Dans cet article, je te propose une étude détaillée de la fonction exponentielle à travers l’exemple concret de la fonction définie par f(x) = exp(x) + 1/x, issu d’un vrai sujet de Bac.
Nous allons explorer ensemble toutes les étapes nécessaires à l’analyse complète de cette fonction sur l’intervalle ]0, +∞[, en passant par l’étude d’une fonction auxiliaire g qui nous aidera à mieux comprendre le comportement de la fonction f.
🔍 Introduction : les fonctions f et g
La fonction à étudier est définie par :
f(x) = exp(x) + 1/x, définie sur l’intervalle ]0, +∞[.
Pour faciliter l’étude, on introduit une fonction auxiliaire :
g(x) = x² exp(x) – 1, définie sur [0, +∞[.
Cette fonction g va jouer un rôle central dans l’analyse de la dérivée de f et dans la compréhension de ses variations.
📈 Étude de la fonction auxiliaire g
- Étude du sens de variation de g
Pour étudier g(x), il faut commencer par calculer sa dérivée :
- g(x) = x² exp(x) – 1
- On dérive le produit x² exp(x) en utilisant la règle du produit :
g'(x) = (2x) exp(x) + x² exp(x) = exp(x) (2x + x²) = x exp(x) (2 + x)
Sur l’intervalle [0, +∞[, on remarque :
- x ≥ 0
- exp(x) > 0 (la fonction exponentielle est toujours strictement positive)
- 2 + x > 0
Donc g'(x) ≥ 0 pour tout x ≥ 0, ce qui implique que g est strictement croissante sur [0, +∞[.
- Valeurs particulières et limites de g(x)
- g(0) = 0² × exp(0) – 1 = -1
- limite de g(x) quand x tend vers +∞ : puisque x² exp(x) tend vers +∞, g(x) → +∞
- Existence et unicité d’un zéro de g(x)
On cherche un réel a dans [0, +∞[ tel que g(a) = 0.
Par le théorème des valeurs intermédiaires :
- g est continue et strictement croissante sur [0, +∞[
- g(0) = -1 < 0
- lim g(x) = +∞ > 0
Donc il existe un unique a tel que g(a) = 0.
À l’aide d’un tableau de valeurs calculé avec une calculatrice :
- g(0,703) ≈ -0,0018 < 0
- g(0,704) ≈ 0,0025 > 0
On en déduit que a ∈ ]0,703 ; 0,704[.
- Signe de g(x) sur [0, +∞[
Le signe de g(x) est négatif sur ]0, a[ et positif sur ]a, +∞[ :
- Pour x < a, g(x) < 0
- Pour x = a, g(x) = 0
- Pour x > a, g(x) > 0
📊 Étude de la fonction : f(x) = exp(x) + 1/x
- Limites de f aux bornes de l’intervalle
- limite en 0⁺ : exp(0) = 1, mais 1/x → +∞, donc f(x) → +∞
- limite en +∞ : exp(x) → +∞, 1/x → 0, donc f(x) → +∞
- Calcul de la dérivée f'(x)
La dérivée de f est :
f'(x) = exp(x) – 1/x²
On met sous forme d’une fraction commune :
f'(x) = (x² exp(x) – 1) / x² = g(x) / x²
- Étude du signe de f'(x) et variations de f
- Le dénominateur x² est toujours strictement positif sur ]0, +∞[
- Le signe de f'(x) dépend donc du signe de g(x)
- f’ est négative sur ]0, a[, nulle en a, positive sur ]a, +∞[
Donc f est décroissante sur ]0, a[ et croissante sur ]a, +∞[.
- Tableau de variations de f
- limite en 0⁺ : +∞
- f décroissante jusqu’à x = a
- minimum local en x = a
- f croissante sur ]a, +∞[
- limite en +∞ : +∞
- Minimum de f et valeur de ce minimum
Le minimum de f est atteint en x = a, noté m = f(a).
On a :
m = exp(a) + 1/a
Mais rappelons que g(a) = 0, donc :
a² exp(a) – 1 = 0 ⇒ a² exp(a) = 1 ⇒ exp(a) = 1/a²
On peut donc écrire :
m = 1/a² + 1/a
- Encadrement du minimum m
Comme a ∈ ]0,703 ; 0,704[, on encadre m :
- Encadrement de 1/a² :
- 1/(0,704)² ≤ 1/a² ≤ 1/(0,703)²
- Encadrement de 1/a :
- 1/0,704 ≤ 1/a ≤ 1/0,703
- Addition des encadrements :
- 3,438… < m < 3,459…
On peut donc conclure que :
3,43 < m < 3,45
🎯 Conclusion
Cette étude complète de la fonction f définie par f(x) = exp(x) + 1/x sur l’intervalle ]0, +∞[ illustre parfaitement l’importance de passer par une fonction auxiliaire pour comprendre les variations et le comportement d’une fonction complexe. Grâce à l’analyse de la fonction g définie par g(x) = x² exp(x) – 1, nous avons pu déterminer le sens de variation de f, calculer ses limites, démontrer l’existence d’un minimum unique, et même encadrer précisément la valeur de ce minimum.
Cette méthode rigoureuse, alliant dérivation, théorème des valeurs intermédiaires, étude des limites et utilisation de la calculatrice, est essentielle pour maîtriser les exercices de fonction exponentielle au niveau lycée, notamment pour réussir le bac de spécialité mathématiques.
En appliquant ces étapes, tu seras mieux préparé à aborder les exercices similaires, avec confiance et méthode.