Loi binomiale [Vidéo] (Terminale)

LOI BINOMIALE – Partie 1.

Bonjour et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet.
Dans cette vidéo, nous allons étudier la loi binomiale : c’est une notion de probabilité que l’on voit en 1ère et en terminale donc je vais d’abord te rappeler ce que c’est et ensuite nous traiterons un exercice de bac et enfin je te montrerai sur ta calculatrice comment faire les calculs qui font intervenir la loi binomiale. Je te dis à tout de suite !

Loi binomiale : épreuve de Bernoulli de paramètre p

Commençons par quelques rappels : une épreuve de Bernoulli de paramètre p qu’est-ce qu’est ? En fait, c’est une expérience aléatoire qui ne possède que 2 issues, je n’ai que 2 résultats possibles soit un succès soit le contraire d’un succès c’est-à-dire un échec. Je vais symboliser les 2 issues comme ceci (S ou S barre) avec une probabilité de succès qui est ce paramètre petit p donc en fait p c’est la probabilité d’avoir un succès.

Loi binomiale : schéma de Bernoulli de paramètres n et p

Alors ensuite un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, qu’est-ce que c’est ? C’est une expérience aléatoire qui consiste à répéter une épreuve de Bernoulli (donc une épreuve de Bernoulli a 2 issues succès ou échec), à le répéter n fois (succès, échec, succès, échec etc…je le répète n fois de manière identique et indépendante c’est-à-dire que ici par exemple à la 2ème répétition la probabilité d’avoir un succès est toujours la même etc…)
Alors évidemment si la probabilité d’un succès c’est p, la probabilité d’un échec c’est 1 – p puisque la somme des probabilités ici doit être égale à 1. Donc voilà ce qu’on appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p; c’est une répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes, de paramètre p.

Loi binomiale de paramètres n et p

Maintenant je peux te définir ce qu’est la loi binomiale de paramètres n et p. Tu prends un tel schéma de Bernoulli et en fait tu vas lister tous les résultats de chaque chemin par exemple ici le 1er chemin te donnera comme résultat SSS, le 2ème chemin te donnera SSS barre, le 3ème chemin te donnera S S barre S etc. Et en fait, on va construire une variable aléatoire qu’on va noter X qui va faire quoi en fait ? Hé bien, il va compter le nombre de succès dans un tel schéma de Bernoulli donc ici par exemple pour le résultat SSS on aura 3 succès, pour SS S barre tu vois que j’ai 2 succès et 1 échec donc j’ai 2 succès. Ici S S barre S, j’ai encore 2 succès et grand X ça compte le nombre de succès. Hé bien, une telle variable aléatoire on va dire qu’elle suite la loi binomiale de paramètres n et p et on va le noter comme ceci ou n, comme on l’a dit précédemment, est le nombre de répétitions et p c’est la probabilité d’avoir un succès.

Calcul de probabilité avec la loi binomiale

Alors c’est bien beau mais comment avoir la probabilité d’obtenir k succès ? Alors évidemment quand j’ai un schéma de Bernoulli de paramètres n et p (ça veut dire n répétitions) le nombre de succès k il va varier entre 0 et n : je peux avoir au minimum 0 succès (si je suis le chemin S barre, S barre, S barre tu vois bien que j’ai 0 succès) et je peux avoir au maximum n succès. La probabilité d’obtenir k succès elle est donnée par cette formule : p de x = k; x, je te rappelle, compte le nombre de succès donc x = k ça veut dire que je vais obtenir k succès.
Cette probabilité est égale au coefficient binomial k parmi n. Qu’est-ce que c’est ? C’est tout simplement le nombre de chemins dans cette arbre qui mène à k succès, multiplié par p à la puissance k et multiplié par 1 – p à la puissance n – k. Cette formule est à connaitre et à apprendre par coeur je vais maintenant t’expliquer comment l’utiliser dans un exercice de bac.

LOI BINOMIALE AU BAC – PARTIE 2

Loi binomiale dans un sujet de Bac

Je te propose de traiter l’exercice 1 qui est tombé au Bac en France en juin 2013, tu peux le faire également si tu es en terminale ES ou en terminale L option maths. On va traiter la question 2, la question 1 a déjà été traitée dans une vidéo précédemment et donc je t’invite à, tout d’abord, chercher l’exercice et ensuite tu peux visionner la vidéo pour voir les réponses à la question 1.

Alors pour résumer rapidement, il s’agissait d’une jardinerie qui vendait des arbres provenant de 3 horticulteurs différents H1, H2 et H3 avec les probabilités ici et chaque arbre était de 2 sortes différentes soit c’était un conifère soit c’était un feuillu avec les probabilités qui sont ici dans l’arbre. Et dans les questions précédentes, on a montré que la probabilité qu’un arbre soit un conifère est égale à 0,525 (c’était la question 1c ici).

Justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale

Traitons la question 2 petit a : on choisit, au hasard, un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. Donc je ne sais pas si tu comprends les choses mais en fait on va supposer que le stock d’arbres est très très important et on va procéder de la manière suivante : on tire un arbre dans le stock, on regarde si c’est un conifère, on le remet dans stock, ensuite on retire un 2ème arbre dans le stock, on regarde si c’est un conifère et on le remet dans le stock etc et on fait ce tirage 10 fois puisqu’on veut tirer 10 arbres dans ce stock.

Question a : justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. On y va ! Voici comment on doit rédiger les choses, on doit d’abord expliquer quelle est l’expérience aléatoire à laquelle on procède ici. Tu vas bien faire gaffe à la rédaction. On va dire que l’expérience aléatoire consiste à tirer 1 arbre dans le stock avec pour succès (qu’est-ce qu’on va appeler le succès ? je te rappelle que X va compter le nombre de conifères, dans la loi binomiale X est le nombre de succès donc ici, on n’a pas le choix, le succès ça sera que notre arbre est un conifère) donc avec pour succès l’événement S que je vais noter comme ceci « l’arbre est un conifère ».

Alors oui très bien mais si je reviens dans le sujet de bac ici, « l’arbre est un conifère » en fait cet événement se note C alors je vais modifier un petit peu les choses, mon succès je vais pas le noter S mais je vais garder les notations de l’énoncé donc c’est C mon succès et je vais préciser sa probabilité donc la probabilité du succès en général dans la loi binomiale on va l’ajouter p, p c’est la probabilité de l’événement C et dans la question précédente on va démontrer que c’était égal à 0,525. Donc ça c’est notre épreuve de Bernoulli : donc on choisit un arbre dans le stock (soit on a un succès c’est un conifère soit on a un échec, ce n’est pas 1 conifère avec la probabilité d’avoir un succès qui vaut 0,525). Ensuite il faut dire qu’on va répéter 10 fois (comme on veut choisir 10 arbres dans le stock), on répète 10 fois cette expérience de manière identique et surtout indépendante. Pourquoi de manière indépendante ? Hé bien ça c’est du tout simplement au fait qu’on fait un tirage avec remise donc le fait de tirer un conifère la 2ème fois ça ne va pas dépendre du fait qu’on a tiré un conifère la 1ère fois ou pas et donc la probabilité d’un succès est toujours la même à chaque répétition.
Enfin on introduit notre variable aléatoire X qui compte le nombre (alors ça compte le nombre de conifères) de succès. Hé bien elle suit donc la loi binomiale et on va préciser ses paramètres, de paramètre n (tu te rappelles c’est le nombre de répétitions, on répète 10 fois donc n = 10) et p qui est la probabilité du succès égale à 0,525. Voilà tout ce que tu dois dire lorsque tu dois justifier que tu as affaire à une loi binomiale.

Calcul de la probabilité P(X=5) où X suit une loi binomiale

On passe à la question 2b : quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ?
Exactement 5 conifères ça signifie en fait que X = 5 car X c’est le nombre de conifères donc je veux la probabilité que X soit égal à 5 qui est notée comme ceci. Mais comme X, on l’a dit précédemment, suit la loi binomiale de paramètre n = 10 et p = 0,525 hé bien on va pouvoir appliquer la formule que je t’ai rappelé précédemment donc en fait ici 5 c’est k, n qui vaut 10, p qui vaut 0,525 donc dans la formule on avait d’abord le coefficient binomial k parmi n c’est-à-dire ici 5 parmi 10, multiplié par p à la puissance 4 donc par 0,525 à la puissance 5 et qu’on multiplie ensuite par 1 – p donc (1 – 0,525) à la puissance n – k c’est-à-dire à la puissance 10 – 5.

Coefficient binomial sur calculatrices TI et Casio

Alors comment est-ce que j’obtiens ce coefficient binomial 5 parmi 10 ? Je vais te montrer ça d’abord sur TI et ensuite sur Casio.

Sur TI pour avoir le coefficient binomial 5 parmi 10, on va d’abord taper 10 ensuite on va dans maths, on va dans l’onglet proba et ça sera le 3ème choix nCr ou combinaison en français, on choisit ça et on fait apparaitre le nombre 5, entrer et on trouve 252.

Sur Casio on va dans le menu run, on tape notre nombre 10, on va dans option, on cherche l’onglet proba qui est ici et ça sera la touche f3 nCr combinaison. Voilà ça affiche un C comme ceci et on affiche le nombre 5, entrer et c’est égal encore à 252. Donc au final, la probabilité que X soit égal à 5 c’est égal donc à notre coefficient binomial qui valait 252 x 0,525 puissance 5 x 0,475 à la puissance 5. Je vais prendre ma calculatrice pour faire ce calcul donc 252 x 0,525 puissance 5 x 0,475 à la puissance 5, entrer et j’obtiens ce nombre et dans le sujet de bac on me demande d’arrondir à 10 puissance -3 près donc 0,243 et comme j’ai un 0 derrière donc l’arrondi sera environ égal à 0,243 à 10 puissance -3 près et j’ai répondu à la question : la probabilité d’obtenir 5 conifères est d’environ 0,243.

Calcul de la probabilité P(X=5) sur calculatrices TI et Casio

Alors tu peux trouver directement ce résultat sur ta calculatrice : sur TI, il va falloir aller ici dans le menu distri donc seconde barre, je descend jusqu’à trouver la loi binomiale, voilà ici donc je vais prendre le 1er binôme (binôme fdp sur les calculatrices françaises) et cette commande va pouvoir calculer la probabilité que X soit égal à k : alors dans l’ordre des paramètres, il faut d’abord mettre n qui vaut 10 puis p qui vaut 0,525, puis k ici on voulait 5 conifères, 5 succès donc on met 5, on ferme la parenthèse et on fait entrer. Voilà et tu vois directement le résultat 0,243 qui était la probabilité que X soit égal à 5.

Tu peux également retrouver ce résultat sur ta calculatrice Casio : pour cela tu vas dans option et tu choisis stat (mon modèle de calculatrice Casio est assez ancien, toi normalement tu dois avoir un modèle un peu plus récent et donc ici tu devrais avoir d’autres onglets et voici ce que tu dois faire) tu vas dans option, tu prends l’onglet stat et tu choisis l’onglet dist. Là dedans tu prends l’onglet binôme puis Bpd qui veut dire Binomial Probability Distribution, donc tu vas voir apparaitre binomialPD sur ton écran et dans l’ordre des paramètres tu vas mettre k (pour nous c’était 5) puis n (pour nous c’était 10) et enfin p (pour nous c’était 0,525) et tu devrais normalement retrouver le résultat 0,243.

Calcul de la probabilité P(X>=2) où X suit une loi binomiale

On termine avec la question 2c : quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins 2 arbres feuillus ? Alors attention ici il y a un piège. Grand X est le nombre de conifères, là on te parle d’arbre feuillu donc au moins 2 arbres feuillus il va falloir que tu traduises cela avec des conifères.
Alors « au moins 2 feuillus », est-ce que t’es d’accord que ça veut dire 2 feuillus ou 3 ou 4 etc ou 10 feuillus donc ça veut dire combien de conifères ? Si j’ai 2 feuillus ça veut dire que j’ai 8 conifères, si j’ai 3 feuillus ça veut dire que j’ai 7 conifères etc et si j’ai 10 feuillus ça fait 0 conifère. Donc en fait ça veut dire que X qui est mon nombre de conifères est inférieur ou égal à 8, est-ce que tu es d’accord avec ça ? C’est-à-dire soit il vaut 8 soit il vaut 7 jusqu’à 0 donc la probabilité d’avoir au moins 2 feuillus est en fait la probabilité que X soit inférieur ou égal à 8. Comment je vais obtenir cette probabilité ? Hé bien la calculatrice va le faire tout simplement. On va aller encore une fois dans le menu distrib sur Casio, on va descende jusqu’à trouver la loi binomiale, on ne prend plus binôme fdp mais binôme f rep sur les calculatrices françaises. Donc ça, ça calcule directement la probabilité que X soit inférieur ou égal à 1 nombre k donc dans l’ordre des paramètres on va mettre d’abord n qui vaut 10 dans notre cas puis p qui vaut 0,525 et en dernier on met k (ici k = 8), on ferme la parenthèse, on fait entrer et il faut arrondir ce nombre à 10 puissance -3 près donc ici cela nous donnera environ 0,984 à 10 puissance -3 près.

Sur Casio c’est toujours pareil, je vais dans option, stat, ici je vais dans dist (alors mon modèle de calculatrice ne me le permet pas donc je reviens ici) binôme et au lieu de choisir Bpd tu vas choisir Bcd qui veut dire Binomial Cumulative Distribution. Donc tu auras binomialCD affiché sur ton écran et dans l’ordre des paramètres tu vas mettre d’abord k (pour nous ça sera 8) puis n qui vaut 10 puis p notre probabilité égale à 0,525 et tu devrais retrouver 0,984.

Probabilité d’avoir « au moins un »…

Il faut absolument que je vois avec toi une question supplémentaire que j’ai numéroté 2d : quelle est la probabilité que l’échantillon comporte au moins un conifère ?
Alors je vais te donner une technique qui va te permettre de trouver une probabilité lorsque tu vois un « au moins 1 » dans la question. Il faut tout simplement passer par l’événement contraire donc « au moins 1 conifère » ça veut dire que je tire soit un conifère, soit 2 conifères soit 3 soit 4 jusqu’à 10 conifères et bien le contraire c’est que j’obtienne 0 conifère, est-ce tu es d’accord ?
Alors on y va ! La probabilité d’avoir au moins 1 conifère, je te rappelle que X c’était le nombre de conifères et comme on en veut au moins 1 hé bien ça veut dire que X est supérieur ou égal à 1, es-tu d’accord ? Je vais dire que c’est 1 – la probabilité de l’événement contraire et l’événement contraire c’est que j’ai 0 conifère c’est-à-dire que X soit égal à 0. Comment est-ce que je vais obtenir cette probabilité ? Est-ce que tu te rappelles que notre expérience consistait à tirer un arbre (soit c’est un conifère soit ça ne l’est pas) et à répéter cette expérience 10 fois avec la probabilité du succès qui était de 0,525 et de l’échec qui était 0,475; quelle est la probabilité que X soit égal à 0 ? X = 0 ça veut dire que je n’ai pas de conifères, j’ai 0 conifère donc j’ai un seul chemin dans l’arbre qui me donne 0 conifère c’est le chemin C barre, C barre, C barre etc 10 fois. Donc quelle est la probabilité de C barre, C barre, C barre 10 fois ? Hé bien je multiplie tout simplement les probabilités rencontrées sur les branches donc ici ça va me faire 0,475 x 0,475 x 0,475 et on en a 10, je vais pouvoir mettre puissance 10.

Donc je vais revenir ici à mon calcul, je vais donc avoir 1 – ce nombre 0,475 à la puissance 10, je vais prendre ma calculatrice et je vais procéder à ce calcul et voilà j’obtiens environ 0,999 à 10 puissance -3 près puisqu’après le 9 ici j’ai un 4. Donc retiens bien la méthode suivante : dans une question quelle est la probabilité blablabla d’avoir « au moins un… » blablabla, dès que tu vois « au moins un… » passe par l’événement contraire; la probabilité de ton événement ça sera 1 – la probabilité de ton événement contraire. Alors pourquoi on fait ça ? Tout simplement parce que la probabilité de l’événement contraire est très simple à calculer.

Conclusion sur la loi binomiale

Hé bien voilà c’est la fin de cette longue vidéo consacrée à la loi binomiale. J’espère maintenant que la loi binomiale ne te pose plus de problèmes et je te propose d’aller t’entrainer sur des sujets de Bac pour vérifier que tu as bien tout compris. Je te remercie en tout cas d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très bientôt, salut !