Les ensembles de nombres : les nombres entiers, les nombres rationnels et les nombres réels [Vidéo](Seconde)

Bonjour et bienvenue ! Ici Corinne Huet du site bossetesmaths.com.
Dans cette vidéo je vais vous détailler les différents ensembles de nombres que tu rencontreras au lycée.
Alors en général ces ensembles de nombres sont introduits en début de seconde pour que les élèves puissent les comprendre et surtout les utiliser sans problème tout au long de leur scolarité au lycée.
Alors on y va, c’est parti !

Alors pour commencer est-ce que tu peux me dire ce qu’ont les nombres suivants en commun ? 0, 4, 12 divisé par 4 égal à 3, racine carré de 25 égal à 5, 11, 1 etc.
Alors quel est leur point commun? Hé bien ces nombres, comme tu peux le constater, sont des nombres entiers. On dira que ce sont des nombres entiers naturels et on notera leur ensemble un grand N comme ceci avec une double barre.
Alors on peut se demander maintenant qu’est-ce qu’il se passe si je rajoute dans cet ensemble des entiers qui sont négatifs par exemple -1,-4,-11 ou encore moins racine carré de 36 qui est égal à -6 ou encore -6 sur 2 qui est égal à -3.

Hé bien quand je rajoute des nombres entiers négatifs je forme l’ensemble des nombres entiers dits relatifs et cet ensemble sera noté avec un grand Z avec une double barre comme ceci.

Alors demandons-nous encore ce qu’il se passe si, par exemple, je rajoute des fractions de deux nombres entiers par exemple la fraction 1 sur 3 qui vaut environ 0,33 ou bien la fraction -3 sur 2 qui est égal à -1,5 ou encore la fraction 5 sur 4 qui est égale à 1,25 ou encore la fraction 6 sur 11 qui vaut environ 0,545.
Si je rajoute dans des ensembles de nombres que j’ai déjà défini, les fractions de 2 nombres entiers, hé bien je forme l’ensemble des nombres dits rationnels que je note, comme ceci, avec un Q majuscule doté d’une double barre.

Alors il nous reste des nombres que l’on a pas touché par exemple racine carré de 2 qui vaut environ 1,414 ou encore moins racine carré de 3 ou encore racine carré de 3 divisé par 2 ou bien le nombre Pi que tu connais qui vaut à peu près 3,14 ou encore moins racine de 5: hé bien tous les nombres restants que l’on a pas pu classé dans grand N, dans grand Z ou dans grand Q s’appellent les nombres réels et l’ensemble constitué de tous les nombres réels est noté un grand R comme ceci avec une double barre.

Alors dans cette partie je vais t’expliquer plus précisément ce que ça représente l’ensemble grand R des nombres réels: alors traditionnellement les nombres réels sont représentés par ce qu’on appelle la droite réelle (parfois tu verras la droite des réels).
Qu’est-ce que ça signifie?
Hé bien tu as une droite comme ceci qui sera graduée c’est-à-dire qu’ici je vais mettre un point O qui symbolisera l’origine. Ce point O sera repéré sur cette droite par un nombre qu’on appelle son abscisse, le nombre en question qui le repère est 0.
Je mets un deuxième point sur cette droite que je vais nommer I : ce deuxième point symbolisera, si tu veux, l’unité sur cette droite c’est à dire que son abscisse ici sera égal à 1.
Donc ici tu as le nombre 0, ici tu as le nombre 1 et par le même procédé tu pourras donc placer l’abscisse égale à 2, l’abscisse égale à 3,4,5 etc.
Et dans le sens négatif, ici tu pourras avoir l’abscisse -1, l’abscisse -2,-3,-4 etc.
Alors on dit que les nombres des abscisses qu’on peut placer sur cette droite des réels forment tous les nombres réels.

Qu’est-ce que ça signifie?
Ben par exemple ici le nombre 4, tu vois qu’il appartient à la droite des réels, donc je peux dire que le nombre 4 appartient à R. Donc en fait tu comprends bien que tous les nombres entiers positifs (0,1,2,3,4,5 etc) sont des nombres que tu peux placer sur cette droite et donc sont des nombres réels qui appartiennent donc à R.
De la même manière, si tu regardes ici le nombre -2, tu as pu le placer sur la droite donc je peux dire que -2 est aussi un nombre appartenant à R.
Donc tous les nombres entiers négatifs sont des nombres qui appartient à R.

Alors je peux me demander maintenant si un nombre rationnel, par exemple on va prendre le cas du nombre 6 sur 4 qui est bien une fraction de 2 nombres entiers donc qui est bien un nombre qui appartient à Q. Si je la simplifie cette fraction par 2 elle est égale à trois demi donc égale à 1,5.
Est-ce que ce nombre est un nombre « plaçable » sur cette droite des réels? Alors je suis sûre que tu es d’accord avec moi que 1,5 se place au milieu entre 1 et 2 et donc comme j’ai pu le placer sur la droite des réels , je peux dire que 1,5 est un nombre qui appartient à R.

On peut faire exactement la même chose pour un nombre rationnel négatif par exemple si je prends le nombre -5 sur 2 qui est égal à -2,5 en réalité, je vais pouvoir le placer au milieu entre -2 et -3, je vais bien avoir -2,5;
Comme j’ai réussi à la placer sur la droite réelle, je peux dire que -5 sur 2 ou -2,5 est un nombre qui appartient à R.

Alors un petit peu plus difficile, est-ce que le nombre 2 sur 3 (attention c’est un nombre qui a une partie décimale infinie qui vaut O,6666… de manière infinie ) . C’est un nombre rationnel qui est le quotient de 2 nombres entiers, est-ce que c’est un nombre que je peux place sur cette droite ?
Alors on ne peut pas le placer de manière très précise ici hein, je sens qu’il est ici entre 0 et 1, comment puis-je faire pour le placer précisément ?

Regarde la petite technique ici : je trace une demi-droite que je coupe en 3 parties égales, comme ceci, en 3 segments égaux.
Le 3ème segment je le relie au nombre 1 sur la droite réelle. Comme ceci je trace une droite qui relie le 3ème segment à 1.
Comme je veux 2 segments sur 3, puisque je veux former la fraction 2 sur 3, je vais relier le 2ème segment ici de manière parallèle à la 1ère droite sur l’axe des abscisses et je vais tomber ici précisément sur ma fraction 2 sur 3. Alors ceci vient du théorème de Thalès puisqu’ici 2 sur 3 ça sera égal à cette proportion là divisé par 1 donc je me retrouve bien ici à avoir un nombre qui a pour abscisse 2 sur 3 et comme j’ai pu le placer sur la droite des réels je peux dire que 2 sur 3 est un nombre qui appartient à R.

Alors qu’en est-il du nombre racine carré de 2, est-ce que je peux le placer sur la droite des réels ( je sais que ça vaut environ 1,414 ) mais comment le placer de manière précise ?
Alors est-ce que tu es d’accord que si je dessine un carré qui a pour coté 1 sur 1, hé bien si j’applique le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle ici, est-ce que tu es d’accord que la longueur de ma diagonale ici, que je note d au carré, est égale à 1 au carré plus 1 au carré ?
Donc cette longueur là au carré, l’hypoténuse au carré, est égale à 1 au carré + 1 au carré d’après le théorème de Pythagore.
Alors cela nous donne donc 1+1 c’est à dire 2 donc finalement la longueur de ma diagonale d sera égale à racine carré de 2.
Ah donc c’est facile de placer racine carré de 2 sur cette droite réelle: il suffit qu’ici je trace mon carré de longueur 1 sur 1, j’ai la diagonale ici dont je suis sure qu’elle mesure racine carré de 2 et il suffit donc que je place la pointe de mon compas ici avec un écart égal à la diagonale et hop j’y vais je trace mon arc de cercle ici avec mon compas. Je suis sure que je vais tomber ici sur la droite réelle sur le nombre racine carré de 2 que j’ai donc ainsi pu placer de manière précise sur cette droite réelle donc racine carré de 2 appartient à R.

Alors j’espère que grâce à ces petites démonstrations tu commences à comprendre, qu’en fait, tous les nombres que l’on a vu dans le diagramme précédent ( que ce soit les nombres entiers naturels, les nombres entiers relatifs, les nombres rationnels et tous les autres nombres sont des nombres qu’en fait je peux placer sur la droite réelle et donc sont des nombres réels.
Donc pour toi c’est facile, tous les nombres que tu connais appartiennent à R et sont des nombres réels. Rien de plus facile !

Ok tu as compris ?
Alors poursuivons, maintenant je vais t’expliquer la relation qu’on peut apercevoir entre tous les ensembles de nombres qu’on a étudié précédemment c’est à dire entre l’ensemble N c’est à dire des entiers naturels, l’ensemble Z des entiers relatifs, l’ensemble Q des nombres rationnels et l’ensemble R des nombres réels. Alors pour t’expliquer la relation qu’on a entre ces différents ensembles, je vais t’introduire ce qu’on appelle le symbole d’inclusion : il va se noter comme ceci, un espèce de « c » un peu allongé et il va se lire « est inclus dans ».
Ce symbole d’inclusion va servir à relier nos différents ensembles de nombres. Par exemple si je reviens au diagramme que l’on a dessiné précédemment, tu vois ici apparaître l’ensemble grand N des nombres entiers naturels. Est ce que tu es d’accord que cet ensemble là il est inclus dans l’ensemble des nombres entiers relatifs, c,’est à dire de tous les nombres entiers, qu’ils soient positifs ou négatifs ? Ensuite est ce que tu es d’accord que cet ensemble Z il est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels grand Q? Et enfin, est ce que tu es d’accord que cet ensemble Q est inclus dans tous les nombres réels ?
Alors voyons ça plus en détails. Si je prends par exemple un nombre dans grand N , par exemple le nombre 4. C’est bien un entier naturel, c’est un entier qui est positif donc il appartient aussi à Z qui est l’ensemble de tous les nombres entiers qu’ils soient positifs ou négatifs. Donc je peux dire que tous les nombres de grand N sont dans grand Z et donc que l’ensemble grand N est inclus dans l’ensemble grand Z.
Maintenant je vais prendre un nombre de grand Z et je voudrais savoir s’il fait parti de Q : par exemple je prends le nombre 4: c’est bien un entier relatif, il est positif. Est ce qu’il peut s’écrire comme une fraction de deux entiers ? Oui car 4 est égale à 4 sur 1, c’est bien une fraction, un quotient de deux entiers donc il appartient à Q. Maintenant si je prends un entier négatif dans Z, par exemple -6 est ce que tu es d’accord qu’il va s’écrire -6 sur 1? Donc comme quotient de deux entiers : -6 et 1, donc c’est un nombre qui est dans Q. Donc tous les nombres que je peux prendre dans grand Z, tous les nombres entiers (positifs ou négatifs) et bien en fait si je les écris « sur un » je vais voir qu’ils s’écrivent comme quotient de deux nombres entiers. Je vais donc dire que l’ensemble grand Z est inclus dans l’ensemble grand Q .Enfin tous les nombres qui sont dans Q, c’est à dire tous les nombres rationnels , toutes les fractions de deux entiers, sont des nombres réels. Tu te rappelles précédemment je t’ai dis que tous les nombres que tu connaissais sont réels, donc je vais pouvoir écrire que l’ensemble Q est inclus dans l’ensemble R. Voici la relation que l’on a entre tous nos ensembles de nombres : N est inclus dans Z est inclus dans Q est inclus dans R.

Alors avant de faire quelques exercices je vais t’indiquer des notations qui vont être très utiles pour la suite de ta scolarité au lycée. Alors si tu considères l’ensemble des nombres réels et que tu regardes tout d’abord tous les nombres réels qui sont non nuls, ( alors non nuls je ne sais pas si tu sais ce que cela veut dire mais en fait ca veut dire les nombres réels qui ne sont pas égaux à zéro c’est-à-dire différents de zéro). Et cet ensemble de nombres va se noter grand R avec une petite étoile ici en exposant (R étoile) . Et donc ca va être en fait grand R privé du nombre zéro. Voila on va avoir une notation comme ceci : grand R, la barre ici un peu en anti slash se lira « privé de » et les accolades ici ça symbolise l’ensemble contenant le nombre 0. Donc grand R sauf 0, se notera R étoile. Ensuite si j’ai envie de regarder l’ensemble des nombres réels qui sont positifs ou nuls, ben c’est très simple je vais noter R avec un + exposant : R+, l’ensemble de tous les nombres réels qu’ils soient positifs ou nuls.
En revanche, si je veux tous les nombres réels positifs, mais strictement positifs, c’est à dire que je ne veux pas 0, je prends R+ mais je vais enlever 0 et je vais mettre mon étoile habituelle qui dit que je ne veux pas le nombre 0 dans mon ensemble. Donc ça va se noter R+ étoile. (R+*)
Alors de la même manière si je veux l’ensemble des nombres réels négatifs ou nuls et bien je vais le noter R- et l’ensemble des nombres réels strictement négatifs se notera donc R-* ce qui signifie que je veux tous les nombres négatifs sauf 0.

Alors bien entendu ces notations s’adaptent à tous les autres ensembles de nombres par exemple si je veux l’ensemble des nombres entiers naturels non nuls et bien je vais le noter tout simplement N*. Tu as compris ça ? Allez on continue. C’est le moment de voir si tu as tout compris, à travers cet exercice que je te propose :

Donc tu as des petits pointillés ici pour chacune des affirmations et je te demande de compléter les pointiller avec les symboles suivants: soit le symbole appartient à, n’appartient pas à, est inclus dans ou n’est pas inclus dans. Alors ce que tu peux faire c’est mettre ta vidéo sur pause pour essayer de compléter ça seul chez toi et ensuite tu remet en lecture les solutions avec moi Alors petite précision : on utilisera le symbole d’appartenance (appartient ou n’appartient pas) quand un élément sera ou pas dans un ensemble de nombres. En revanche on utilisera le symbole d’inclusion (est inclus dans ou n’est pas inclus dans) entre deux ensembles de nombres. C’est-à-dire est-ce qu’un ensemble de nombres est inclus ou pas dans un autre ensemble de nombres. On y va !

Alors est-ce que tout d’abord 1 est un nombre qui appartient à R* ? Est ce que c’est un nombre réel non nul? Alors oui c’est un nombre réel on peut le placer sur la droite des réels et en plus il est non nul c’est à dire qu’il est bien différent de 0. Donc je peux dire que 1 appartient à R*. Ensuite, 4, comme c’est un entier et bien il appartient à Z. 6,1 est un nombre réel puisque tu te rappelles, tous les nombres que tu connais sont des nombres réels. Donc 6,1 je peux dire qu’il appartient à R. Quant à la fraction 13 sur 2 comme c’est une fraction à quotient de deux nombres entiers, je peux dire que ce quotient appartient à Q. Qu’en est-il du quotient -10 sur 2? Alors à première vue on n’a pas vraiment l’impression que c’est un nombre dans Z, c’est à dire que c’est un nombre entier. Mais si tu le calcules tu peux voir que -10 divisé par 2 est égal à -5. C’est donc un entier et donc il appartient à Z. Alors est ce que le nombre -13,6 est entier naturel? Et bien je dirai que pour deux raisons : non. Tout d’abord tu vois bien que ce n’est pas un entier et en plus il est négatif, donc il n’est certainement pas naturel. Donc ce nombre là on va dire qu’il n’appartient pas à N. En revanche ce nombre est un nombre réel négatif donc on va dire qu’il appartient à R- . Alors dans les deux affirmations suivantes on nous demande une relation entre deux ensembles de nombres, tout d’abord entre Z et Q, ensuite entre Z et N. Alors est ce qu’un nombre entier dans Z est un élément de Q, c’est à dire peut s’écrire comme quotient de deux nombres entiers? Je ne sais pas si tu t’en rappelles mais si on avait prit par exemple le nombre 4 qui était dans Z, on peut toujours l’écrire sous la forme 4 sur 1, donc comme quotient de deux nombres entiers. Et c’est pareil si c’était un nombre entier négatif comme par exemple -4, on pourrait toujours l’écrire sous la forme -4 sur 1 donc sous la forme d’un élément de Q. Donc je peux dire que tous les éléments qui sont dans grand Z sont dans grand Q et donc que l’ensemble Z est inclus dans l’ensemble Q. En revanche est ce que tous les éléments de grand Z sont dans grand N? Et bien on reprend toujours le nombre -4, tu es d’accord que c’est un entier qui est dans Z, mais il n’est pas un entier naturel, il n’est pas dans N puisqu’il est négatif. Donc je vais dire que l’ensemble Z n’est pas inclus dans l’ensemble N. Ensuite, le nombre Pi qui vaut environs 3,14 est bien un nombre réel positif donc il appartient à R+. Alors ensuite, est-ce que 0 est un élément de N*? Est ce que c’est un entier non nul? Zéro est nul, zéro est égal à zéro. Je te rappelle que quand tu mets la petite étoile ici en exposant de ton ensemble ça veut dire que tu enlèves 0. Donc ici je crois qu’on peut affirmer sans aucun problème que 0 n’appartient pas à N*. Quant au nombre racine carré de 3, c’est un nombre qui vaut environs 1, 732 avec un nombre illimité de décimale. Ce nombre là on ne pourra jamais l’écrire comme quotient de deux nombres entiers, c’est un nombre réel mais ce n’est certainement pas un nombre rationnel. Il n’appartient pas à Q. Quant au quotient 6 sur 3, est ce que ce nombre est un entier naturel? Alors à première vue on en a pas l’impression, mais si on le calcul : 6 divisé par 3 est égale à 2, donc c’est bien un entier naturel, il appartient donc à N. Si je regarde à présent le nombre 12, 45, ce nombre n’est pas un entier donc je vais pouvoir affirmer qu’il n’appartient pas à Z. Mais appartient-il à Q? Est ce que le nombre 12, 45 je vais pouvoir l’écrire comme quotient de deux nombres entiers? Alors d’habitude on dit que c’est 12, 45 sur 1, mais là tu as bien un quotient mais le problème c’est que 12, 45 n’est pas un entier. Si je poursuis un tout petit peu plus loin dans cette fraction je vais pouvoir multiplier en haut et en bas, le numérateur et le dénominateur, par 100, cela va me donner 1245 sur 100. Et là …. magie, j’ai bien un quotient de deux nombres entiers: 1245 et 100. Donc j’ai réussi à écrire le nombre 12,45 en quotient de deux nombres entiers, je peux donc affirmer qu’il appartient à Q.

Et voila nous arrivons au terme de cette vidéo sur les ensembles de nombres. J’espère que tu es arrivé jusqu’au bout, je t’en félicite si c’est le cas et j’espère que cette vidéo t’aura aidé à comprendre cette notion d’ensembles de nombres.

Alors ce que je te propose c’est de télécharger les exercices qui sont juste en-dessous de la vidéo, histoire de t’entraîner et de vérifier si tu as tout compris. Tu trouveras également le corrigé en téléchargement afin que tu puisses aller voir tes erreurs et surtout les corriger.
Je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très bientôt !