Bienvenue dans cette étude approfondie d’une fonction trigonométrique, conçue pour les élèves de terminale spé maths qui souhaitent maîtriser les fonctions comportant des sinus et des cosinus.
Nous allons étudier ensemble la fonction f définie par : f(x) = (1 – cos x) / sin x.
Cette analyse complète nous permettra de comprendre chaque étape essentielle pour étudier une fonction trigonométrique : de son domaine de définition à sa courbe représentative, en passant par sa périodicité, sa parité, sa dérivée, ses variations et ses limites.
🧩 Définir l’ensemble de définition de la fonction trigonométrique
La première étape dans l’étude de fonction trigonométrique consiste à déterminer où la fonction est bien définie, c’est-à-dire son ensemble de définition.
Dans notre cas, la fonction f est définie par un quotient, ce qui impose de ne pas diviser par zéro. Or, le dénominateur est sin x. Il faut donc exclure les valeurs de x telles que :
- sin x = 0
Sur le cercle trigonométrique, le sinus est nul aux multiples entiers de π :
- x = kπ où k ∈ ℤ
Ainsi, l’ensemble de définition de f est :
𝔻f = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.
⏳ Étudier la périodicité de la fonction trigonométrique
Les fonctions cosinus et sinus sont toutes deux 2π-périodiques :
- cos(x + 2π) = cos x
- sin(x + 2π) = sin x
En remplaçant x par x + 2π dans f, on retrouve :
f(x + 2π) = (1 – cos(x + 2π)) / sin(x + 2π) = (1 – cos x) / sin x = f(x)
Donc, f est aussi 2π-périodique. Cette propriété est très utile puisqu’elle permet d’étudier la fonction sur un intervalle de longueur 2π seulement, par exemple :
] –π, π [ (intervalle ouvert car les extrémités sont interdites).
⚖️ Étudier la parité de la fonction trigonométrique
La parité d’une fonction indique si elle est paire, impaire, ou ni l’un ni l’autre :
- cosinus est une fonction paire : cos(-x) = cos x
- sinus est une fonction impaire : sin(-x) = -sin x
Calculons f(-x) :
f(-x) = (1 – cos(-x)) / sin(-x) = (1 – cos x) / (-sin x) = -f(x)
On voit donc que :
f(-x) = -f(x), ce qui signifie que f est une fonction impaire.
Cette propriété implique que la courbe de f est symétrique par rapport à l’origine. Ainsi, pour tracer la courbe sur ] –π, π [, il suffit d’étudier la fonction sur [0, π[ puis de symétriser les résultats.
📈 Calculer la dérivée de la fonction trigonométrique
Pour étudier les variations de f, il faut calculer sa dérivée. Rappelons les dérivées des fonctions trigonométriques :
- (cos x)’ = -sin x
- (sin x)’ = cos x
La fonction f s’écrit comme un quotient :
f(x) = u(x) / v(x) avec u(x) = 1 – cos x et v(x) = sin x
Calculons les dérivées :
- u'(x) = sin x
- v'(x) = cos x
En appliquant la formule de dérivation d’un quotient :
f'(x) = (u'(x) * v(x) – u(x) * v'(x)) / (v(x))²
Soit :
f'(x) = (sin x * sin x – (1 – cos x) * cos x) / sin² x
En développant et simplifiant avec l’identité trigonométrique cos² x + sin² x = 1, on obtient :
f'(x) = (1 – cos x) / sin² x
📊 Étudier les variations de la fonction trigonométrique
Pour déterminer les variations de f sur ]0, π[, il faut étudier le signe de f'(x).
- Le dénominateur sin² x est toujours positif sur ]0, π[ car sin x ≠ 0 et sin x > 0.
- Le numérateur 1 – cos x est positif ou nul car cos x ∈ [-1, 1] et atteint 1 uniquement en x = 0, qui n’est pas dans l’intervalle ouvert.
Donc :
f'(x) > 0 sur ]0, π[, ce qui signifie que f est strictement croissante sur cet intervalle.
🔍 Calculer les limites de la fonction trigonométrique aux bornes
Pour compléter le tableau de variations, calculons les limites de f en 0 et en π :
Limite en 0
Remplacer directement donne une forme indéterminée 0/0. En reformulant :
f(x) = (1 – cos x) / sin x = [(1 – cos x) / x] * [x / sin x]
On utilise :
- lim (x → 0) (sin x / x) = 1 ⇒ lim (x → 0) (x / sin x) = 1
- lim (x → 0) (1 – cos x) / x = 0 (car dérivée de cos en 0 est 0)
Donc, par produit :
lim (x → 0) f(x) = 0
Limite en π
Le numérateur tend vers :
1 – cos π = 1 – (-1) = 2
Le dénominateur tend vers :
sin π = 0
Sur ]0, π[, sin x est positif, donc la limite est :
lim (x → π⁻) f(x) = +∞
🎨 Tracer la courbe de la fonction trigonométrique
Avec ces informations :
- f est strictement croissante sur ]0, π[
- la limite en 0 est 0
- la limite en π est +∞
- f(π/2) = (1 – cos(π/2)) / sin(π/2) = 1 / 1 = 1
On peut tracer la courbe sur [0, π[ :
- Au voisinage de 0, f(x) ≈ 0
- En π/2, f(x) = 1
- Près de π, f(x) tend vers +∞
Grâce à la parité impaire, on symétrise cette courbe par rapport à l’origine pour obtenir la courbe sur ]-π, 0[ :
- f(-x) = -f(x)
- la limite en -π est -∞
- la limite en 0 est 0
Enfin, la périodicité de 2π permet de reproduire ce motif sur tout ℝ, obtenant ainsi la courbe complète de f.
🔚 Conclusion
Cette étude complète de la fonction trigonométrique f(x) = (1 – cos x) / sin x a permis d’aborder les étapes essentielles pour analyser une fonction trigonométrique :
- Détermination de l’ensemble de définition
- Étude de la périodicité
- Analyse de la parité
- Calcul de la dérivée
- Étude des variations
- Calcul des limites
- Représentation graphique
Cette démarche peut être appliquée à d’autres fonctions trigonométriques, comme la fonction tangente (sin x / cos x), pour mieux comprendre leur comportement et préparer efficacement les épreuves de spécialité maths du Bac.
Je t’encourage à télécharger cette feuille d’exercice pour pratiquer et approfondir ces notions, et à utiliser une calculatrice pour visualiser les courbes.
Voici le corrigé de l’exercice pour vérifier tes résultats. Tu pourras ainsi admirer la magnifique courbe de la fonction tangente !
Bonne continuation dans l’étude des fonctions trigonométriques !