Produit scalaire [Vidéo] (Première)

PRODUIT SCALAIRE

Bonjour et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet. Dans cette vidéo je vais t’expliquer tout ce qu’il faut savoir sur le produit scalaire de 2 vecteurs: c’est une notion que tu vois, en général, en première S ou tu apprends à calculer des produits scalaires de vecteurs dans le plan et en Terminale S ensuite on étend ces définitions dans l’espace. Je t’explique donc maintenant comment on fait tous ces calculs dans le plan.

Calculer un produit scalaire : les 4 formules

Pour commencer je vais te rappeler les 4 formules utiles qui te permettront de calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v, que l’on note comme ceci, u.v et que l’on lira « u scalaire ».

Produit scalaire : formule avec les normes

-Alors la 1ère formule concerne les normes des vecteurs u et v. Quand je parle des normes, la norme d’un vecteur u, en fait pour comprendre les choses, tu peux te dire que c’est sa longueur en fait. Alors u.v, voici une première formule: ça sera égal à 1 / 2 facteur de la norme du vecteur u + v que l’on met au carré – la norme du vecteur u au carré – la norme du vecteur v au carré. Et on peut montrer que cette formule est aussi égale à la formule suivante: u.v = 1 / 2 facteur de norme de u au carré + norme de v au carré – norme de u – v au carré. Alors d’accord, le problème c’est que j’ai 2 formules laquelle je vais choisir en pratique ? Alors cela dépendra de l’exercice que tu traiteras. Tu vois bien que dans la 1ère formule, ici on a le vecteur u + v et dans la 2ème formule ici on a le vecteur u – v. Donc si dans ton exercice le calcul de u + v te donne un vecteur plus simple, tu utiliseras la 1ère formule. En revanche si le calcul de u + v n’est pas simple mais en revanche le calcul de u – v te simplifie bien, hé bien tu utiliseras plutôt la 2ème formule. Alors on va pouvoir déduire de ces 2 formules des propriétés immédiates du produit scalaire. Tout d’abord que se passe-t-il, si l’un des vecteurs u ou v, est le vecteur nul ? On va faire u scalaire vecteur nul ou bien vecteur nul scalaire v, hé bien je te laisse faire l’exercice par exemple dans la 1ère formule, quand on remplace le vecteur v par le vecteur nul tu verras que le résultat est égal à 0 et c’est la même chose si tu remplaces le vecteur u par le vecteur nul. Donc quand je multiplie un vecteur par le vecteur nul (multiplier au sens du produit scalaire) ça donnera toujours 0. 2ème propriété du produit scalaire: la propriété de symétrie qui va nous dire que u scalaire v c’est en fait égal à v scalaire u donc tu vois qu’on peut commuter les deux vecteurs dans le produit scalaire. Cela encore se fait en regardant, par exemple la 2ème formule, et en permutant les vecteurs u et v donc tu remplaces u par v et v par u et tu verras que tu obtiens exactement la même chose que u scalaire v. 3ème propriété: la notion de carré scalaire. En fait je prend un vecteur u et je le mets au carré donc, à priori, ça n’a pas de sens mais en fait au carré ça veut dire fois lui-même et comme je travaille avec des vecteurs la multiplication, en fait, ça sera un produit scalaire donc u au carré ça serait u scalaire u. Donc tu prends, par exemple la 2ème formule, tu remplaces le vecteur v par u donc tu auras u scalaire u = 1 / 2 facteur de norme de u au carré + norme de u au carré donc ça fait 2 normes de u au carré – norme de u – u (alors ça c’est le vecteur nul donc sa norme vaut 0) donc finalement tu as 2 fois norme de u au carré divisé par 2 donc les 2 vont se simplifier et il te restera 1 fois la norme de u au carré. Donc comprend bien ça ! Quand tu fais un vecteur au carré, en fait tu peux remplacer ton vecteur par sa norme, ça donnera la norme du vecteur u au carré. Attention, en général tu n’as pas le droit de remplacer un vecteur par sa norme mais quand c’est au carré, vecteur u au carré là tu as le droit et ça fera donc norme de u au carré et tu verras que c’est très utile dans la pratique.

Produit scalaire : formule avec les coordonnées

-La 2ème formule que l’on voit sur les produits scalaires est la formule avec les coordonnées des vecteurs. Qui dit coordonnées dit repère du plan et donc on va se placer dans un repère orthonormé du plan; Le vecteur u, on va noter (x;y) ses coordonnées; le vecteur v ses coordonnées seront (x’;y’) et à ce moment là si tu as tes vecteurs avec des coordonnées, hé bien pour faire le produit scalaire u.v, il te suffira de faire x fois x’ + y fois y’ et c’est assez pratique de mettre les coordonnées des vecteurs comme ceci en colonne, tu es sur de ne pas te tromper quand tu vas faire ce calcul.

Produit scalaire : formule avec le cosinus

-La 3ème formule du produit scalaire fera intervenir le cosinus des angles orientés. Donc tu as ici un vecteur u, un vecteur v non nuls et u.v ça sera donné par la formule suivante : norme de u fois norme de v fois cosinus de l’angle orienté u, v donc si tu as le vecteur v ici et que tu le reportes ici à la même origine que u, hé bien tu vas faire norme de u fois norme de v et l’angle orienté u, v le voici.

Produit scalaire : formule avec le projeté orthogonal

-La 4ème formule du produit scalaire introduit la notion de projeté orthogonal. Alors qu’est-ce qu’on va faire en pratique ? On a le vecteur u ici en jaune et le vecteur v ici en vert. Hé bien on va projeter orthogonalement le vecteur v sur le vecteur u. Alors comment est-ce qu’on fait cela ? On va d’abord supposer que le vecteur u s’écrive vecteur AB et le vecteur v s’écrit vecteur CD et en fait on va projeter le point C et le point D orthogonalement sur le vecteur u. Donc tu vois ici des angles droits, le projeté du point C nous donnera le point C’ et le projeté du point D nous donnera le point D’ et finalement le projeté orthogonal du vecteur v sur le vecteur u c’est-à-dire du vecteur CD sur le vecteur AB hé bien ça sera le vecteur C’D’ qui est ici. Donc qu’est-ce qui s’est passé finalement ? Hé bien le vecteur CD il est devenu le vecteur C’D’ et maintenant les vecteurs AB et C’D’ tu vois qu’ils sont colinéaires. Alors comment est-ce que je vais calculer u scalaire v ? Alors c’est égal à AB.CD d’accord et en fait ce qu’il va se passer c’est que tu as le droit de remplacer le vecteur CD par son projeté orthogonal sur le vecteur AB c’est-à-dire par C’D’. Comme AB et C’D’ sont colinéaires hé bien leurs produit scalaire va tout simplement se remplacer en la multiplication des longueurs AB et C’D’. Alors y’a juste une petite nuance ou il faut faire attention; si les vecteurs AB et C’D’ sont de même sens (comme ici sur ma figure, tu vois la flèche pour le vecteur AB et pour le vecteur C’D’ vont dans le même sens), il te suffira juste de multiplier les 2 longueurs AB fois C’D’. En revanche si les vecteurs AB et C’D’ sont de sens contraires, de sens opposés, tu vas mettre un signe – devant et tu vas multiplier les longueurs AB et C’D’. Alors maintenant que l’on connait les 4 formules qui permettent de calculer le produit scalaire de 2 vecteurs, je dois te donner quelques propriétés utiles du produit scalaire.

Produit scalaire : propriétés de bilinéarité et identités remarquables

Bilinéarité du produit scalaire

Tout d’abord la propriété de bilinéarité, alors qu’est-ce que c’est ? En fait on prend 3 vecteurs u, v, w, on prend k un nombre réel et à ce moment là quand tu fais (u + v) scalaire w et bien ça va se comporter, en fait, comme la distributivité des nombres c’est-à-dire que tu vas faire u scalaire w + v scalaire w. De la même manière, pour faire u scalaire (v + w) et bien pareil que les nombres on va distribuer et ça va faire u scalaire v + u scalaire w. Enfin quand on fait u scalaire (k fois le vecteur v) ou k est un nombre réel hé bien ça te donnera le même résultat que si tu fais (k fois le vecteur u) scalaire v et en fait la constante k tu peux la sortir du produit scalaire, finalement ça te fera k fois (u scalaire v); voilà donc une constante dans un produit scalaire, si elle est multipliée, tu peux la mettre devant le 2ème vecteur, devant le 1er vecteur ou devant le produit scalaire tout entier.

Produit scalaire et identités remarquables

Ensuite les identités remarquables marchent aussi pour le produit scalaire. Je t’explique ça, si tu prends u et v 2 vecteurs et que tu veux faire le vecteur (u + v) au carré hé bien tu fais comme si que c’était une identité remarquable ça fait vecteur u au carré normalement ça devrait faire +2u fois v alors le fois c’est un produit scalaire donc 2 u scalaire v + v au carré. Pour (u – v) au carré c’est la 2ème identité remarquable : u carré – 2 u scalaire v + v carré. Et la dernière identité remarquable (u + v) scalaire (u – v) c’est la 3ème identité remarquable u au carré – v au carré.

Produit scalaire de 2 vecteurs : pourquoi ?

Pour terminer je vais répondre à la question suivante : le produit scalaire de 2 vecteurs à quoi ça sert ? Hé bien figure toi que ça sert principalement à montrer que 2 vecteurs sont orthogonaux donc orthogonaux ça veut dire quoi ? Ca veut dire que si tu as tes 2 vecteurs u et v et que tu les prolonges comme ça et bien l’angle formé est un angle droit. Pourquoi ça sert à ça les produits scalaires ? Hé bien y’a une propriété qui te dit que u est orthogonal à v si et seulement si u scalaire v = 0. Voilà donc quand tu auras tes 2 vecteurs u et v, si tu calcules le produit scalaire avec une des formules que l’on a rappelé précédemment et si tu trouves 0, hé bien tu pourras conclure que tes vecteurs u et v sont orthogonaux.

Conclusion de la vidéo sur le produit scalaire

Hé bien c’est la fin de cette vidéo sur le produit scalaire, j’espère qu’elle t’aura permis à peu près de revoir tous les points essentiels sur le produit scalaire de deux vecteurs. Dans des vidéos prochaines, je t’expliquerai comment traiter des exercices sur le produit scalaire, quelle formule utiliser pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs. Je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et te dis à très, très bientôt. Salut !