Dans cet article, je vais te guider pas à pas pour comprendre et résoudre une inéquation du second degré, un sujet incontournable en mathématiques dès la Première spécialité maths, mais aussi très utile en Terminale.
Grâce à une méthode claire et trois exemples concrets, tu sauras aborder ces inéquations avec confiance et précision.
Mais avant de voir la résolution d’une inéquation du second degré, je te propose de revoir comment résoudre des équations du second degré.
🔍 Qu’est-ce qu’une inéquation du second degré ?
Une inéquation du second degré est une inéquation où le membre de gauche est un trinôme du second degré, c’est-à-dire une expression de la forme :
- ax² + bx + c ≥ 0,
- ax² + bx + c > 0,
- ax² + bx + c ≤ 0,
- ou encore ax² + bx + c < 0,
avec a ≠ 0. L’objectif est de déterminer pour quelles valeurs de x cette inéquation est vraie.
🛠️ La méthode pour résoudre une inéquation du second degré
Pour résoudre une inéquation du second degré, voici la démarche classique à suivre :
- Mettre l’inéquation sous la forme « trinôme ≥ 0 » ou « trinôme ≤ 0 » en regroupant tous les termes d’un côté.
- Calculer le discriminant (Δ) du trinôme, avec la formule Δ = b² – 4ac.
- Déterminer les racines du trinôme si Δ ≥ 0, grâce aux formules :
x₁ = (-b – √Δ) / 2a et x₂ = (-b + √Δ) / 2a. - Étudier le signe du trinôme en dressant un tableau de signes. Ce tableau permet de visualiser où le trinôme est positif ou négatif.
- En fonction de l’inéquation (≥, >, ≤, <), choisir les intervalles de solutions correspondant aux signes recherchés.
Un point clé : le trinôme ax² + bx + c est du signe de a en dehors des racines, et change de signe entre ses racines.
📘 Exemple 1 : Résoudre -2x² – 5x + 3 ≤ 0
Posons : a = -2, b = -5, et c = 3.
Calculons le discriminant :
Δ = (-5)² – 4 × (-2) × 3 = 25 + 24 = 49
Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme possède deux racines réelles :
- x₁ = (-b – √Δ) / 2a = (5 – 7) / (-4) = 1/2
- x₂ = (5 + 7) / (-4) = -3
On ordonne les racines : -3 < 1/2.
Dressons le tableau de signes du trinôme :
- Le coefficient a = -2 est négatif, donc le trinôme est négatif en dehors des racines et positif entre les racines.
Le tableau de signes donne :
- Trinôme ≤ 0 sur ]-∞ ; -3] ∪ [1/2 ; +∞[
Donc, l’ensemble des solutions de l’inéquation est :
S = ]-∞ ; -3] ∪ [1/2 ; +∞[
Si l’inéquation avait été strictement inférieure à zéro, on aurait pris les mêmes intervalles mais ouverts (sans les racines).
🔧 Exemple 2 : Résoudre 6x² + 9 ≥ 24x – 10x²
La première étape consiste à regrouper tous les termes d’un côté :
6x² + 9 – 24x + 10x² ≥ 0
Ce qui donne :
16x² – 24x + 9 ≥ 0
On note a = 16, b = -24, c = 9.
Calculons le discriminant :
Δ = (-24)² – 4 × 16 × 9 = 576 – 576 = 0
Le discriminant est nul, donc le trinôme possède une racine unique :
x₀ = -b / 2a = 24 / 32 = 3/4
Le tableau de signes :
- Le coefficient a = 16 est positif, donc le trinôme est positif partout sauf en x = 3/4 où il vaut zéro.
On cherche les valeurs de x telles que le trinôme soit strictement supérieur à zéro :
Les solutions sont donc :
S = ]-∞ ; 3/4[ ∪ ]3/4 ; +∞[ = ℝ \ {3/4}
Une remarque importante : ce trinôme correspond à un carré parfait, soit :
(4x – 3)² > 0
Ce qui confirme que le trinôme est toujours positif sauf en x = 3/4 où il s’annule.
Si on avait cherché les solutions de l’inéquation ≤ 0, alors la seule solution serait {3/4}.
📊 Exemple 3 : Résoudre 3x² + 5 ≥ 6x
On commence par tout mettre d’un côté :
3x² + 5 – 6x ≥ 0
Ce qui donne :
3x² – 6x + 5 ≥ 0
Avec a = 3, b = -6, c = 5.
Calculons le discriminant :
Δ = (-6)² – 4 × 3 × 5 = 36 – 60 = -24
Le discriminant est négatif, donc le trinôme n’a pas de racine réelle.
Le signe du trinôme est donc toujours celui de a, ici positif car a = 3.
Le trinôme est donc positif pour tout x, ce qui implique :
L’ensemble des solutions est ℝ, c’est-à-dire tous les réels.
Si on avait cherché les valeurs pour lesquelles le trinôme est strictement inférieur à zéro, alors l’ensemble des solutions serait vide.
✍️ Conclusion : Maîtriser les inéquations du second degré
Maintenant que tu connais la méthode et que tu as vu plusieurs exemples concrets, tu es capable de résoudre toute inéquation du second degré :
- Mettre l’inéquation sous forme ax²+bx+c>0.
- Calculer le discriminant et trouver les racines.
- Dresser le tableau de signes en fonction du coefficient devant x².
- Choisir les intervalles correspondant au signe demandé.
Je t’encourage à t’entraîner avec cette feuille d’exercices pour bien maîtriser ces notions.
Pour vérifier tes résultats, voici le corrigé des exercices.
N’hésite pas à revoir les identités remarquables, elles peuvent simplifier certains calculs !
Bonne continuation dans ta progression en mathématiques, et n’oublie pas : la pratique régulière est la clé pour exceller.