Les fonctions : image et antécédent [Vidéo](Seconde)

Bonjour et bienvenue à toi sur bossetesmaths.com, je suis Corinne HUET et je vais t’expliquer dans cette vidéo la notion de fonction. Alors c’est une notion que l’on voit généralement en seconde et qui est poursuivie tout au long de ta scolarité au lycée, au bac et même après si tu poursuis dans des études un peu scientifiques donc c’est vraiment une notion phare du lycée, une notion clé, donc il faut vraiment comprendre le début de cette leçon sur les fonctions et dans cette vidéo, je vais t’expliquer plus particulièrement ce que ça signifie l’image d’un nombre et les antécédents d’un nombre par une fonction. A tout de suite !

On va commencer par la question fondamentale : une fonction c’est quoi ? Alors pour schématiser un peu les choses, j’ai envie de te dire une fonction c’est une machine qui fabrique des images : voilà donc je dessine ma petite machine, je vais l’appeler par exemple f. Cette machine elle va fabriquer des images, par exemple si dans cette machine j’entre le nombre 3 (donc il va rentrer dans la machine f) et en sortir et on va avoir l’image de 3 qu’on va noter f(3) comme ceci avec des parenthèses. Si j’entre le nombre -2,5 dans ma machine f, hé bien il va en ressortir l’image de -2,5 qui va se noter f(-2,5) notée comme ceci. Et de manière très générale, quand j’entre un nombre x quelconque dans cette machine, hé bien il en ressort l’image de x qui va se noter f(x) comme ceci.

Alors faisons un petit peu de vocabulaire : on va de dire que si on entre un nombre x dans la machine f, il en ressort le nombre f(x) et ce nombre f(x) va s’appeler l’image de x par la fonction f donc cette image est un nombre unique. Si tu entres un nombre x dans la machine, son image sera unique par cette fonction f. Alors si on note f(x) comme étant égal à un nombre y, hé bien le nombre x au départ qui a été rentré dans la machine pour donner le nombre y à la fin, hé bien lui il va s’appeler un antécédent du nombre y toujours par notre fonction f. Alors si tu observes bien ce que j’ai écris ici en rouge, quand j’ai parlé de l’image j’ai mis un l apostrophe ce qui signifie en fait que l’image est unique. En revanche quand j’ai parlé d’antécédent, j’ai mis un antécédent donc ça signifie que, si à l’arrivée tu obtiens un nombre y et bien en fait il se pourrait qu’il y ait plusieurs nombres x qui soient entrer dans la machine et qui donnent ce même nombre y. Le nombre y il se pourrait bien qu’il ait plusieurs antécédents par cette fonction f, en revanche le nombre x lui a une seule et unique image par la fonction f.

Alors on peut se demander maintenant : une fonction ça s’écrit comment ? Je te montre sur un petit exemple. Imagine que ta fonction, ta machine ça soit une machine qui double les nombres c’est-à-dire qui multiplie par 2 tous les nombres; voilà je vais l’appeler g pour changer donc c’est la fonction qui double les nombres donc tu imagines que si on nombre un nombre x dans cette machine, et bien comme la fonction g, la machine g double les nombres, il va en ressortir x fois 2 c’est-à-dire que l’image de x par g, g(x) ça sera égal à x fois 2 soit 2x. Donc comment est-ce que je vais écrire ma fonction ? Hé bien je vais dire tout simplement que g est définie par la formule suivante g(x) = 2x. Alors ça c’est la 1ère manière de l’écrire. Parfois dans les livres, on l’écrit autrement, on écrit que g est la fonction (alors ça s’écrit comme ça, on écrit la fonction g et on met 2 points) et on dit que à x, au nombre x elle va associer 2x. Voilà la fonction g, à x associe 2x. C’est un peu compliqué comme vocabulaire mais finalement c’est pas très dur quand on s’y penche et quand on manipule ça souvent ça devient un réflexe, ça devient automatique, on n’y fait même plus attention.

Alors il y a une notion que tu dois comprendre quand on manipule des fonctions, c’est ce qu’on appelle l’ensemble de définition d’une fonction. Alors qu’est-ce que c’est ça ? Alors si je reprend mon exemple précédent avec ma fonction g qui doublait les nombres (donc tu te rappelles que quand je rentre un nombre x dans cette fonction g, il en ressort son image g(x) qui est égal à 2x), hé bien l’ensemble de définition que je note en général grand D avec un petit g, c’est en fait l’ensemble dans lequel tu vas prendre x au départ. Est-ce qu’à la fin quand tu vas calculer 2x, tu peux prendre x dans tout l’ensemble des nombres réels par exemple ? Hé bien je crois que ça ne pose pas de problème : si x est un nombre réel au départ, quand tu fais 2 fois x ben c’est un nombre qui existe, tu peux le calculer et donc cette fonction g elle est définie sur R, l’ensemble de définition de g c’est R c’est-à-dire, je répète encore, que x au départ il est dans R. Alors peut-être que tu penses que pour toutes les fonctions, l’ensemble de définition c’est R ? Hé bien regarde par exemple ce que j’ai écris ici. Si tu prends par exemple cette fonction f qui à x associe 1/x, hé bien dans quel ensemble tu peux prendre le nombre x au départ pour pouvoir calculer 1/x ? Est-ce que tu peux prendre x qui vaut 3 par exemple ? Oui car on peut calculer 1/3. Est-ce que tu peux prendre x qui vaut 7 ? Oui tu peux calculer 1/7. Est-ce qu’on peut prendre x qui vaut -2 ? Oui tu peux calculer 1/-2. Est-ce que tu peux prendre x qui vaut 0 ? Ah alors là attention, 1/0 c’est quelque chose qu’on on ne peut pas calculer, c’est interdit; si tu le tapes sur la calculette 1/0 ça va te donner erreur. Donc ici x peut valoir n’importe quelle valeur réelle mais pas 0 donc en fait l’ensemble de définition de f, c’est-à-dire là ou je vais prendre mes x au départ pour calculer 1/x, c’est tous les nombres réels sauf 0. Alors je peux le noter comme ceci ou bien je peux écrire tout simplement que c’est R* ça signifie que c’est tous les nombres réels sauf le nombre 0.

Alors maintenant on va s’entrainer à faire des calculs d’image; je te donne un exemple soit f la fonction définie sur R par f(x) = 3/4 x – 2 x au carré. Alors pourquoi elle est définie sur R ? Hé bien tout simplement, tu vois que pour calculer cette expression on peut prendre x comme étant n’importe quel réel, il n’y aura aucun problème.
Alors la 1ère question demande de calculer f(-1). Hé bien tu vois qu’ici on a f(x), hé bien il suffit tout simplement de remplacer x par -1 donc je le fais partout dans son expression. ça va nous faire 3/4 fois (-1) – 2 fois (-1) au carré, voilà ensuite tu continues le calcul hein, ça me donne -3/4, alors ici tu sais la puissance elle est prioritaire sur la multiplication donc on calcule -1 au carré ça fait 1 donc on se retrouve avec -3/4 – 2 et pour pouvoir faire cette soustraction, je dois mettre ces 2 fractions au même dénominateur en sachant que 2 est égal à 2/1 donc je vais tout mettre sur 4; -3/4 je le conserve, moins 2/1 et bien je vais multiplier en haut et en bas par 4, enfin -3/4 -8/4 = -11/4, je garde le dénominateur commun. Donc f(-1) = -11/4. Tu imagines que si je rentre le nombre -1 dans la machine f, le résultat qui en ressort c’est -11/4.

Ensuite 2ème question on te demande de déterminer l’image de 4 par f. Hé bien quand tu vois l’image de 4 par f, tu dois avoir le réflexe de l’écrire f(4). Pour le calculer, hé bien comme précédemment je reviens ici à f(x) et je remplace x par 4; cela va me donner 3/4 fois 4 – 2 fois 4 au carré, alors 3/4 fois 4 et bien on voit que 4 sur 4 ça se simplifie c’est donc égal à 3 – 2 fois 16. Finalement f(4) = 3 – 32 = -29 donc on oublie pas de répondre à la question posée, l’image de 4 par la fonction f est -29 c’est-à-dire que si tu entres le nombre 4 dans la machine f qui est donnée par cette formule, le nombre qui va en ressortir est le nombre -29.

Alors je te propose maintenant de faire des calculs d’antécédents à travers l’exemple suivant : on considère la fonction f définie sur R par f qui à x associe 6 – 2x. Alors cette fonction est bien définie sur R puisqu’ici si tu prends x dans R, tu n’auras aucun problème pour calculer 6 – 2x donc la fonction est bien définie sur R. On nous demande de déterminer le ou les antécédents du nombre -10 par cette fonction f. Alors je ne sais pas si tu vois ce que ça signifie mais en gros j’ai ma fonction f, ma machine, je veux les antécédents de – 10 c’est-à-dire qu’en sortie de ma machine j’ai le nombre -10 et ce qui m’intéresse c’est le nombre ou les nombres x qui vont rentrer dans cette machine pour donner -10 donc est-ce que tu es d’accord qu’il faudrait ici que f(x) soit égal à -10 ? Donc c’est exactement la technique pour trouver si tu veux les antécédents. En fait il s’agit de résoudre l’équation f(x) = -10; et quand tu vas trouver x ça sera les antécédents de -10. Donc on y va, cette équation est équivalente à 6 – 2x = -10, j’ai remplacé f(x) par son expression. Qu’est-ce que ça va nous donner ? Hé bien je peux par exemple ajouter 10 dans le membre de gauche et ajouter 2x dans le membre de droite ce qui va nous donner 6 + 10 = 2x, alors ça ça équivaut à dire que 16 = 2x donc comment est-ce qu’on va trouver x ? Hé bien tout simplement en divisant par 2 donc x = 16/2 donc x = 8. Voilà donc le nombre que je vais rentrer dans cette machine pour obtenir -10 c’est le nombre 8. Alors je n’oublie pas de répondre à la question qu’on me demande, l’antécédent de -10 par la fonction f est le nombre 8. Donc retiens bien la méthode pour avoir le ou les antécédents de -10 par une fonction f : on résous l’équation f(x) = -10. Si je te demande maintenant les antécédents de 2 de la fonction f, hé bien tu résous l’équation f(x) = 2. Tu as compris ?

Pour terminer je te propose un exercice récapitulatif dans lequel tu vas pouvoir t’exercer à calculer des images et des antécédents donc ce que tu peux faire c’est mettre la vidéo sur pause quelques instants, t’entrainer, faire l’exercice et relancer la lecture pour voir la correction.
Alors on considère la fonction g définie sur R* par g(x) = 12 / x au carré. Alors déjà est-ce que tu comprends pourquoi cette fonction g est définie sur R* ? Hé bien regarde son expression, tu vois bien qu’on a pas le droit de prendre x qui vaut 0 sinon tu vas faire 12 / 0 au carré et ça fait 12 /0 et c’est interdit de diviser par 0 par contre je peux prendre x comme étant n’importe quel nombre réel sauf 0. C’est pour ça qu’elle est définie sur R* c’est-à-dire tous les nombres réels sauf 0.
Alors on a 4 questions, on va commencer par la 1ère. On nous demande de déterminer l’image de -6 par la fonction g donc ton réflexe dès que tu vois ce genre de question, tu écris g(-6) =, c’est sa notation si tu veux, donc on remplace x par -6 dans l’expression ici, ça va nous faire 12 / (-6) au carré, on calcule le carré ça va nous faire 12 / 36 et on simplifie cette fraction par 12 au numérateur et au dénominateur c’est égal à 1/3. On peut donc conclure que l’image de -6 par la fonction g est le nombre 1/3.

On passe à la 2ème question où on te demande de calculer g(2), hé bien comme précédemment pour calculer g(2), tu remplaces x par 2, cela va nous donner 12/2 au carré, tu calcules le carré, ça nous donne 12/4, résultat c’est égal à 3.

Alors maintenant on va traiter la question 3, on te demande de déterminer les antécédents du nombre 3 par la fonction g et je t’ai dis que pour faire ça on doit résoudre l’équation g(x) = 3, tu veux trouver tous les nombres x qui ont pour image 3 par la fonction g. Alors cela nous donne 12 / x au carré = 3. Alors comment on va traiter ce genre d’équation ? Hé bien par exemple je vais multiplier ici par x au carré ce qui va me donner 12 = 3x au carré, ensuite ce que je peux faire c’est, comme je veux isoler le x, le mettre seul, hé bien je peux diviser par 3 donc je vais avoir 12 / 3 = x au carré, finalement je vais me retrouver avec x au carré = 4 donc est-ce que tu connais des nombres x qui ont pour carré 4 ? Alors je pense que tu vas être d’accord avec moi qu’il y en a 2 : il s’agit d’x = 2 ou x = -2. T’es d’accord hein ? Quand je prend 2, je le met au carré ça fait 4 mais -2 au carré ça fait aussi 4. Donc finalement j’ai trouvé les solutions de mon équation donc je peux conclure que ici les antécédents du nombre 3 par g sont les nombres 2 et -2 donc tu as ici le cas d’un nombre qui plusieurs antécédents par une fonction.

Enfin 4ème question : déterminer les antécédents de -6 par g. Hé bien maintenant tu es habitué, on écrit la petite phrase habituelle, on résous l’équation g(x) = -6. On veut trouver les nombres x tel que g(x) soit égal à -6. Alors on y va, cette équation équivaut à 12 / x au carré = -6, donc comme tout à l’heure je vais multiplier par x au carré, je vais obtenir 12 = -6 fois x au carré, ensuite pour pouvoir isoler x au carré je divise par -6 donc 12 / -6 = x au carré et 12 / -6 ça fait -2 donc je vais me retrouver avec x au carré = -2. Alors est-ce que tu connais des nombres qui, au carré, donnent -2 ? Si tu réfléchis un petit peu, tu n’en trouveras pas du tout puisque un carré est toujours un nombre positif ou nul donc un carré ça peut jamais valoir -2 donc cette équation là est impossible à résoudre car un carré est toujours positif (sous-entendu positif ou nul) donc on a pas de solutions à notre équation g(x) = -6 et ça veut dire donc que -6 n’a pas d’antécédents par notre fonction g. Voilà donc là tu vois l’exemple d’un nombre qui n’a pas d’antécédent. Juste avant tu as vu le cas d’un nombre qui avait 2 antécédents. Voilà donc je t’ai dis au début de la vidéo qu’un nombre pouvait avoir zéro, un, deux, trois, quatre, un nombre n’importe lequel d’antécédents. Par contre je t’ai di qu’une image c’était toujours unique.

C’est la fin de cette vidéo sur les fonctions, bravo de l’avoir suivie jusqu’au bout. Je te propose pour t’entrainer de faire la feuille d’exercices qui est juste en-dessous de la vidéo et tu pourras également t’exercer en regardant le corrigé pour vérifier tes réponses. Voilà je te dis à très bientôt sur bossetesmaths.com, salut !