Dans cet article, je vais te guider pas à pas pour comprendre comment obtenir la réunion et l’intersection de deux intervalles sur la droite réelle.
Ces notions sont fondamentales en mathématiques, notamment pour mieux appréhender les ensembles et leur relation.
Que tu sois lycéen ou simplement curieux, cet article te permettra d’assimiler clairement ces concepts grâce à des exemples concrets et des exercices pratiques.
🔢 Introduction aux intervalles et leur représentation
Pour commencer, il est important de savoir comment représenter un intervalle sur la droite réelle.
Un intervalle est un ensemble de nombres compris entre deux bornes, qui peuvent être incluses (crochets fermés) ou exclues (crochets ouverts).
Par exemple, considérons deux intervalles :
- I = [-2 ; 1[ : intervalle fermé en -2 et ouvert en 1
- J = ]0 ; 3[ : intervalle ouvert en 0 et en 3.
Ces deux intervalles peuvent se visualiser sur une droite graduée, ce qui facilite la compréhension des opérations entre eux.
🔗 La réunion d’intervalles : l’union des ensembles
La réunion de deux intervalles, notée I ∪ J, correspond à l’ensemble des nombres qui appartiennent à au moins un des deux intervalles. Autrement dit, c’est l’ensemble des nombres qui sont dans I ou dans J.
Dans notre exemple, la réunion de I et J inclut tous les nombres de -2 à 3, en tenant compte des crochets des intervalles initiaux :
- De -2 fermé (car -2 appartient à I)
- Jusqu’à 3 ouvert (car 3 n’appartient pas à J)
On peut donc écrire :
I ∪ J = [-2 ; 3[
Cette réunion rassemble donc toutes les valeurs couvertes par les deux intervalles, sans interruption.
🔍 L’intersection d’intervalles : ce qui est commun aux deux
L’intersection, notée I ∩ J, correspond à l’ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à I et à J. C’est l’ensemble des valeurs communes aux deux intervalles.
Dans notre exemple, le seul nombre qui appartient simultanément à I et J est compris entre 0 et 1. Plus précisément :
- 0 est exclu de J (crochet ouvert)
- 1 est exclu de I (crochet ouvert)
Donc l’intersection est :
I ∩ J = ]0 ; 1[
C’est la partie où les deux intervalles se chevauchent.
❌ Le cas particulier des intervalles disjoints (sans intersection)
Parfois, deux intervalles n’ont aucun élément en commun, on dit qu’ils sont disjoints.
Par exemple :
- I = ]-4 ; 0]
- J = [2 ; 4]
Ces intervalles ne se chevauchent pas et sont séparés par un espace sur la droite réelle.
Dans ce cas :
- La réunion est simplement la réunion des deux intervalles, écrite en deux parties :
I ∪ J = ]-4 ; 0] ∪ [2 ; 4]
- L’intersection est vide, car aucun nombre n’appartient aux deux intervalles :
I ∩ J = ∅
Le symbole ∅ représente ici l’ensemble vide.
⚠️ Les cas « extrêmes » : quand les intervalles se touchent
Un autre cas intéressant est celui où deux intervalles se touchent en une extrémité :
Premier cas
- I = [-2 ; 1]
- J = [1 ; 3[
La réunion couvre tout l’intervalle :
I ∪ J = [-2 ; 3[
Pour l’intersection, le seul point commun est le nombre 1, qui appartient aux deux intervalles (car les crochets sont fermés) :
I ∩ J = {1}
Deuxième cas
- I = ]2 ; 4]
- J = [-3 ; 2[
La réunion est :
I ∪ J = [-3 ; 2[ ∪ ]2 ; 4]
Mais ici, le point 2 n’appartient ni à I ni à J (car les crochets sont ouverts), donc l’intersection est vide :
I ∩ J = ∅
📝 Exercices récapitulatifs pour s’entraîner
Pour bien maîtriser ces notions, voici quelques exercices que tu peux traiter :
- I = [2 ; 7[ et J = ]0 ; 4]
Réunion :
I ∪ J = ]0 ; 7[
Intersection :
I ∩ J = [2 ; 4]
- I = ]-10 ; -8[ et J = [-9 ; -6]
Réunion :
I ∪ J = ]-10 ; -6]
Intersection :
I ∩ J = [-9 ; -8[
- I = [-2 ; 1[ et J = [-4 ; -2[
Réunion :
I ∪ J = [-4 ; 1[
Intersection :
I ∩ J = ∅
Un point important à noter est l’impact des crochets ouverts ou fermés sur la réunion et l’intersection. Par exemple, si dans l’exercice 3, le crochet en -2 était ouvert dans I au lieu d’être fermé, alors :
- La réunion ne serait plus un seul intervalle continu mais deux intervalles distincts :
I ∪ J = [-4 ; -2[ ∪ ]-2 ; 1[
- L’intersection resterait vide car -2 n’appartient plus à aucun des deux intervalles.
✅ Conclusion
La réunion et l’intersection d’intervalles sont des notions simples mais essentielles en mathématiques. Elles permettent de comprendre comment deux ensembles se combinent ou se recoupent sur la droite réelle.
En résumé :
- La réunion correspond à tous les éléments appartenant à l’un ou l’autre des intervalles.
- L’intersection correspond aux éléments communs aux deux intervalles.
- Les crochets ouverts ou fermés influencent directement l’appartenance des bornes aux intervalles.
- Les cas particuliers comme les intervalles disjoints ou qui se touchent en une extrémité méritent une attention particulière.
Pour aller plus loin, je t’encourage à pratiquer avec cette feuille d’exercices et à vérifier tes réponses grâce au corrigé disponible ici.
N’hésite pas à poser des questions si tu souhaites approfondir ces notions.
À très bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !