Bienvenue dans cet article où nous allons explorer ensemble la relation de Chasles et son utilisation essentielle en géométrie vectorielle.
Nous allons voir comment décomposer des vecteurs afin de montrer que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés.
🔄 Rappel 1 : La relation de Chasles
Avant d’entrer dans le vif du sujet, il est important de bien comprendre la relation de Chasles. Cette relation nous permet d’exprimer un vecteur en fonction de deux autres vecteurs passant par un point intermédiaire.
Par exemple, si tu as un vecteur $latex \overrightarrow{AB}$, tu peux introduire un troisième point $latex C$ et écrire :
$latex \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$
Ce principe fonctionne avec n’importe quel point intermédiaire. Par exemple :
- $latex \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FB}$
- $latex \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KB}$
Cette décomposition est la base pour manipuler des vecteurs et établir des relations entre eux.
📐 Rappel 2 : Les vecteurs colinéaires
Deux vecteurs $latex \overrightarrow{u}$ et $latex \overrightarrow{v}$ sont dits colinéaires s’ils ont la même direction. Cela signifie que les droites qui portent ces vecteurs sont parallèles.
On peut symboliser cette relation par :
$latex \overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}$
où k est un nombre réel. Ce nombre k peut être positif ou négatif selon le sens des vecteurs.
Par exemple, si le vecteur $latex \overrightarrow{v}$ est dans la direction opposée à $latex \overrightarrow{u}$ et deux fois plus long, on aura :
$latex \overrightarrow{v} = -2 \times \overrightarrow{u}$
La longueur d’un vecteur s’appelle la norme, et elle joue un rôle important dans cette relation.
🔍 À quoi sert la colinéarité ?
La notion de colinéarité est très utile en géométrie, principalement pour :
- Montrer que deux droites sont parallèles
- Montrer que trois points sont alignés
Si deux vecteurs $latex \overrightarrow{AB}$ et $latex \overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, alors les droites portant ces vecteurs, (AB) et (CD), sont parallèles.
De même, si les vecteurs $latex \overrightarrow{AB}$ et $latex \overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, alors les points $latex A$, $latex B$ et $latex C$ sont alignés.
✏️ Application 1 : Montrer que deux droites sont parallèles
Considérons un triangle $latex ABC$ avec deux points $latex K$ et $latex L$ définis par :
- $latex \overrightarrow{AK} = 4 \times \overrightarrow{AC}$
- $latex \overrightarrow{AL} = \frac{1}{4} \times\overrightarrow{AB}$
On souhaite démontrer que les droites (CL) et (KB) sont parallèles.
Pour cela, on montre que les vecteurs $latex \overrightarrow{CL}$ et $latex \overrightarrow{KB}$ sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe un réel k tel que :
$latex \overrightarrow{KB} = k \times\overrightarrow{CL}$
La démarche :
- Exprimer $latex \overrightarrow{CL}$ en introduisant le point $latex A$ :
$latex \overrightarrow{CL} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AL} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB}$ - Exprimer $latex \overrightarrow{KB}$ en introduisant le point $latex A$ :
$latex \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AB} = – \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AB} = -4\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}$
En remplaçant $latex \overrightarrow{CA}$ par $latex -\overrightarrow{AC}$, on obtient :
- $latex \overrightarrow{CL} = – \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$
- $latex \overrightarrow{KB} = -4\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}$
On remarque que :
$latex \overrightarrow{KB} = 4 \times\overrightarrow{CL}$
On conclut que les vecteurs $latex \overrightarrow{CL}$ et $latex \overrightarrow{KB}$ sont colinéaires, donc les droites (CL) et (KB) sont parallèles.
📏 Application 2 : Montrer que trois points sont alignés
Considérons un parallélogramme $latex ABCD$ et deux points $latex I$ et $latex J$ tels que :
- $latex \overrightarrow{DI} = \frac{3}{4} \times \overrightarrow{DA}$
- $latex \overrightarrow{BJ} = \frac{4}{3}\times \overrightarrow{BA}$
On souhaite démontrer que les points $latex C$, $latex I$ et $latex J$ sont alignés.
Pour cela, on va montrer que les vecteurs $latex \overrightarrow{CI}$ et $latex \overrightarrow{CJ}$ sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe un réel $latex k$ tel que :
$latex \overrightarrow{CJ} = k \times \overrightarrow{CI}$
La démarche :
- Exprimer $latex \overrightarrow{CI}$ en introduisant le point $latex D$ :
$latex \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DI}$ - Exprimer $latex \overrightarrow{CJ}$ en introduisant le point $latex B$ :
$latex \overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BJ}$
En utilisant les propriétés du parallélogramme :
- $latex \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$
- $latex \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$
On remplace les vecteurs $latex \overrightarrow{DI}$ et $latex \overrightarrow{BJ}$ par leurs expressions :
- $latex \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{BA} + \frac{3}{4} \overrightarrow{DA}$
- $latex \overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{DA} + \frac{4}{3} \overrightarrow{BA}$
En réordonnant les termes, on a :
- $latex \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{BA} + \frac{3}{4} \overrightarrow{DA}$
- $latex \overrightarrow{CJ} = \frac{4}{3} \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DA}$
On remarque que multiplier $latex \overrightarrow{CI}$ par $latex \frac{4}{3}$ donne :
$latex \frac{4}{3} \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CJ}$
On conclut que les vecteurs $latex \overrightarrow{CI} $ et $latex \overrightarrow{CJ}$ sont colinéaires, donc les points $latex C$, $latex I$ et $latex J$ sont alignés.
📝 Conclusion
Tu as découvert comment la relation de Chasles permet de décomposer des vecteurs pour démontrer des propriétés géométriques importantes, comme le parallélisme de deux droites ou l’alignement de trois points. Cette méthode repose sur la capacité à exprimer un vecteur en fonction d’autres vecteurs et à identifier des relations de colinéarité.
Cette technique demande un peu d’entraînement pour être maîtrisée, mais elle est très puissante pour résoudre des problèmes de géométrie vectorielle. Je t’encourage vivement à t’exercer avec cette feuille d’exercices adaptée pour gagner en aisance.
Pour vérifier tes réponses, télécharge le corrigé des exercices ici.
En résumé :
- La relation de Chasles te permet de décomposer un vecteur en introduisant un point intermédiaire.
- Deux vecteurs colinéaires indiquent que les droites qui les portent sont parallèles.
- La colinéarité de deux vecteurs issus d’un même point montre que trois points sont alignés.
Bonne pratique et à bientôt pour de nouvelles découvertes mathématiques !