Racine carrée [Vidéo](Seconde)

Bonjour et bienvenue sur bossetesmaths.com !
Dans cette vidéo, je vais t’apprendre à simplifier des calculs qui comportent des racines carrées. Alors une racine carrée c’est comme une fraction, ça doit toujours se simplifier au maximum de telle sorte que les calculs soient moins compliqués et je vais te montrer comment faire ça tout de suite !

Racine carrée : les formules à connaître

Pour commencer, je vais te rappeler les formules fondamentales à connaitre sur les racines carrées. Pour cela je vais prendre a et b (2 nombres réels positifs).

1ère formule : racine carrée d’un nombre positif au carré

Tout d’abord la racine de a au carré sache que c’est égal à a et de la même manière la racine de a que tu mets au carré c’est-à-dire racine de a fois elle même, hé bien c’est aussi égal à a. En gros, qu’est-ce que ça dit ? Hé bien ça dit que une racine et un carré ça s’annule quand le nombre a est positif; ça c’est du tout simplement à la définition d’une racine carrée.

2ème formule : racine carrée d’un produit ou d’un quotient de 2 nombres positifs

2ème point fondamental: quand tu fais la racine carrée d’un produit a x b et bien en gros tu peux couper ton produit en 2 racines et ça va te donner racine de a fois racine de b.
De la même manière, si on prend b qui ne vaut pas 0 et qu’on fait la racine de a / b, hé bien en fait ta fraction tu peux la couper en 2 racines et ça va te donner racine de a / racine de b.

Attention à la racine carrée d’une somme de 2 nombres !

Alors attention en revanche quand tu as une somme ! La racine de a + b, ce n’est pas égal à la somme des 2 racines à savoir racine de a + racine de b; ce n’est pas égal, tu n’as pas le droit de séparer cette grande racine en la somme des racines; ça marche uniquement pour la multiplication et pour la division.

Grâce à ces formules fondamentales, tu vas pouvoir simplifier n’importe quel calcul qui comporte des racines carrées. Je te montre ça tout de suite sur un exercice.

Comment simplifier une racine carrée : exercice

Voici donc mon exercice. On nous demande de simplifier l’expression suivante que j’ai appelé A. Tu vois que cette expression A comporte 4 racines carrées, alors je te propose de t’expliquer comment simplifier racine de 48 pour commencer et ensuite on simplifiera les 3 autres racines carrées.
Alors pour simplifier racine de 48, il va falloir écrire le nombre 48 sous la forme d’un produit. Alors qu’est-ce qui est égal à 48 ? Est-ce que tu es d’accord avec moi que 48 c’est égal à 24 x 2 ? Oui d’accord mais c’est aussi égal à 16 x 3 ou encore c’est égal à 12 x 4 et c’est aussi égal à 8 x 6 donc on a plusieurs possibilités de produits qui nous donnent 48. Moi ce que je vais prendre c’est 16 x 3 et je vais t’expliquer pourquoi et tu vas tout de suite de le comprendre. Je vais dire que racine carrée de 48 c’est égal à racine de 16 x 3, pourquoi j’ai choisi 16 x 3 ? Hé bien tout simplement parce que, maintenant que j’ai la racine d’un produit, je vais couper ce produit en 2 racines; je vais faire racine de 16 x racine de 3 sauf que racine de 16 c’est une racine qui est connue puisque 16, c’est 4 x 4, c’est 4 au carré et la racine de 4 au carré (on l’a rappelé précédemment) ça fait 4 donc tu te retrouves avec racine de 48 qui est égal à 4 racine de 3 et on ne peut plus simplifier racine de 3 donc on a simplifié racine de 48 au maximum.
Si tu avais choisi, par exemple, 24 x 2 tu te serais retrouvé avec racine de 24 x racine de 2 et il aurait fallu encore décomposer le nombre 24 pour pouvoir se ramener à la fin à 4 x racine de 3 c’est pour cela que j’ai pris 16 x 3 parce que je savais d’avance que racine de 16 ça me donnerait quelque chose de sympa, ça me donnerait 4.
Si tu as compris ce principe, je te laisse voir comment simplifier racine de 20.

Alors on y va pour racine de 20 ! Donc, comme je l’ai dis précédemment, on va décomposer le nombre 20 sous forme d’un produit alors qu’est-ce qui fait 20 ? On a plusieurs possibilités encore: on a 2 x 10 ou bien on a 4 x 5. Alors qu’est-ce que tu vas préférer choisir entre 2 x 10 et 4 x 5 ? Moi je préfère choisir 4 x 5 donc je vais dire que racine de 20 est égal à racine de 4 x 5. Maintenant que j’ai la racine d’un produit, je sépare en 2 racines et ça me fait racine de 4 x racine de 5 et pourquoi c’est sympa ? Hé bien tout simplement parce que le nombre 4 c’est 2 au carré ce qui fait que la racine de 2 au carré (comme j’ai un carré à l’intérieur de la racine) il va me rester 2 racine de 5 et je ne peux pas simplifier plus racine de 5 donc voilà comment simplifier au maximum racine carrée de 20.

Ensuite dans l’expression A on a un quotient ici qui est racine de 75 / racine de 45 et ce quotient, tout simplement, je vais le mettre sous une seule grande racine, ça sera la racine de 75 / 45. Alors je vais simplifier la fraction 75 / 45, alors déjà est-ce que tu es d’accord que 45 c’est 9 x 5 (on a une seule possibilité); 75, hé bien 75 je sais que c’est 15 x 5 ou encore 25 x 3. Alors je vais privilégier plutôt 15 x 5 tout simplement pour pouvoir simplifier 5 ici dans ma fraction et donc je me retrouve avec racine de 15 / 9; si j’applique la propriété dans l’autre sens, je vais couper ça en 2 racines, ça me fait racine de 15 / racine de 9. Alors pourquoi est-ce que c’est sympa ? Hé bien, racine de 15 je ne peux pas le simplifier davantage puisque 15 c’est 5 x 3 et je ne peux pas faire autrement, je ne connais pas racine de 5 ni racine de 3 donc je n’ai pas d’espoir de pouvoir le simplifier, je vais le laisser comme ça. En revanche racine de 9, hé bien 9 c’est 3 au carré donc ça c’est très sympa puisque la racine de 3 au carré hé bien ça va me donner tout simplement 3. Au final la racine de 75 sur la racine de 45 ça vaut racine de 15 / 3. Voilà un moyen de simplifier cette fraction.

Si je reviens au calcul entier de A maintenant, hé bien je vais remplacer racine de 48 par 4 racine de 3 x racine de 20 que je vais remplacer par 2 racine de 5 – 12 racine de 75 / racine de 45 que je vais remplacer par racine de 15 / 3 comme ceci.
Alors au niveau de la multiplication hé bien ici j’ai 4 x racine de 3 x 2 x racine de 5 donc dans une multiplication tu dois savoir qu’on peut changer l’ordre des termes donc je vais pouvoir écrire que c’est 4 x 2 x racine de 3 x racine de 5; est-ce que tu es d’accord ? – alors dans cette fraction, je vais essayer de la simplifier hé bien par exemple le nombre 12 je peux le décomposer et dire que c’est 3 x 4 et toujours racine de 15 ceci sur 3. Je continue mon calcul alors dans cette multiplication 4 x 2 ça fait 8 x racine de 3 x racine de 5 et bien ce que je peux faire c’est mettre ça sous la forme d’une seule racine, rassembler le produit 3 x 5 – alors dans cette fraction je peux simplifier le nombre 3 et il me restera 4 racine de 15. Au final A = 8 racine de 15 – 4 racine de 15. Alors enfin comment je finis ce calcul ? Hé bien j’ai 8 racine de 15 – 4 racine de 15 donc tu vois qu’ici racine de 15 est en commun, c’est comme si tu veux j’avais 8x – 4x et comme le x est en commun, je le met en facteur si tu veux et il me reste, dans la parenthèse, (8 – 4) et cela va me donner 4x donc ici cela va me donner 8 -4 c’est-à-dire 4 racine de 15 donc voilà le résultat final de mon expression A quand on la simplifie au maximum. Tu peux constater que 4 racine de 15 c’est vraiment beaucoup plus simple, beaucoup moins compliqué que l’expression A que l’on avait au départ. Donc retiens bien comment est-ce que j’ai fais pour simplifier cette expression A, ça consiste vraiment à simplifier les grosses racines carrées qui entrent en jeu et ensuite à faire les opérations qui sont dans A de manière normale avec les propriétés que je t’ai rappelé. Alors évidemment y’a plusieurs manières d’arriver à ce résultat donc si tu as fais autrement ce n’est pas grave mais les méthodes, les propriétés que l’on utilise sont toujours celles que je t’ai montré dans cette vidéo.

Conclusion de la vidéo sur les simplifications de racine carrée

On est donc arrivé à la fin de cette vidéo sur les racines carrées désormais j’espère que tu sauras simplifier des expressions qui comportent des racines carrées et je t’invite vraiment à télécharger la feuille d’exercices qui est juste en dessous de la vidéo pour t’entrainer et à vérifier tes résultats grâce à son corrigé. Je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très bientôt, au revoir !