Equation d’une droite connaissant 2 points [Vidéo](Seconde)

Salut à toi et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet. Dans cette nouvelle vidéo je vais t’apprendre à déterminer l’équation réduite d’une droite lorsqu’on te donne 2 points qui appartiennent à cette droite. C’est une notion que tu vois en général en cours d’année de seconde et que l’on utilise très souvent par la suite en 1ère et en terminale, je te dis à tout de suite, on y va !

Alors dans toute cette vidéo, on se place dans un repère orthonormé du plan (comme dessiné ici) et toutes les droites que je vais dessiner dans ce repère et bien on va les classer en deux catégories :
-La 1ère catégorie de droite, ce sont les droites comme la droite rose ici qui sont parallèles à l’axe des ordonnées.
-La 2ème catégorie de droite c’est toutes les autres droites que je vais appeler droite oblique, comme la droite verte ici.

En ce qui concerne les droites parallèles à l’axe des ordonnées, hé bien une telle droite aura pour équation x = une constante petit c. Pourquoi cela ? Tout simplement parce que si je prends n’importe quel point sur une telle droite, est-ce que tu es d’accord que son x est égal toujours à la même constante petit c. Alors ici c est égal à 4 donc si je prends n’importe quel point M, N ce que je veux sur cette droite, hé bien son x, son abscisse sera toujours égal à 4 donc cette droite aura pour équation x = 4.

Maintenant si je prends une droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, je vais appeler une telle droite une droite oblique. Une telle droite aura, elle, pour équation une équation de la forme y = m fois x + p. Qu’est-ce que ça signifie ? ça signifie que si je prend n’importe quel point sur cette droite (peu importe ou) alors le y de ce point, l’ordonnée de ce point sera toujours égal à ce nombre petit m fois le x de notre point c’est-à-dire son abscisse plus un nombre petit p. Alors ça s’appelle l’équation réduite de la droite et je vais te préciser un peu plus les choses en ce qui concerne les nombres m et p.
Alors le nombre m s’appelle le coefficient directeur de la droite. Concrètement comment est-ce que je le détermine ? Pour cela nous avons une formule, il te suffit de prendre deux points sur ta droite (que j’appelle A et B) et le coefficient directeur de ta droite, le nombre petit m sera donné par la formule suivante : m = yB – yA / xB – xA. Alors concrètement ça signifie que pour aller par exemple de A vers B je me déplace tout d’abord suivant l’axe des y donc j’opère une différence de mes y (j’appelle ça delta y) sur un déplacement maintenant suivant l’axe des x pour rejoindre le point B. Ce déplacement je vais le noter delta x, c’est une différence des x : xB – xA. Voilà donc qu’est-ce que ça symbolise le coefficient directeur ? C’est tout simplement le quotient de delta y par delta x.
Ensuite le 2ème nombre qui apparait ici dans l’équation de la droite c’est le nombre p qui s’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite en question. Alors qu’est-ce qu’il symbolise lui ? Hé bien il porte bien son nom c’est-à-dire que tu te mets à l’origine, ici tu as l’axe des ordonnées et tu vas voir ou est-ce que ta droite coupe l’axe des ordonnées. Elle le coupe ici et le nombre que tu vas lire sur l’axe des ordonnées, c’est tout bêtement le nombre p de l’équation de ta droite, l’ordonnée à l’origine.

Alors je te propose tout de suite un 1er exemple dans lequel on te donne 2 nombres A et B; le point A de coordonnées (-2;3) donc je le place dans mon repère qui se situe ici et le point B de coordonnées (-2:-1) qui se situe ici. Il s’agit de déterminer l’équation réduite de la droite (AB). Alors la droite (AB) si on la trace, c’est cette droite là. Donc qu’est-ce que tu vois ? Tu vois qu’il s’agit d’une droite verticale donc son équation sera de type x = constante. Alors justement regardons leurs x à ces 2 points. Est-ce que tu vois comme moi que xA = xB = -2, à ce moment là on peut conclure que la droite (AB) son équation sera de la forme x = -2. Alors je vais rajouter la notation du 2 points ici qui veut juste dire « a pour équation ». Donc voilà ma droite (AB) qui est tracée ici avec ses deux points A et B et a pour équation x = -2.

Dans l’exemple 2 on prend 2 autres points : le point C de coordonnées (-3;2) donc je vais le placer ici et le point D de coordonnées (2;-8). Il s’agit de déterminer l’équation réduite de la droite (CD), c’est la droite qui passe par les deux points. Alors tu vois comme moi ici qu’il s’agit d’une droite que j’appelle oblique.
Comme tout à l’heure, on va commencer par regarder leurs x. Est-ce que tu es d’accord que xC est différent de xD car, en effet, -3 n’est pas égal à 2 ? Ceci signifie donc que ma droite (CD) n’est pas une droite parallèle à l’axe des ordonnées et donc ma droite (CD) aura une équation de la forme y = m x + p, je vais mettre mes : pour dire que la droite (CD) a une équation de le forme y = m x + p. On va d’abord déterminer petit m grâce à la formule de tout à l’heure. Alors tout à l’heure on avait donné une formule yB – yA / xB – xA c’était pour une droite (AB) donc ici comme les points sont C et D on adapte la formule, cela nous donnera yD – yC / xD – xC. On remplace xD vaut -8 – yC qui vaut 2 sur xD qui vaut 2 – xC qui vaut -3. On continue le calcul : -8-2 ça fait -10 et en bas 2-(-3) ça fait 2 + 3 = 5 et enfin -10 / 5 = -2. Voilà donc on a trouvé m et donc la droite (CD) a une équation de la forme y = m x + p dans lequel le m vaut -2 donc je le remplace ça nous donne -2x + p.
Maintenant il nous reste à trouver le coefficient petit p (l’ordonnée à l’origine). Alors comme on ne peut pas le faire graphiquement puisque p on ne sait pas trop si ça vaut -3,5, -3,4 etc donc pour le faire je vais prendre un des deux points C ou D (celui qui te parait le plus simple par exemple le point C de coordonnées (-3;2)) et je dis qu’il appartient à la droite (CD) donc qu’est-ce ça signifie ? Hé bien dans cette équation je peux remplacer x et y par les coordonnées de C, ce qui va me donner yC = -2xC + p. Alors maintenant cela équivaut à dire quoi ? Hé bien je remplace tout bêtement xc et yc par -3 et 2. Allons y, alors yC ça fait 2 égal -2 fois xC qui vaut -3 + p. Ce qui signifie que 2 = 6 + p c’est-à-dire que p sera égal donc à 2 – 6 donc p est égal à -4 donc au final l’ordonnée à l’origine est égale à -4.

Conclusion : donc je vais remplacer dans mon équation p par -4 et donc je peux conclure que la droite (CD) a pour équation y = -2x – 4.

Hé bien voilà c’est la fin de cette vidéo sur l’équation d’une droite connaissant deux points donc maintenant tu sais trouver l’équation réduite d’une droite lorsqu’on te donne deux points dans un repère. J’espère que cette vidéo t’aura servie et si tu veux t’entrainer je t’invite à faire les exercices qui sont juste après la vidéo et ils sont même corrigés.
Voilà je te dis à très bientôt sur bossetesmaths.com et te remercie d’avoir visionné cette vidéo, salut !