Moyenne, variance, écart-type d’une série statistique [Vidéo](Seconde)

Salut à toi et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet et dans cette nouvelle vidéo je vais t’expliquer comment calculer la moyenne, la variance et l’écart-type d’une série statistique et je te montrerai également comment tu peux retrouver ces résultats grâce au menu statistiques de ta calculatrice. On y va !

Alors on entre tout de suite dans le vif du sujet, la série statistique suivante donne la taille en cm de 20 nouveaux-nés dans une maternité un jour donné. Donc tu vois ça se présente sous forme d’un tableau, dans la première ligne on a les valeurs qu’on note en général xi c’est à dire que là tu vois 48,5 ; 48,7 … Ce sont les tailles des bébés en cm.
En dessous ceux sont les effectifs qu’on note en général ni : 2, 4 etc. C’est le nombre de nouveaux-nés par exemple dans cette maternité on a eu 2 nouveaux-nés qui mesuraient 48,5 cm. On te demande de calculer la moyenne, la variance et l’écart-type de cette série statistique.

On va d’abord commencer par calculer la moyenne : en général cette moyenne va se noter x barre. Je vais te donner la formule : x barre = 1/N. (Grand N c’est l’effectif total) fois la somme sur i des ni xi où N= somme sur i des ni, c’est à dire que N étant l’effectif total tu fais la somme des ni. Donc tu vas faire 2+4+3+1 etc. Mais là je n’ai pas vraiment besoin de calculer cette somme puisqu’on me dit que dans cette maternité on a eu 20 nouveaux-nés, donc N, mon effectif total est égal à 20. Comment on fait ce calcul ? Donc x barre sera égal à 1/20, j’ouvre des parenthèses pour pouvoir faire cette somme, c’est la somme des ni fois xi. Donc tu vas faire 2 fois 48,5 + 4 fois 48,7+…. Si tu as compris le principe tu peux mettre des petits pointillés comme ça + on va écrire les deux derniers : 1 fois 51,3 + 2 fois 52. Voila, c’est ça la somme des ni xi. Alors on va calculer la parenthèse, tu le fais sur la calculatrice, on obtient 993,8 et quand on divise par 20 finalement notre moyenne est égale à 49, 69. Donc on peut conclure que la taille moyenne d’un nouveau-né dans cette maternité est de 49,69 cm. Donc ça signifie que si les 20 nouveaux-nés avaient tous la même taille, cette taille serait de 49,9 cm. Est-ce que tu as compris ce calcul ?

Maintenant je vais t’expliquer comment on calcule la variance de cette série statistique. Alors on va la noter V et voici sa formule : 1/N fois la somme sur i des ni fois xi – x barre notre moyenne, au carré. On a une deuxième formule un peu plus simple : 1/N fois la somme sur i des ni fois xi au carré et quand on a calculé ça on va soustraire la moyenne : – x barre au carré. Je te montre tout de suite comment ça fonctionne : donc ici V= 1/20, on ouvre une parenthèse pour faire la somme des ni fois xi au carré, donc le premier terme sera 2 fois 48,5 au carré + le deuxième terme 4 fois 48,7 au carré etc… On va écrire les deux derniers : + 1 fois 51,3 au carré + 2 fois 52 au carré. Je ferme la parenthèse j’ai terminé de faire cette somme et je soustrais – x barre au carré c’est à dire 49,69 au carré (c’était la valeur que l’on avait précédemment pour la moyenne) . Donc voila ton calcul de variance : 1/20 fois ce calcul entre parenthèse que tu fais à la calculatrice, ça va nous donner au total 49405,84 – 49,69 au carré, la calculatrice nous dit que ça fait 881,4961. Donc voila tu fais cette multiplication puis cette soustraction et finalement notre variance est égale à 1,1959. Tu peux vérifier tout ça à la calculatrice, fais le pour t’habituer à calculer ces grands calculs.

Alors on continue avec le calcul de l’écart-type de notre série. Il se note sigma et en fait sigma c’est tout simplement la racine carré de ta variance donc ici ce sera la racine carré de 1,1959, grâce à la calculatrice tu vois que ça fait à peu près 1,09 donc voila notre écart-type. Alors je te propose maintenant de retrouver ces trois valeurs grâce au menu statistique de ta calculatrice TI ou Casio, je vais te montrer les deux. Alors d’abord sur TI, tu vas accéder au menu statistique en appuyant ici sur la touche «Stat» et on va entrer ce tableau dans notre calculatrice tout simplement en sélectionnant le menu 1 : éditer. Donc voila tu as des listes 1, 2 et 3 on va mettre dans la liste 1 les valeurs xi ici les tailles, tu vois qu’ici j’ai déjà des valeurs donc pour enlever ses valeurs je vais me positionner tout en haut ici et je vais faire annuler, entrer. Voila ça me remet ma liste 1 toute vide. Donc allons-y je vais entrer les valeurs : 48,5 entrer, 48,7 entrer, 49 ; 49,2 ; 49,5 ; 50 ; 50,5 ; 51,3 et 52. Donc je passe ensuite dans la liste 2 et je vais entrer les effectifs : 2 ; 4 ; 3 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 1 et 2. Voila mon tableau est entré dans ma calculatrice, donc maintenant j’appuie de nouveau sur « Stat » et je vais aller dans le deuxième onglet ici « calc » pour qu’il puisse me faire le calcul de moyenne et d’écart-type.
Donc je sélectionne le premier menu statistique à une variable et je veux dire à ma calculatrice qu’elle doit faire les calculs sur la liste 1 et la liste 2 donc pour accéder à la liste L1 tu vois ici au dessus de la touche 1 écrit L1 et au dessus de la touche 2 écrit L2. Pour y accéder on va faire 2nde 1, il m’affiche L1 tu vas mettre une virgule et 2nde 2, il m’affiche L2 et c’est bon on peut faire entrer. Tu vois qu’en première ligne il m’a affiché x barre = 49,69 ça correspondait à ma moyenne, en deuxième ligne on a sigma x = 993,8 ensuite sigma x carré c’était pour le calcul de la variance on avait fait 2 fois 48,5 au carré + 4 fois 48,7 au carré etc et on avait trouvé 49405,84. Tu vois ici affiché sigma x qui est en fait notre écart-type et on voit bien que c’est à peu près égal à 1,09 donc voila comment tu obtiens la moyenne x barre et l’écart-type sigma à l’aide de la calculatrice TI.

Maintenant sur la calculatrice Casio tu accèdes au menu «Stat» ici pour moi c’est la touche 2, tu as des listes, alors la liste 1 n’étant pas vierge il va falloir supprimer les valeurs je vais donc me positionner tout en haut avec la flèches de droite je vais accéder à « Del A » il me demande si je veux supprimer la liste je dis oui j’appuie sur la touche F1. Donc voila la liste 1 est maintenant vierge et je vais y entrer les valeurs ici mes tailles, on avait 48,5 puis 48,7 ; 49 ; 49,2 etc je passe dans la liste 2 et j’entre les effectifs : 2 ; 4 ; 3 ; 1 ; 2 ; etc. Voila mon tableau est prêt et maintenant pour faire les calculs de moyenne et d’écart-type j’appuie ici sur « Calc » donc la touche F2 et je vais dans « Set » pour régler, pour lui dire de faire les calculs sur la liste 1 et la liste 2. Donc allons-y dans la première ligne on va mettre la liste 1 et dans la deuxième ligne alors ici par défaut c’est écrit 1 donc ça veut dire qu’en fait il va traiter le cas où tous les effectifs sont égaux à 1. Nous c’est pas le cas, donc on va dire de prendre la liste 2, entrer. Tu dois avoir liste 1 et liste 2 en première ligne alors on fait « Exit » et on va lui dire de calculer les statistiques avec une variable ici. Tu obtiens x barre notre moyenne qui est égale à 49,69 ici tu as la somme des ni xi, calcul de la moyenne qui est égale à 993,8. Ici tu as la somme des ni xi au carré pour calculer la variance , cette somme est égale à 49405,84 et ici le calcul avec sigma te donne les résultats de notre écart-type on avait trouvé 1,09. Voila comment on procède sur Casio.

Alors pour terminer je vais t’expliquer comment interpréter la moyenne, la variance et l’écart-type d’une série statistique en prenant un exemple simple : on a deux élèves, Paul et Vincent et voici leurs notes de maths au deuxième trimestre de Seconde. Les notes de Paul sont : 10 ; 12 ; 8 ; 12 ; 5 ; 5 et les notes de Vincent sont données dans un tableau avec les notes et le coefficient de chaque note. Donc on va calculer d’abord la moyenne et l’écart-type des notes de Paul et de Vincent et ensuite on va pouvoir comparer Paul et Vincent et savoir quel est le niveau de l’un par rapport à l’autre. Alors je te propose de mettre ta vidéo sur pause quelques minutes et de faire les calculs de moyenne et d’écart-type pour les notes de Paul et de Vincent et on se retrouve juste après pour comparer tes résultats.

Voici les résultats pour Paul : on trouve une moyenne x barre = 9 et on trouve un écart-type sigma qui vaut environ 4,12. En ce qui concerne Vincent on obtient comme moyenne x barre = 10,625 et un écart-type sigma qui vaut environ 1,58. La première chose c’est que la variance sert uniquement à calculer l’écart-type donc on interprétera pas la variance, on interprétera l’écart-type. Alors tout d’abord pour comparer les résultats de Paul et Vincent on va comparer leur moyenne : la moyenne de Paul est 9 et la moyenne de Vincent est de 10,625 donc on peut dire que Vincent semble avoir un meilleur niveau en maths que Paul pendant ce deuxième trimestre de Seconde. Alors sache que la moyenne x barre est ce qu’on appelle en statistique un indicateur déposition donc si tu veux ça indique comment se positionne Paul par rapport à Vincent. Sache aussi que l’écart-type sigma, en statistique on pourra dire que c’est un indicateur de dispersion autour de la moyenne. Ca veut dire que plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de ta moyenne. Donc tu vois que Paul a un écart-type de 4,12 et Vincent de 1,58 donc l’écart-type de Paul est beaucoup plus grand que celui de Vincent donc on pourra dire que ses notes sont beaucoup plus dispersées autour de sa moyenne. Donc concrètement, on peut conclure que le niveau de Paul est beaucoup plus hétérogène que le niveau de Vincent. Voila comment on peut interpréter cet écart-type et cette moyenne.

Hé bien cette vidéo est à présent terminée, tu sais maintenant comment calculer la moyenne, la variance et l’écart-type d’une série statistique et comment interpréter la moyenne et l’écart-type d’une telle série et tu sais également retrouver ces paramètres grâce à ta calculatrice. Alors j’espère que cette vidéo t’aura été utile, n’hésite pas pour t’entraîner à télécharger la feuille d’exercice qui est juste après et à corriger grâce à la correction de cette feuille. Je te dis donc à très bientôt sur bossetesmaths.com pour une nouvelle vidéo ! Salut !