Réunion et intersection d’intervalles [Vidéo](Seconde)

Bonjour ici Corinne Huet du site bossetesmaths.com. Alors dans cette vidéo je vais te montrer comment on fait la réunion et l’intersection de deux intervalles. A tout de suite !

Alors pour t’expliquer ce que c’est la réunion ou bien l’intersection de deux intervalles, je vais prendre 2 intervalles que je vais noter I et J, je vais les représenter sur la droite réelle. L’intervalle I est l’intervalle -2;1 (je vais le représenter ici en couleur) avec -2 fermé et 1 ouvert, voici mon intervalle I en vert. Mon intervalle J est l’intervalle 0;3 donc je vais le représenter ici en rose, ouvert en 0 et ouvert aussi en 3 (donc je fais les crochets exactement tels qu’ils apparaissent dans l’intervalle) et donc j’ai ici en rose l’intervalle J.

Alors la réunion des intervalles I et J c’est en fait tous les nombres qui sont sur le droite réelle et qui appartiennent à I (dans l’intervalle vert) ou bien à J (dans l’intervalle rose). Donc quand je vais parler de réunion, en fait je vais utiliser le mot OU donc c’est les nombres qui sont dans I ou dans J. Alors voici comment est-ce que je note la réunion des 2 intervalles I et J : j’écris I, je met un U et j’écris J. Ceci va se lire I union J. Alors à quoi est égal la réunion des intervalles I et J que j’ai noté I union J ? Hé bien c’es tous les nombres qui sont dans le vert et dans le rose donc ça va me faire tout ce que j’ai écris en couleur en fait, c’est-à-dire l’intervalle de -2 jusqu’à 3 avec les crochets comme sur la figure c’est-à-dire -2 fermé et 3 ouvert. Donc c’est très simple en fait la réunion des 2 intervalles, c’est quand je réunis les 2 couleurs en même temps.

Alors maintenant quant est-il de l’intersection des intervalles I et J ? L’intersection de ces 2 intervalles, c’est l’ensemble de tous les nombres de la droite réelle qui sont dans I et en même temps dans J, dans l’intervalle rose. Donc l’intersection finalement je vais la symboliser par le mot et. L’intersection des intervalles I et J c’est l’ensemble des nombres qui sont dans I et dans J à la fois. Alors je vais la noter comme ceci I avec un U retourné J et ce symbole retourné va se lire inter, donc je vais lire I inter J. Donc regardons sur la figure ou sont tous les nombres qui sont à la fois dans le vert et dans le rose. Hé bien il me semble que c’est cette partie là qui nous intéresse ici donc il s’agit de l’intervalle 0;1 et je recopie les crochets exactement comme ils sont sur la figure donc ici ouvert en 0 et ouvert en 1.

Je vais t’expliquer à présent le cas particulier des intervalles disjoints; alors disjoints ça signifie que les intervalles, si tu veux, ils n’ont aucun élément en commun, ils ne se touchent pas. Alors prenons un exemple. Je prends l’intervalle I qui est l’intervalle -4 ouvert et 0 fermé et l’intervalle J qui est l’intervalle 2;4 fermé; Donc comme d’habitude je vais les représenter sur la droite réelle donc l’intervalle I -4;0 avec les crochets comme dans l’intervalle (ouvert en 4, fermé en 0) et l’intervalle qui est l’intervalle 2;4 avec les crochets fermés en 2 et en 4. Donc voici en vert l’intervalle I et en rose l’intervalle J. Alors qu’est-ce que ça va nous donner la réunion des 2 intervalles c’est-à-dire I union J ? Je t’ai dis juste précédemment que la réunion des intervalles c’est là ou je réunis si tu veux les 2 couleurs donc comme les 2 intervalles ne se chevauchent pas, hé bien je vais tout simplement écrire que c’est l’intervalle I c’est-à-dire -4;0 union l’intervalle J c’est-à-dire 2;4. Voilà et je ne peux pas réduire cette union davantage. Si tu compares avec la diapo précédente, les intervalles se chevauchaient et donc l’union pouvait se réduire en un seul intervalle. Ici je ne peux pas et donc l’union s’écrit en 2 morceaux.

Alors maintenant c’est quoi l’intersection des intervalles I et J ? Qu’est-ce qu’on va répondre pour I inter J ? Hé bien l’intersection des intervalles I et J c’est là ou j’ai les deux couleurs en même temps mais en fait comme mes intervalles sont disjoints, ne se chevauchent pas hé bien je n’ai aucun nombre en commun à I et à J donc si tu veux mon intersection elle est vide, il n’y a rien dedans donc je vais dire que I inter J c’est l’ensemble vide que je vais symboliser avec un rond barré comme ceci, ça signifie l’ensemble vide.

Alors ici je vais parler de cas extrêmes c’est-à-dire le cas ou mes 2 intervalles I et J vont se toucher en leurs extrémités. Alors il y a 2 cas extrêmes:

– Voici le 1er cas donc j’ai l’intervalle I qui est l’intervalle -2;1 fermé donc je vais le représenter comme d’habitude sur ma droite graduée et mon intervalle J qui est l’intervalle 1;3 avec 1 fermé et 3 ouvert. Alors je m’intéresse à la réunion des 2 intervalles donc à I union J donc la réunion de 2 intervalles c’est l’ensemble de tous les nombres qui sont dans I ou bien dans J (dans le vert ou dans le rose) donc là si je parcours toutes les couleurs ça va me donner l’intervalle qui va aller de -2 jusqu’à 3 avec les crochets comme sur la figure donc -2 fermé et 3 ouvert. Si je m’intéresse maintenant à l’intersection des intervalles I et J c’est-à-dire à I inter J, je vais regarder là ou j’ai les 2 couleurs en même temps c’est-à-dire les nombres qui appartiennent à I et à J en même temps. Donc le seul point qui pourrait m’intéresser ici c’est le nombre 1 donc est-ce que le nombre 1 appartient à I ? Hé bien oui étant donné que le crochet en 1 est fermé. Est-ce que le nombre 1 appartient à J ? Hé bien oui car en 1 le crochet est aussi fermé donc 1 appartient aux deux intervalles et donc je peux dire que l’intersection des 2 intervalles c’est l’ensemble constitué de 1 que je note comme ceci entre accolades.

– Dans le 2ème cas j’ai l’intervalle I qui est l’intervalle 2;4 ouvert en 2, fermé en 4 et l’intervalle J est l’intervalle -3;2 fermé en -2 et ouvert en 2 donc avec un crochet vers l’extérieur comme ceci. Alors intéressons nous d’abord à la réunion des intervalles I et J donc à I union J. Donc si je parcours toute la couleur cela va me donner l’intervalle -3;4 avec les crochets comme sur la figure c’est-à-dire fermés en -3 et en 4; Si je m’intéresse maintenant à l’intersection des 2 intervalles c’est-à-dire à I inter J, hé bien je regarde les nombres qui sont à la fois dans I et dans J donc le seul point qui m’intéresserait ici ça serait le nombre 2. Alors est-ce que le nombre 2 appartient à l’intervalle I ? Hé bien réponse non puisque le crochet en 2 est ouvert, en plus 2 n’appartient pas non plus à J car son crochet est aussi ouvert mais il suffit juste que 2 n’appartient pas à l’un de ces intervalles pour dire en fait que 2 n’appartient pas à l’intersection donc dans mon intersection il n’y a rien, c’est donc l’ensemble vide.

Voici pour terminer un exercice récapitulatif, je te propose de mettre ta vidéo sur pause pour pouvoir le faire et ensuite de réactiver la lecture pour voir la solution.

Alors dans la question 1 on a deux intervalles et on nous demande la réunion et l’intersection; Donc premièrement, je les place sur ma droite graduée : alors là si on regarde bien les nombres qui sont en jeu sont les nombres 2, 7, 0 et 4 donc inutile de graduer avec des nombres négatifs, je vais commencer à graduer on va dire à 0. Alors je place le 1er intervalle qui est l’intervalle 2;7 avec les mêmes crochets fermés en 2, ouvert en 7 et le 2ème intervalle d’une autre couleur qui est l’intervalle 0;4 avec les mêmes crochets donc ouvert en 0 et fermé en 4. Alors quelle est l’union, la réunion de ces 2 intervalles ? Hé bien je recopie là ou j’ai toute la couleur c’est-à-dire l’intervalle 0;7 avec les mêmes crochets c’est-à-dire ouvert en 0 et ouvert en 7. Quant à l’intersection, hé bien je regarde là ou les 2 couleurs se chevauchent c’est-à-dire ici à l’intervalle 2;4 avec des crochets fermés en 2 et en 4.

Pour le 2ème exercice je procède de la même manière : je commence par graduer ma droite avec les nombres qui sont dans les intervalles. Alors ici j’ai les nombres -10, -8, -9, -6 donc je vais commencer par -10 etc; Alors je prend une 1ère couleur pour représenter le 1er intervalle, l’intervalle -10;-8 ouverts et je prends une 2ème couleur pour représenter le 2ème intervalle qui est l’intervalle -9;-6 fermés. Alors si tu as compris la 1ère question, dans la 2ème question c’est exactement pareil sauf qu’attention ici d’abord on te demande l’intersection des 2 intervalles donc là ou on a les 2 couleurs qui se chevauchent donc l’intersection ici c’est l’intervalle -9;-8 et je recopie les crochets comme sur la figure c’est-à-dire -9 fermé et -8 ouvert. Pour ce qui est de l’union, hé bien je recopie là ou j’ai toute la couleur donc l’intervalle -10;-6 avec les mêmes crochets que la figure donc -10 ouvert et -6 fermé.

La 3ème question de l’exercice est posée de manière légèrement différente donc on te demande 2 intervalles I et J et on te demande la réunion et l’intersection de ces 2 intervalles. Donc comme d’habitude je commence par graduer ma droite réelle donc ici les nombres qui entrent en jeu sont -2; 1; -4; -2; donc on va commencer à -5 etc. Alors je prend la couleur verte pour représenter l’intervalle I qui est l’intervalle -2;1 donc -2 fermé, 1 ouvert. Je vais prendre la couleur rose pour représenter l’intervalle J qui est l’intervalle -4;-2, -4 fermé et -2 ouvert. On va commencer par regarder la réunion des intervalles I et J c’est-à-dire I union J. Alors si je regarde là ou j’ai les 2 couleurs en même temps, je fais quand même attention à ce qui se passe ici en -2, à savoir est-ce que -2 appartient à au moins l’un des deux intervalles ? Hé bien oui -2 appartient à l’intervalle I puisque le crochet ici est fermé donc il appartient bien à la réunion et donc je peux dire que la réunion des deux intervalles c’est l’intervalle tout entier de -4 à 1 avec -4 fermé et 1 ouvert. Maintenant si je me concentre sur l’intersection de ces 2 intervalles I inter J, hé bien je regarde là ou j’ai les 2 couleurs en même temps et le seul point un peu critique c’est ce qu’il se passe en -2; alors je me demande si -2 appartient aux 2 intervalles en même temps ? Alors on vient de dire que -2 appartenait l’intervalle I puisque son crochet ici est fermé mais en revanche -2 n’appartient pas à l’intervalle J tout simplement car son crochet ici est ouvert donc -2 ne peut pas appartenir à l’intersection de ces deux intervalles et donc l’intersection ici est l’ensemble vide.

Alors juste un petit complément avant de conclure : qu’est-ce qu’il se serait passé si ici dans l’intervalle I j’avais pris le crochet en -2 ouvert ? Voilà donc si le crochet en -2 était ouvert et si tout le reste était pareil donc j’ai refais la petite figure ici et tu vois bien ici en vert que le crochet en I est ouvert et également le crochet en J, ici en rose qui est ouvert. Alors quelle est la réunion de ces deux intervalles I et J ? Alors on l’habitude de dire que c’est là ou j’ai toute la couleur mais ce que tu ne vois pas c’est qu’ici en -2 j’ai un trou : en effet -2 n’appartient ni à I ni à J parce que les crochets ici étaient ouverts dans l’intervalle I et dans l’intervalle J donc comme j’ai un trou ici, hé bien la réunion de mes deux couleurs je vais être obligé de l’écrire en 2 morceaux donc je vais dire que c’est l’intervalle -4;-2 union l’intervalle -2;1 avec les mêmes crochets que sur la figure. Pour ce qui est de l’intersection, hé bien là ou j’ai les 2 couleurs en même temps c’est éventuellement ici en -2 mais -2 n’appartient même pas à l’un des intervalles donc mon intersection ici est vide, I inter J est égal à l’ensemble vide.

Alors cette leçon est à présent terminée, j’espère que tu as tout compris. Je te donne rendez-vous juste en bas de la vidéo pour aller faire la feuille d’exercices que je te propose. Tu trouveras également le corrigé en téléchargement pour vérifier tes réponses. Alors je te remercie et te dis à très bientôt sur bossetesmaths.com, Salut !