RAISONNEMENT PAR RECURRENCE (Terminale S)

Salut à toi et bienvenue sur le site bossetesmaths.com, ici Corine Huet.
Dans cette vidéo dédiée à la classe de terminale S, nous allons étudier le raisonnement par récurrence.
Je vais d’abord t’expliquer le principe de ce raisonnement et ensuite nos traiterons un exercice pour que tu comprennes bien comment il fonctionne.

Raisonnement par récurrence : le principe

Alors tout d’abord, quel est le principe d’un raisonnement par récurrence ?

Hé bien le raisonnement par récurrence va consister à démonter qu’une propriété Pn qui dépend d’un entier naturel n est vraie pour tous les entiers naturels n à partir d’un certain rang n0.

Et pour faire un raisonnement par récurrence, on procèdera toujours en 2 étapes :

– La première étape s’appelle l’initialisation, elle va consister à montrer que la propriété Pn est vraie au premier rang c’est-à-dire lorsque n =n0, en fait dans l’initialisation on va monter que P(n0) est vraie.

– Puis la deuxième étape s’appelle l’hérédité, comment est-ce que ça va fonctionner ? Hé bien on va supposer qu’il existe un entier n supérieur ou égal à n0, tel que Pn est vraie et on va alors montrer que P(n+1) est vraie.

– Une fois qu’on aura fait ces deux étapes, on pourra conclure que Pn est vraie pour tous les entiers n supérieurs ou égaux à n0.

Alors comment ça fonctionne ?

Un exercice sur le raisonnement par récurrence : bac S France juin 2013

Maintenant, essayons d’effectuer un raisonnement par récurrence dans un exercice. Alors, il s’agit d’un exercice tiré du sujet de bac qui est tombé en France métropolitaine en mois de juin 2013, le bac S.

Alors on lit l’énoncé, « soit Un la suite définie par Uo = 2, son premier terme, et pour tout entier naturel n, une formule Un+1 =(2/3) Un+(1/3)n +1 ». Il faut monter par récurrence que pour tout entier naturel n, on a Un ≤n+3.

Alors, tout d’abord je vais noter la propriété Pn, donc ici pour montrer que cette propriété est vraie, pour tout entier naturel n dans N, on va noter Pn la propriété que l’on veut démontrer qui est Un ≤n +3.

On va montrer par récurrence que cette propriété Pn et vraie pour tout n dans N, donc on va commencer le raisonnement par récurrence par l’étape d’initialisation.

Donc, l’initialisation consiste à regarder la propriété Pn au premier rang c’est-à-dire ici pour n=0.
Etant donné que n est dans N, N c’est l’ensemble des entiers naturels c’est-à-dire le nombre 0,1, 2, 3 donc, le petit c’est n= 0. Nous souhaiterons montrer que U0 ≤0+3. Je calcule les 2 nombres séparément, alors U0 = 2 et 0 + 3 = 3. Donc on a bien U0 ≤0 +3, on est bien d’accord que 2<3. Et donc la propriété P0 est vraie. Voilà  pour l’initialisation.

On passe maintenant à l’étape de l’hérédité. Alors, ici on va écrire la chose suivante supposons qu’il existe un entier n≥0, tel que Pn est vraie, c’est-à-dire tel que l’on ait Un ≤ n+3. Montrons qu’alors P(n+1) est vraie c’est-à-dire montrons que cette formule est vraie lorsqu’on remplace n par n+1 à savoir que U(n+1) ≤ n+1+3, ce qui fait n+4.

Alors ici comment est ce qu’on va procéder ? Et bien, on va supposer que Un ≤ n+3, à partir de cette affirmation, on va vouloir montrer que U(n+1) ≤ n+1n+3. Alors comment est ce qu’on va passer de Un à Un+1, et bien tout simplement grâce à la formule qui nous est donnée dans l’énoncé. On a d’abord Un ≤n+3, on va le multiplier par 2/3. Donc on va multiplier deux membres de cette inégalité par 2/3, on a (2/3)Un d’un côté et (2/3)(n+3) de l’autre. Et quand on multiplie par un nombre positif, cela ne change pas le sens de l’inégalité.

Ici on peut mettre une implication, un « alors », ça va donc nous donner (2/3)Un ≤ (2/3)n+2, ici on a (2/3)Un et  il nous restera à additionner aux deux nombres de l’inégalité le nombre (1/3)n+1. On aura donc à gauche (2/3)Un+(1/3)n+1 et à droite (2/3)n+2+(1/3)n+1, et le sens de l’inégalité reste inchangé puisqu’on fait une addition.

Ceci nous donne donc, à gauche le nombre U(n+1), c’est ce qu’on voulait, et ici à droite (2/3)n+(1/3)n ça fait (3/3)n donc ça fait n, +2+1, ça nous fait +3. On regarde ce qu’on voulait : U(n+1)≤n+1+3, alors nous on a U(n+1)≤n+3, et est-ce que tu es d’accord que n+3 est inférieur à  n+1+3 c’est-à-dire n+4. Donc, finalement, on a bien la propriété P(n+1) qui est vraie. Et on a donc conclu à l’hérédité de notre propriété Pn.

Alors il nous reste à faire la conclusion de notre raisonnement par récurrence. On a montré que la propriété Pn est vraie au rang n=0, d’après l’étape d’initialisation et on a aussi prouvé qu’elle était héréditaire et on peut donc conclure que pour tout entier naturel n, la propriété Pn est vraie, c’est-à-dire on a Un ≤ n+3.

Conclusion de la vidéo sur le raisonnement par récurrence

Et bien voilà on est au terme de cette vidéo sur le raisonnement par récurrence, alors je te conseille maintenant de télécharger la feuille d’exercices qui est juste en bas de la vidéo, pour entraîner à faire tout seul un raisonnement par récurrence et à rédiger ce raisonnement correctement, notamment lorsque la propriété Pn à démontrer est une phrase ou une inégalité c’est-à-dire une formule à démontrer. N’hésite pas à télécharger également le corrigé des exercices pour vérifier tes réponses et corriger tes erreurs.

Je te dis à très bientôt sur bossetesmaths.com et merci à toi d’avoir visionné cette vidéo.