Dans cette vidéo, je t’explique comment décomposer des vecteurs grâce à la relation de Chasles afin de démontrer que ce sont des vecteurs colinéaires.
Tu as du mal avec les vecteurs colinéaires ? Quand tu as un problème géométrique sur les vecteurs, tu ne sais pas comment t’y prendre ?
Alors REGARDE ATTENTIVEMENT CETTE VIDEO !
Tu verras comment on peut démontrer que 3 points sont alignés ou que 2 droites sont parallèles grâce à la relation de Chasles. Si tu décomposes tes vecteurs correctement, la relation de Chasles te permettra d’obtenir des vecteurs colinéaires et le tour est joué !!
Après cette vidéo, tu pourras télécharger gratuitement une feuille d’exercices pour t’entraîner. Je te conseille vraiment de chercher les exercices et, quand tu seras prêt et que tu voudras vérifier tes réponses, n’hésite pas à télécharger également le corrigé à la fin de la vidéo.
Si tu veux t’entraîner à décomposer des vecteurs avec la relation de Chasles, je t’invite à faire cette feuille d’exercices sur les vecteurs colinéaires et la relation de Chasles.
Et pour vérifier tes réponses, télécharge le corrigé des exercices.
A ton tour de t’exprimer !
Si tu as des questions à poser, des exercices qui te bloquent ou si tu veux t’exprimer sur cette vidéo, n’hésite surtout pas à laisser un commentaire juste en-dessous.
Transcription texte de la vidéo
Bonjour et bienvenue à toi sur bossetesmaths.com!! Ici Corinne Huet. Dans cette vidéo, je vais te montrer comment décomposer des vecteurs dans le but, si tu veux, de montrer que des droites sont parallèles ou que 3 points sont alignés. Alors c’est une vidéo qui est spécifique au niveau de la 1ère S mais si tu es un peu à l’aise en fin de seconde sur les vecteurs, tu peux quand même la visionner histoire de te mettre un petit peu dans le bain pour la première S. A tout de suite, on y va!
Alors avant d’entrer dans le vif du sujet, j’ai besoin de te faire 2 rappels: le premier rappel concerne la relation de Chasles. Qu’est-ce qu’elle nous dit cette relation de Chasles ? Tu as un vecteur AB qui est dessiné ici en vert, tu peux l’exprimer en fonction d’un troisième point (C) ici sur la figure. Je peux dire que le vecteur AB est égal au vecteur AC plus le vecteur CB. Voilà ce qu’on appelle la relation de Chasles. En gros, qu’est-ce qu’on a fait? Hé bien dans le vecteur AB on a introduit le point C. Alors ça marche pour n’importe quel troisième point par exemple si je prends ici un point F et bien je peux dire que le vecteur AB est égal à AF plus FB comme ceci. Et si tu as compris le principe, ça marche pour n’importe quel 3ème point donc par exemple je peux dire que le vecteur AB est égal au vecteur AK plus KB en introduisant un 3ème point que j’ai noté K.
Le deuxième rappel que je voudrai te faire concerne les vecteurs colinéaires: 2 vecteurs u et v sont colinéaires, qu’est-ce que ça signifie? ça signifie que les vecteurs u et v ont la même direction. Qu’est-ce que ça veut dire? En fait, les vecteurs u et v sont portés par 2 droites parallèles donc par exemple ici sur cette première droite je vais placer le vecteur u en vert et sur une droite parallèle je vais placer, en rose, le vecteur v comme ceci. Donc si tes 2 vecteurs u et v sont portés par des droites qui sont parallèles, on dit qu’ils ont la même direction et ça signifie que tes deux vecteurs sont colinéaires.
Si je veux symboliser ça par une relation mathématique, ça signifie tout simplement qu’il va exister un nombre réel que je vais noter k tel que l’un des 2 vecteurs est égal à l’autre vecteur multiplié par k. Donc ici j’ai écris que le vecteur v est égal à k fois le vecteur u. Si tu regardes mon exemple ici, comme les 2 vecteurs vont dans des sens contraires je sais que je vais avoir v égal moins quelque chose fois le vecteur u. Ensuite, si tu compares leurs longueurs, ici j’ai la longueur de v, ici j’ai la longueur de u (alors quand on parle de vecteurs, la longueur en fait ça s’appelle la norme), ben tu vois bien que v a une longueur qui est deux fois plus grande que celle de u. J’ai 2 fois la longueur de u ici donc je vais pouvoir dire que mon vecteur v est égal à -2 fois le vecteur u. Voici la relation de colinéarité entre mes vecteurs u et v dans ce petit exemple.
Alors maintenant que tu as compris la notion de colinéarité de deux vecteurs, hé ben c’est bien beau mais à quoi ça sert? Alors ça sert principalement à deux choses: premièrement, ça sert à montrer que deux droites sont parallèles. Alors je m’explique: si tu considères deux vecteurs AB et CD (donc tu vois ici j’ai 4 points qui sont en jeun le point A, B, C et D), hé bien si les vecteurs AB et CD sont colinéaires alors les droites AB et CD sont parallèles. C’est très facile à comprendre avec une petite figure: tu vois ici le vecteur AB, ici le vecteur CB ils sont portés par des droites parallèles donc j’ai bien des vecteurs colinéaires. Hé bien si ces vecteurs sont colinéaires, les droites qui les portent sont parallèles.
Deuxièmement la colinéarité ça sert à montrer aussi que 3 points sont alignés (c’est la 2ème application de la colinéarité). Je m’explique: tu considères encore 2 vecteurs AB et AC alors cette fois ci j’ai uniquement 3 points qui sont en jeu qui sont le point A, le point B et le point C (ici j’ai le point A qui se répète). Hé bien, si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, alors je pourrai affirmer que les 3 points A, B et C sont alignés. Si tu regardes ici cette figure, j’ai ici le vecteur AB, ici le vecteur AC. Ils sont colinéaires car ils sont portés par la même droite, hé bien à ce moment là tu vois bien que effectivement comme ils sont sur la même droite et bien les 3 points A, B et C sont alignés. Voilà à quoi ça sert la colinéarité. Voyons tout de suite comment on s’y prend dans un exercice.
Voici un exercice sur la première application de la colinéarité. ABC est un triangle (je vais faire une petite figure en même temps que je lis l’énoncé). Donc je trace un triangle ABC comme ceci. Les points K et L sont tels que le vecteur AK est égal à quatre fois le vecteur AC. Alors je regarde ici mon vecteur AC, je dois le reporter 4 fois dans la même direction donc deux fois, troisième fois et enfin une quatrième fois et à l’extrémité j’ai donc le point K.. J’ai bien que AK est égal à 4 fois le vecteur AC.
Ensuite j’ai le vecteur AL qui est égal à 1 quart du vecteur AB. Donc ici j’ai mon vecteur AB, comme je dois en prendre que un quart je vais le couper en 4 parties égales et je vais prendre la 1ère partie, le premier quart. Voici le point L. On me demande dans cette exercice de montrer que les droites (CL) et (KB) sont parallèles. On va déjà aller voir sur la figure si ça a l’air d’être le cas alors la droite (CL) la voici, elle passe bien par C et par L. La droite (KB) la voici, elle passe par K et par B (excusez moi je trace les droites à main levée, c’est pas très très droit). En tout cas ça a effectivement l’air d’être parallèle. Comment vais-je m’y prendre pour effectivement montrer que ces 2 droites sont parallèles? Hé bien, je vais démontrer que les vecteurs CL et KB sont colinéaires. Mon but étant de montrer que les vecteurs CL et KB sont colinéaires et donc en terme de formule je souhaiterai avoir une formule de ce type là: vecteur KB= un nombre réel petit k fois mon vecteur CL. Voici ce à quoi je veux arriver!! Alors comment vais-je m’y prendre? Je vais commencer par exprimer le vecteur CL en fonction d’autres vecteurs, je vais décomposer le vecteur CL grâce à la relation de Chasles. Alors qu’est-ce que je peux faire? Hé bien je vais aller voir dans l’énoncé ce qu’on me donne pour savoir quel point je vais pouvoir introduire dans le vecteur CL. Alors je regarde ici, j’ai le vecteur AK ça ne m’intéresse pas et ici j’ai le vecteur AL. Donc je vais exprimer CL avec le vecteur AL, il faut donc que j’introduise le point A dans le vecteur CL.
Ca va donc me donner grâce à la relation de Chasles: CL=CA+AL. Alors l’intérêt c’est de pouvoir remplacer AL par la formule donnée par l’énoncé c’est-à-dire 1 quart de AB. Donc j’y vais: CA pour le moment je le garde plus un quart de AB. J’en reste là pour le moment en ce qui concerne CL. Je vais passer maintenant au vecteur KB et je vais le décomposer grâce à la relation de Chasles donc la question est quel point je vais introduire dans le vecteur KB pour pouvoir l’exprimer avec des vecteurs qui vont bien? Alors dans l’énoncé, vous voyez qu’on me donne le vecteur AK donc je me dis tiens c’est pas mal si j’introduis ici le point A de telle sorte que KB=KA+AB grâce à la relation de Chasles. Tu es d’accord ?
Alors l’énoncé me donne AK moi je veux AK, hé bien je vais faire une toute petite transformation: je vais dire que KA=-AK et j’oublie pas de recopier le plus AB. Donc ici ça va me faire -4AC+AB. Encore une fois le -AC, je vais le transformer en +CA donc ça va me donner 4CA+AB. Maintenant j’observe les résultats pour le vecteur CL et le résultat pour le vecteur KB. Est-ce que tu ne vois pas un lien entre ces 2 relations? Tu vois bien qu’ici j’ai une fois le vecteur CA, ici je l’ai 4 fois donc j’ai l’impression que passer du 1er au 2ème j’ai multiplié par 4. On va vérifier ce qui se passe pour le vecteur AB: ici j’ai 1 quart du vecteur AB et si je le multiplie par 4 (1/4 multiplié par 4, ça fait 4/4 ça fait une fois le vecteur AB). Donc j’ai bien que CL multiplié par 4 est égal à KB. La voilà ma relation de récurrence c’est-à-dire que si je l’écris proprement j’ai KB qui est égal à 4 fois CL. J’ai abouti à mon but: le nombre k que je cherchais ici est égal à 4. Je peux donc conclure que les vecteurs KB et CL sont colinéaires et donc que les droites (KB) et (CL) sont parallèles.
Voici la 2ème application de la colinéarité: ABCD est un parallélogramme (je vais tout de suite faire une petite figure comme ceci), les points I et J sont tels que DI est égal à 3 quarts du vecteur DA. Donc j’ai ici mon vecteur DA, je dois en prendre 3 quarts donc je vais le couper en 4 parties égales comme ceci et mon point I est placé à la 3ème partie, ici. Ensuite j’ai BJ qui est égal à 4 tiers du vecteur BA: voici mon vecteur BA, je dois le couper en 3 parties égales donc ici j’ai un tiers, deux tiers, trois tiers alors je prolonge un tout petit peu et je vais avoir 4 tiers du vecteur BA. Je vais pouvoir donc ici placer le point J.
Dans cet exercice on me demande de montrer que les points C, I et J sont alignés (je vais tout de suite aller voir sur la figure si ça a l’air d’être le cas). Alors effectivement j’ai l’impression qu’il y a une droite qui passe par ces 3 points. On va tout de suite démontrer que ces 3 points sont alignés. Comment? Hé bien je vais démontrer que les vecteurs CI et CJ sont colinéaires c’est-à-dire mon but est d’obtenir une relation du type CJ= une constante k fois le vecteur CI.
Alors comme précédemment on va décomposer les vecteurs CI et CJ en fonction des mêmes vecteurs afin de voir apparaître une relation entre ces 2 vecteurs. Alors j’ai le vecteur CI et je vais aller voir quel point introduire grâce à la relation de Chasles pour pouvoir avoir des vecteurs qui vont bien. Dans l’énoncé on me donne DI, tiens donc c’est pas mal si j’introduis le point D. Cela va me donner CD+DI, est-ce que tu es d’accord? Alors ensuite il faut utiliser le fait que ABCD est un parallélogramme. Alors comment? Hé bien ici le vecteur CD, que tu vois ici, dans un parallélogramme en fait il est égal au vecteur BA. Donc je vais le remplacer par BA plus le vecteur DI que je vais remplacer par son expression donné dans l’énoncé c’est-à-dire 3/4 de DA. Voilà j’ai exprimé le vecteur CI en fonction des vecteurs BA et DA. Je vais donc essayer de faire la même chose pour le vecteur CJ: alors quel point introduire dans le vecteur CJ? Hé bien dans l’énoncé tu vois qu’on te donne BJ donc l’idée est d’introduire B. La relation de Chasles va nous dire que c’est égal à CB+BJ. Toujours d’accord? Ensuite le vecteur CB, si tu regardes ton parallélogramme, il est ici et tu vois bien qu’il est égal au vecteur DA donc je vais le remplacer par DA plus le vecteur BJ que tu vas remplacer par 4/3 de BA. Alors on va réordonner les termes c’est-à-dire qu’on va d’abord mettre BA et ensuite DA comme dans le vecteur CI. Donc je vais avoir 4/3 de BA+DA. Alors maintenant tu observes bien ces 2 résultats et tu essayes de trouver comment je passe de l’un à l’autre. Si tu regardes ici BA il est accompagné du coefficient 1 donc par quoi je vais le multiplié ce nombre 1 pour avoir 4/3? Hé bien tout simplement par 4/3. Vérifions avec le coefficient de DA. Ici j’ai 3/4, si je le multiplie par 4/3 et bien ça va me faire 1 tout simplement puisque 3/3 ça s’en va, 4/4 ça s’en va, il va me rester 1: c’est effectivement ce que j’ai comme coefficient devant DA. Donc finalement si je fais le vecteur CI que je multiplie par 4/3 hé bien je vais obtenir le vecteur CJ. Ecris de manière plus joli, on va avoir que CJ=4/3CI donc les vecteurs CI et CJ sont colinéaires et donc les points C, I et J sont alignés et j’ai atteint l’objectif de cet exercice.
Alors nous sommes arrivés au terme de cette vidéo, j’espère que tu as compris le principe de décomposer des vecteurs en fonction d’autres vecteurs pour pouvoir montrer, par exemple, que 2 droites sont parallèles ou que 3 points sont alignés. Alors cette technique de décomposition de vecteurs, ça demande beaucoup d’entrainement pour pouvoir être un peu plus à l’aise donc ce que je te propose c’est d’aller télécharger la feuille d’exercices qui est juste en bas de la vidéo, de t’entrainer et d’aller voir la correction sur la feuille de correction que tu peux télécharger également juste après la vidéo. Voilà j’espère que cette vidéo t’aura servi en tout cas, je te dis à très bientôt sur bossetesmaths.com salut !