FORME CANONIQUE (Seconde / Premières)

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Bonjour ici Corinne Huet du site bossetesmaths.com
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Bienvenue dans cette vidéo dédiée à la forme canonique.
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Alors de quoi va-t-on parler ? Hé bien je vais t’expliquer ce qu’est la forme canonique
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d’un polynôme du second degré.
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Ensuite je vais t’expliquer comment
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on l’obtient
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et enfin nous verrons deux applications de cette forme canonique.
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On commence maintenant.

Forme canonique : c’est quoi ?

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alors tout d’abord j’aimerais expliquer ce qu’est la forme canonique d’un
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polynôme du second degré
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donc pour ça
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On va noter
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f(x) un
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polynôme du second degré c’est-à-dire
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une expression du type
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ax²
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+bx
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+c
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avec a
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différent de zéro
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donc ça c’est ce qu’on appelle sa forme développée
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et il y a une propriété qui dit que tout polynôme du second degré
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de ce type-à
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peut s’écrire sous la forme
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a facteur de x-alpha
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au carré
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plus beta
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avec les coefficients a alpha et beta qui sont des nombres réels
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et c’est cette expression-là qu’on appelle la forme canonique du polynôme du second degré f.

Forme canonique : comment l’obtenir ?

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Donc maintenant je vais t’expliquer comment
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est-ce qu’on obtient alors le coefficient a on l’obtient facilement
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puisque c’est le même que dans la forme développée
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mais je vais t’expliquer comment on obtient les coefficients alpha et beta
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voici donc un exercice dans lequel il faut déterminer la forme canonique
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d’un polynôme du second degré
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que j’ai noté f
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qui est définie sur R par cette expression f(x)=-4x²+24x-11
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Alors tout d’abord je vais détecter les coefficients a b et c
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de la forme développée
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ici est-ce que tu es d’accord que a
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est égal à – 4
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b égal à 24
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et c égal à -11 ?
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Pour mettre ce polynôme f
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qui est donné sous forme développée
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sous forme canonique
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il ya la première étape qui consiste
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à factoriser f par son coefficient a qui vaut ici -4
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Donc on va avoir – 4 facteur de
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x au carré
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ensuite
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pour avoir + 24x hé bien on va diviser +24x par -4
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cela va nous donner -6x
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et enfin pour avoir le terme -11 on va diviser -11
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par -4
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Cela va nous donner
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+11/4
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bon ensuite dans la deuxième partie on va garder
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notre nombre a qui vaut -4
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on va ouvrir un grand crochet
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et dans ce grand crochet
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tout d’abord
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on va essayer de reconnaître dans x²-6x
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le début
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d’une identité remarquable
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du type (a-b)²
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alors tu sais que c’est égal à a²
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– 2ab
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+b²
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donc j’aimerais bien
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que x²-6x se reconnaisse ici dans a²-b²
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Alors, est-ce que tu es d’accord que
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cette identité remarquable sera de la forme x moins quelque chose au carré ?
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pour trouver le quelque chose il faut que quand on développe
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-2ab c’est-à-dire -2x
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fois quelque chose ça nous fasse -6x
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On n’a pas le choix, ici on va avoir 3
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Alors il y a une petite astuce qui consiste en fait
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pour trouver ce fameux nombre
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hé bien, tu prends 6
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et tu le divises par 2
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tu obtiendras le nombre qu’il faut mettre ici dans la parenthèse
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Alors c’est pas terminé
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si tu développes ici cette identité remarquable (x-3) au carré
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tu obtiendras donc x au carré
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-2 a b c’est-à-dire – 6 x
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+ b au carré c’est-à-dire à +9
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sauf qu‘ici tu constates qu’on n’a pas +9
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donc qu’est-ce qu’il faut faire ? hé bien il faudra toujours enlever
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ce nombre 9 qui est ici b au carré
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Et il ne faudra pas oublier
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ensuite dans ton crochet
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de recopier le +11/4
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voilà c’est une partie un petit peu technique mais une fois que tu l’auras pratiquée
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normalement ça devrait fonctionner
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Alors maintenant il reste à calculer -4
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facteur de (x-3)
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au carré
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Alors on a à calculer -9+11/4 donc on a -36/4 +11/4
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on met au même dénominateur
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ce qui nous donne -4
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on ouvre le crochet
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facteur de
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(x-3) au carré
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– 36 + 11
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ça nous fait -25
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et tout ça sur 4
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et enfin
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on va distribuer le -4
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sur les deux termes du crochet
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ce qui va nous donner
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– 4
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facteur de
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x – 3
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au carré
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ensuite moins fois moins ça va nous faire plus
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4 fois 25/4 hé bien on va pouvoir simplifier
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4 en haut avec 4 en bas
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il nous restera donc +25
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Et donc ici
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on a la forme canonique du polynôme f
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Tu constates qu’ici on a bien notre coefficient a
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ici on a alpha
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et ici beta
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Voilà comment on procède pour obtenir la forme canonique d’un polynôme du
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second degré

Forme canonique : application #1

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Alors maintenant on peut se demander à quoi peut servir la forme canonique
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d’un polynôme du second degré
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Voici les premières applications où je te donne
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un polynôme du second degré sous forme canonique
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c’est le polynôme que l’on vient d’étudier
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et je voudrais montrer que cette fonction f admet un extremum
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sur R et préciser sa nature alors un extremum
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Ça peut être un minimum ou un maximum
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on va partir
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du constat suivant
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Est-ce que tu es d’accord que
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pour tout x
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appartenant à R
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(x-3)
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au carré
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est supérieur ou égal à 0 ?
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Je prends le carré qui est ici dans la forme canonique
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Ça, tout simplement parce qu’un carré est toujours positif ou nul
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Ensuite ce carré
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je vais le multiplier par -4
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cela va me donner -4
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facteur de (x-4) au carré
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et ici à droite
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je vais -4 fois zéro
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ça va faire zéro
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et comme j’ai multiplié cette inégalité par un nombre négatif
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hé bien je vais changer son sens
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Ensuite
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je vais ajouter 25
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dans cette inégalité
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ce qui va me donner dans le membre de gauche
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– 4
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facteur de (x-3) au carré
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+ 25
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à droite 0+25 ça nous donne 25
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et quand je fais une addition cela ne change pas l’ordre de l’inégalité
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Ça reste
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inférieur ou égal
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qu’est ce que j’obtiens, hé bien ici j’ai obtenu f(x)
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qui est inférieur ou égal à 25
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et ceci pour tous les x dans R
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donc j’ai envie de dire que 25 est le maximum de f mais il faut qu’il
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soit atteint
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Or tu constates d’après l’expression de f ici
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quand tu prends x qui vaut 3
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donc quand tu calcules f(3)
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ça va te faire -4 fois
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(3-3) au carré
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plus 25
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3-3 ça fait zéro, au carré ça fait zéro, fois -4 ça fait zéro
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tout ça s’en va
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et au final c’est égal à 25
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donc le nombre 25 qui est là dont on soupçonnait que c’était le maximum de f
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hé bien il est bien atteint
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lorsque x égal 3
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donc je peux conclure
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que f
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admet un maximum
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sur R
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Je peux même précisé
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que ce maximum
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vaut 25
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et qu’il est atteint
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en 3
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ou pour x=3
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donc ça c’est une première application de la forme canonique d’un polynôme
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du second degré
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à savoir
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montrer
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que ce polynôme admet un extremum sur R : un maximum ou un minimum
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Tu t’imagines bien que si j’avais gardé la forme développée, je n’aurais pas pu faire
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ce que je viens de faire ici
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Donc la forme canonique est vraiment très utile pour cela.

Forme canonique : application #2

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Voyons maintenant une deuxième application de la forme canonique

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dans cette deuxième application on va voir que la forme canonique sert aussi
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à voir si un polynôme du second degré est factorisable et alors
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à le factoriser.
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Donc ici on nous demande de factoriser cette expression f(x) qui est égale à
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25 – 4 facteur de (x-3) au carré. C’est encore une fois
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l’expression que l’on a étudiée précédemment
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sauf que le +25 qui était à la fin, je l’ai mis devant
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bon alors comment est-ce qu’on va faire pour factoriser f(x) qui est ici
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sous forme canonique
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eh bien on va utiliser les techniques habituelles de factorisation
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ici dans 25 et dans 4(x-3)² on n’a pas de
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facteur commun
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donc ça signifie que cette expression est une identité remarquable
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à factoriser
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alors laquelle ? Hé bien
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Moi j’en connais une seule où on a un signe « moins »
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C’est celle
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qui s’écrit a au carré
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moins b au carré
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donc qu’est-ce qu’on va faire ?
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hé bien on va écrire f(x) sous la forme
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d’une différence
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de deux carrés
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Alors ici pour que ça fasse 25
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tu as deviné qu’il fallait mettre 5 au carré
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Ça, aucun problème
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ensuite j’ai mon « moins »
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et je dois avoir 4 fois (x-3) au carré
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donc pour que ce soit
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un seule et même carré
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je vais mettre ici
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dans mon crochet 2 fois
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(x-3)
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le tout au carré
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ça va bien me donner
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2 au carré qui fait 4
10:49
fois (x-3) au carré
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Maintenant que mon expression et sous la forme a²-b²
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je vais appliquer la troisième identité remarquable
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qui me dit que c’est égal à (a+b)
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facteur de
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(a-b)
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Alors on y va
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tout d’abord
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on va faire (a+b) donc
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5
11:14
plus 2 facteur de (x-3)
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facteur de (a-b)
11:20
donc
11:22
5
11:23
moins 2 facteur de (x-3)
11:28
voilà
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Je vais arranger ce qu’il y a dans chacun de ces crochets
11:32
donc cela va donner 5 plus
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2x – 6
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facteur de 5
11:45
moins 2x
11:47
Et -2 fois -3
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+ 6
11:53
Je termine
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en réduisant ce qu’il y a dans les parenthèses ici
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J’ai donc 2x
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(5-6)=-1
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facteur de (5+6) qui fait 11
12:07
Moins 2x
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Et j’ai donc factorisé mon expression f(x) c’est-à-dire que je l’ai
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mise sous la forme
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d’un produit
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donc tu vois que
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f(x) qui était sous forme canonique a pu se factoriser tout
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simplement parce que sa forme canonique
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était
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de la forme de la troisième identité remarquable a carré moins
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b carré
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donc quand c’est le cas tu pourras factoriser ton polynôme du second degré
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et quand ce n’est pas le cas ça veut dire que ton polynôme du second degré n’est pas
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factorisable tout simplement.

Conclusion de la vidéo sur la forme canonique

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Et bien voilà c’est la fin de cette vidéo sur la notion de forme
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canonique d’un polynôme du second degré
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donc à présent tu dois être capable
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de trouver la forme canonique d’un polynôme second degré
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et maintenant tu sais également à quoi ça peut bien servir.
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Je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com
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et n’hésite pas à télécharger la feuille d’exercices qui est juste en-dessous
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de la vidéo pour t’entraîner et vérifier tes réponses grâce à son
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corrigé.
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A très bientôt sur bossetesmaths.com. Salut !