester Un+1 sur Un est égal à un tiers. Voila, c’est tout simple. C’est bien une constante qui ne dépend pas de Un et donc je peux conclure comme dans l’exemple précédant: que la suite Un est bien une suite géométrique et en plus je viens d’avoir sa raison: q qui est égal à un tiers.

Alors cette première partie sur les suites géométriques est à présent terminée, je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te donne à présent rendez-vous pour suivre la deuxième partie de cette vidéo dans laquelle tu vas comprendre comment les suites géométriques interviennent dans des sujets de BAC, donc c’est vraiment très intéressant. A tout de suite!

LES SUITES GEOMETRIQUES – Partie 2 : SPECIAL BAC ES ET BAC S.

Rebonjour et bienvenue encore sur cette 2ème partie sur les suites géométriques. Nous sommes sur le site bossetesmaths.com et dans cette vidéo je vais t’expliquer comment les suites géométriques interviennent véritablement dans des sujets de BAC ES ou de BAC S, alors à tout de suite pour comprendre tout ça !

Alors en général dans les sujets de Bac, les suites géométriques interviennent en tant que suite auxiliaire; Qu’est-ce que ça veut dire suite auxiliaire ? Hé bien je t’explique le principe : au départ tu as une suite (un) qui est un peu compliquée à étudier (alors en général en ES ce sont souvent des suites arithmétiques ou géométriques; En S ça peut être des suites arithmétiques ou géométriques ou encore des suites plus compliquées) et donc pour pouvoir étudier cette suite (un) compliquée on va introduire une 2ème suite (vn) évidemment en rapport avec la 1ère suite (un). C’est cette suite (vn) qui est ce qu’on appelle la suite auxiliaire, la suite qui va nous aider à comprendre (un).
En fait on va montrer que cette suite (vn) est géométrique et grâce à ça, ça va nous aider à mieux comprendre la suite (un) qui était compliquée au départ. On voit ça de suite avec des exercices type Bac.

Alors voici un 1er exemple plus spécifique pour le bac ES. En fait je l’ai tiré d’un sujet de BAC qui a été donné en Amérique du Nord en mai 2013 donc tu vois c’est très récent.

Voici l’exercice : on va nous donner une suite (un) par u0 = 42 et un+1 = 0,95Un + 4 donc ça c’est typiquement le cas d’une suite arithmético-géométrique puisqu’ici tu as une partie géométrique (0,95 fois Un) et + 4 c’est une partie plutôt arithmétique. Tu vois que c’est une suite un peu compliquée et donc on va introduire une 2ème suite (vn) qui est égale à Un – 80; On va montrer que la suite (vn) est géométrique. Alors je te rappelle qu’une suite est géométrique si on a vn+1 = une constante q fois vn. Alors donc je vais essayer d’arriver à cette formule donc je vais me fixer un entier n et je commence par calculer vn+1. Alors j’ai pas beaucoup le choix, vn est donnée par cette formule donc v(n+1) ça sera égale à un+1 – 80. J’ai toujours pas beaucoup le choix puisque un+1 est donnée par cette formule donc je vais remplacer, ça va me faire 0,95un + 4 – 80, ça nous donne 0,95un – 76. Alors ici c’est l’étape cruciale, ce que je vais faire c’est que je vais factoriser cette expression totale par 0,95 de la manière suivante donc j’ai 0,95 qui sera facteur de (un – (76/0,95)). Alors figure toi que quand tu calcules ce nombre (76/0,95), hé bien c’est égal à 80 et donc je vais avoir vn+1 = 0,95 (un – 80) et là c’est gagné puisque (un – 80) c’est tout simplement (vn) donc c’est bon j’ai ma relation v(n+1) = 0,95 fois vn. Alors ça c’est super puisque je peux conclure grâce à cette relation que la suite (vn) est bien géométrique et en plus je sais que sa raison q ça sera égal à ce nombre 0,95.
Alors on vient de démontrer que (vn) est 1 suite géométrique de raison q = 0,95. On peut même donner son 1er terme donc v0 qui sera égal, grâce à la formule qui donne vn, à u0 – 80 et u0 c’est égal à 42 donc 42 – 80 = -38.

Alors très bien, maintenant le fait d’avoir tout ça sur (vn) en quoi ça nous aide à étudier (un) ? Hé bien en fait comme (vn) est une suite géométrique de raison q et bien on a la formule suivante vn = vo X q puissance n, c’est une formule à connaitre absolument sur les suites géométriques et donc ici ça va nous donner vn = -38 X 0,95 puissance n. Et maintenant si tu veux revenir à la suite (un), tu utilises la relation vn = un – 80. Pourquoi ? Parce que ça va te dire tout bêtement que vn + 80 = un (tout bêtement j’ai additionné 80 ici). Si je remets les choses en place ça me donne que un = vn + 80 donc finalement un sera égal à -38 X 0,95 puissance n + 80. Je sais pas si tu te rends compte de la puissance de ce qu’on vient de faire mais on est passé d’une suite compliquée (un) à une suite dans laquelle je peux calculer tous les termes par exemple si je veux calculer u indice 1000, je remplace n par 1000 là dedans et j’ai la valeur. Si je veux calculer la limite de la suite (un), hé bien je fais la limite avec cette expression (ça fera une limite qui vaut 80 d’ailleurs); Donc voilà comment est-ce que ça marche, pour étudier une suite compliquée (un) je passe par une suite (vn) dont je montre qu’elle est géométrique; J’utilise la formule pour les suites géométriques, ça me donne une formule pour (vn) et ensuite je reviens à (un). Tu as compris tout ça j’espère ?

Alors on passe tout de suite au 2ème exemple qui est plus spécifique au bac S mais si tu es en ES tu peux aussi regarder, ça sera très formateur pour toi. Donc on va donner une suite (un) par u0 = 2 et cette expression u(n+1) est égale (1 + 0,5un) / (0,5 + un); Tu vois que c’est une suite vraiment bien compliquée. On va introduire une suite auxiliaire (vn) égale à (un – 1) / (un + 1) pour tout entier n. Et on va dans un 1er temps montrer que la suite (vn) est géométrique de raison -(1/3) donc pour montrer qu’une suite est géométrique je te rappelle la formule : on doit arriver à une formule du type v(n+1) = q X vn. Alors voici notre objectif, on y va ! On va donc se fixer un entier n, on va se retrousser les manches pour calculer v(n+1). On y va ! Ici on a la formule qui nous donne (vn) et bien pour calculer v(n+1), on remplace tous les n par n+1, ça va nous donner (u(n+1) – 1) / (u(n+1) + 1). Ensuite on va remplacer u(n+1) par son expression qui est là. Alors on y va, ça va nous faire ((1 + 0,5un) / (0,5 + un) – 1 / (1 + 0,5un) / (0,5 + un) + 1). On poursuit le calcul ici : v(n+1) = alors pour le numérateur on tout mettre sur 0,5 + un donc ça nous fait (1 + 0,5un) / (0,5 + un) – (0,5 + un) / (0,5 + un). Au dénominateur c’est la même chose, je vais tout mettre sur 0,5 + un donc ça nous donne (1 + 0,5un) / (0,5 + un) + (0,5 + un) / (0,5 + un). Alors on poursuit, au numéroteur maintenant que tout est au même dénominateur hé bien je garde le dénominateur 0,5 + un et je calcule les numérateurs. Alors je vais avoir (1 + 0,5un) – (attention le moins va porter sur toute cette expression donc ça va faire -0,5 et – un. Alors 1 – 0,5 déjà ça fait 0,5 et 0,5un – un ça fera -0,5un si tu calcules bien. Pour le dénominateur, tout est sur 0,5 + un donc je vais tout rassembler et je fais (1 + 0,5un) + (0,5 + un) au numérateur. Alors 1 + 0,5 ça fait 1,5 + 0,5un + un c’est-à-dire + 1,5un. Et pour faire cette division de 2 fractions, ce que je vais faire c’est que je vais garder la 1ère fraction donc (0,5 – 0,5un) / (0,5 + un) et je vais multiplier par l’inverse de la 2ème fraction donc (0,5 + un) / (1,5 + 1,5un). Alors l’avantage c’est que tu vois que maintenant 0,5 + un en haut et en bas ça se simplifie et donc il me reste v(n+1) = (0,5 – 0,5un) / (1,5 + 1,5un). Alors on n’a pas terminé, qu’est-ce qu’on peut faire encore avec tout ça ? Au numérateur, tu vois bien que je peux factoriser par 0,5 par exemple donc ça sera facteur de quoi ? Hé bien ça sera facteur de (1 – un) et au dénominateur tu vois que je peux factoriser par 1,5, ça sera facteur de (1 + un). Alors je sais pas si tu visualises bien mais en fait ici là (1 – un) / (1 + un) c’est quasiment (vn). Tu vois on a bien le (1 + un) en bas en revanche en haut on a un – 1 donc pour le numérateur en haut hé bien je vais factoriser plutôt par -0,5 histoire de bien faire apparaitre l’opposé c’est-à-dire un – 1 et en bas je laisse tel quel donc j’ai 1,5 (1 + un). Au final je me retrouve avec -0,5 / 1,5 vn puisque tu constates qu’ici j’ai bien obtenu (vn). Alors on vient d’obtenir v(n+1) = -(0,5 / 1,5) vn ça suffirait à dire que la suite (vn) est géométrique car on a bien cette relation v(n+1) = q X vn mais je vais quand même simplifier un peu cette fraction q. Alors tout d’abord ce qu’on peut faire c’est multiplier en haut et en bas par 10 ça me fait -(5 / 15) vn et ensuite je vais diviser en haut et en bas par 5 et donc ça va bien me faire -(1 / 3) vn donc je viens d’obtenir v(n+1) = -(1 / 3) vn et donc je peux conclure que la suite (vn) est une suite géométrique et en plus je peux donner sa raison, q = -(1 / 3). Alors tant que j’y suis on va pouvoir calculer également son 1er terme v0 qui est égal alors, si je remplace dans cette formule à (u0 – 1) / (u0 + 1); u0 lui est égal à 2 donc ça va me faire (2 – 1) / (2 + 1) et au final v0 = 1/3.

Alors on vient de prouver que la suite (vn) est géométrique de raison q = -(1/3) et de 1er terme v0 = 1/3, on peut donc dire que comme la suite est géométrique hé bien pour tous les entiers n je vais avoir la formule suivante vn = v0 X q puissance n. Je le redis encore, formule à connaitre par coeur pour les suites géométriques, ça va me donner donc vn = (1/3) X -(1/3) puissance n.

Alors par exemple, comment est-ce que je pourrai calculer la limite de la suite (vn) ? C’est une question qu’on pourrait avoir dans un sujet de bac. Hé bien tout d’abord je vais faire la limite de cette expression q puissance n et ensuite je multiplie le résultat par 1/3. Alors tu dois savoir que si q est compris entre -1 et 1 alors quand tu fais la limite de q puissance n quand n tend vers plus l’infini, hé bien c’est égal à 0. Voilà c’est un résultat à connaitre donc ici comme ma raison q qui vaut -(1/3), elle est bien comprise entre -1 et 1 et bien je peux dire que la limite quand n tend vers plus l’infini du terme -(1/3) à la puissance n, c’est égal à 0 d’après le résultat qui est ici. Et donc si je multiplie ce résultat par 1/3, 0 X 1/3 ça fait 0. Je vais pouvoir donc conclure que la limite de (vn), lorsque n tend vers plus l’infini, est bien c’est égal à 0. Donc voilà les 2 résultats que je viens de démontrer : pour tout entier n, (vn) est égale à cette formule et la limite de (vn) vaut 0. Donc ce qu’on pourrait me demander dans le sujet de bac c’est la limite de la suite (un), cette suite un peu compliquée. Donc il va falloir que je repasse de (vn) à (un). Evidemment, c’est cette formule là que je vais utiliser.

Je vais te montrer tout de suite comment on obtient (un) en fonction de (vn). Donc j’écris la formule, qu’est-ce que je peux faire ? Ben je peux par exemple ici multiplier par (un + 1) ce qui va me donner vn (un + 1) = un – 1, je développe tout ça donc vn X un + vn = un – 1. Alors je vais regrouper tous les un ensemble, tous les autres termes ensemble donc ça va me donner vn + 1 = un – vn X un. Est-ce que tu es d’accord avec ça ? Alors ce qu’on peut faire également, c’est garder vn + 1 et ici factoriser par (un) puisque je te rappelle que c’est (un) que tu cherches. Alors ça va me faire un (1 – vn) et donc enfin il me suffit tout simplement de diviser par (1 – vn). Je vais donc avoir un = (vn + 1) / (1 – vn) et là c’est super car j’ai exprimé (un) en fonction de (vn). Donc tu te rappelles que (vn) est donnée par cette formule donc il suffit que je le remplace là dedans pour avoir une expression de (un) en fonction de n. Alors en fait je vais pas le faire car c’est compliqué et qu’en fait j’en ai vraiment pas besoin puisque maintenant comme je veux la limite de (un) et bien je fais la limite du haut, la limite quand n tend vers plus l’infini de vn + 1. Alors tu te rappelles que la limite de vn c’était 0 donc ça va me faire 0 + 1 ça va me faire 1. La limite du bas donc la limite quand n tend vers plus l’infini de 1 – vn et bien c’est égal à 1 – 0 donc ça fera 1 et donc par quotient quand je vais faire le quotient de ces deux nombres, je vais obtenir que la limite de (un), quand n tend vers plus l’infini, est égale à 1/1 donc égale 1. Voilà je ne sais pas si tu imagines le cheminement, c’était très compliqué, très calculatoire mais je suis partie quand même d’une suite très compliquée au départ et grâce à la suite auxiliaire (vn) j’ai pu arriver à la limite de (un) qui vaut 1. Voilà donc c’est comme ça que ça fonctionne dans les sujets de bac en général, tu peux en parcourir quelques-uns, tu verras c’est souvent comme ça. Alors l’exercice que je viens de te proposer, je l’ai trouvé dans le sujet du bac S d’Asie qui date de juin 2013.

Alors c’est la fin de cette vidéo sur les suites géométriques, j’espère que tu es allé jusqu’au bout et que tu n’as pas été trop dépassé par tous ces calculs. Alors si tu veux, ce que je te propose c’est d’aller faire la feuille d’exercices que j’ai mise juste en bas de la vidéo. Voilà c’est destiné à t’entraîner vraiment, essaie de les faire, essaie de voir ce qui ne va pas et puis pour te corriger tu as évidemment la correction en téléchargement donc n’hésite pas, entraîne-toi. C’est un petit peu difficile mais je suis sûre que tu peux y arriver ! Je te souhaite bon courage et je te dis à très bientôt sur bossetesmaths.com, salut !