Bienvenue dans cet article dédié aux ensembles de nombres, un sujet fondamental que tu rencontreras dès le début de ta Seconde au lycée.
Je suis Corinne Huet, professeure agrégée de mathématiques, et je vais t’expliquer de manière claire et progressive tous les ensembles de nombres que tu dois connaître et utiliser pour réussir en mathématiques.
Cet article te permettra non seulement de comprendre ces notions essentielles, mais aussi de savoir comment les manipuler facilement au lycée.
Après la vidéo, tu pourras télécharger la feuille d’exercices corrigée sur cette notion !
🔢 Les ensembles de nombres : une introduction
Les ensembles de nombres sont des regroupements de nombres qui partagent certaines caractéristiques. Ils sont introduits pour t’aider à mieux comprendre et classer les nombres que tu utilises en mathématiques. Voici les principaux ensembles que tu vas rencontrer :
- Les nombres entiers naturels (N)
- Les nombres entiers relatifs (Z)
- Les nombres rationnels (Q)
- Les nombres réels (R)
Les nombres entiers naturels (N)
Les nombres entiers naturels sont les nombres entiers positifs que tu connais bien : 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Par exemple, 0, 4, 12, 25, ou encore 11 appartiennent à cet ensemble.
On note cet ensemble N avec un double trait vertical : ℕ.
Les nombres entiers relatifs (Z)
Si on ajoute à l’ensemble des entiers naturels les entiers négatifs, comme -1, -4, -11, on obtient l’ensemble des nombres entiers relatifs.
Par exemple, -6 ou -3 appartiennent à cet ensemble.
On le note Z avec un double trait : ℤ.
Les nombres rationnels (Q)
En ajoutant aux entiers relatifs les fractions de nombres entiers, on forme l’ensemble des nombres rationnels.
Ce sont tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient de deux entiers, comme 1/3 (≈ 0,33), 3/2 (1,5), 5/4 (1,25) ou encore 6/11 (≈ 0,545).
On note cet ensemble Q : ℚ.
Les nombres réels (R)
Enfin, il existe des nombres que l’on ne peut pas écrire comme un quotient de deux entiers. Ce sont les nombres irrationnels, par exemple √2 (environ 1,414), √3, π (≈ 3,14), ou encore -√5. Tous ces nombres, ainsi que tous ceux déjà cités, forment l’ensemble des nombres réels, noté R : ℝ.
📏 La droite réelle : une représentation visuelle des nombres réels
Pour mieux comprendre l’ensemble des nombres réels, on utilise la droite réelle. C’est une droite graduée où chaque point correspond à un nombre réel unique appelé son abscisse.
- Le point d’abscisse 0 est appelé origine.
- Le point d’abscisse 1 correspond à l’unité.
On peut ainsi placer tous les entiers naturels (0, 1, 2, 3, …) sur cette droite vers la droite, et les entiers négatifs (-1, -2, -3, …) vers la gauche.
Mais aussi tous les nombres rationnels et irrationnels, comme 1,5, -2,5, 2/3, ou √2.
Comment placer certains nombres rationnels sur la droite réelle ?
Par exemple, pour placer la fraction 2/3, on peut découper un segment en trois parties égales et utiliser un procédé géométrique basé sur le théorème de Thalès pour trouver sa position exacte entre 0 et 1.
Comment placer un nombre irrationnel comme √2 ?
Pour √2, on utilise le théorème de Pythagore. En construisant un carré de côté 1, la diagonale du carré mesure √2. En reportant cette longueur sur la droite réelle, on place précisément √2.
Grâce à ces méthodes, tous les nombres, qu’ils soient entiers, rationnels ou irrationnels, peuvent être représentés sur la droite réelle, ce qui montre que tous ces nombres appartiennent à l’ensemble des réels ℝ.
🔁 Les relations d’inclusion entre les ensembles de nombres
Les ensembles de nombres sont liés entre eux par des relations d’inclusion, symbolisées par un « ⊂ » qui se lit « est inclus dans » :
- ℕ ⊂ ℤ : Tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs.
- ℤ ⊂ ℚ : Tous les entiers relatifs peuvent s’écrire comme une fraction (ex : 4 = 4/1).
- ℚ ⊂ ℝ : Tous les nombres rationnels sont des nombres réels.
Par exemple, le nombre 4 appartient à ℕ, donc aussi à ℤ, à ℚ, et enfin à ℝ.
De même, -6 est dans ℤ et donc aussi dans ℚ et ℝ, mais pas dans ℕ car il est négatif.
👌Notations utiles pour les ensembles de nombres
Pour préciser certains sous-ensembles des nombres réels, on utilise des notations avec des exposants :
- ℝ* (ℝ étoile) : l’ensemble des réels non nuls (tous les réels sauf 0).
- ℝ⁺ : l’ensemble des réels positifs ou nuls (≥ 0).
- ℝ⁺* : l’ensemble des réels strictement positifs (> 0).
- ℝ⁻ : l’ensemble des réels négatifs ou nuls (≤ 0).
- ℝ⁻* : l’ensemble des réels strictement négatifs (< 0).
- Ces notations s’appliquent aussi aux autres ensembles, par exemple ℕ* pour les entiers naturels non nuls.
🧩 Exercices pratiques pour vérifier ta compréhension
Pour t’entraîner, voici quelques exemples d’exercices que tu peux essayer :
- Vérifier si un nombre appartient ou n’appartient pas à un ensemble donné (ex. 1 ∈ ℝ*, 4 ∈ ℤ).
- Établir si un ensemble est inclus dans un autre (ex. ℤ ⊂ ℚ, ℤ ⊄ ℕ).
- Analyser des nombres comme -13,6, π, √3, 12,45 et déterminer à quel ensemble ils appartiennent.
Par exemple :
- Le nombre 6,1 est un réel donc 6,1 ∈ ℝ.
- La fraction 13/2 est rationnelle, donc 13/2 ∈ ℚ.
- Le nombre -13,6 est un réel négatif, donc -13,6 ∈ ℝ⁻.
- Le nombre π est un réel positif, mais il n’est pas rationnel, donc π ∈ ℝ⁺ ℚ.
- Le nombre 12,45 s’écrit comme 1245/100, donc 12,45 ∈ ℚ.
🎯 Conclusion
Les ensembles de nombres sont des outils essentiels pour organiser et comprendre les différents types de nombres que tu vas rencontrer en mathématiques. Du plus simple, les entiers naturels, au plus compliqué, les nombres réels, chaque ensemble a sa place et ses propriétés.
En maîtrisant ces notions, tu seras capable de mieux appréhender les exercices de lycée et d’aborder sereinement les cours de mathématiques. N’hésite pas à t’entraîner régulièrement avec des exercices pour solidifier ta compréhension.
Rappelle-toi : tous les nombres que tu utilises et connais appartiennent à l’ensemble des réels ℝ. Comprendre cette hiérarchie et ces inclusions te permettra de naviguer facilement dans le monde des nombres.
Bonne continuation dans ton apprentissage des mathématiques !
Pour t’entraîner, je te propose de faire cette feuille d’exercices sur les ensembles de nombres.
Voici le corrigé des exercices pour vérifier tes réponses.
➕ Une petite remarque
Tu te demandes peut-être pourquoi les ensembles de nombres se notent ainsi ?
Petite explication :
L’ensemble des nombres entiers naturels se note $latex \mathbb{N}$ : N comme « Naturel »;
L’ensemble des nombres entiers relatifs se note $latex \mathbb{Z}$ : Z comme « Zahl », mot allemand qui signifie « nombre »;
L’ensemble des nombres rationnels se note $latex \mathbb{Q}$ : Q comme « Quotient »;
L’ensemble des nombres réels se note $latex \mathbb{R}$ : R comme « Réel ».