Forme canonique [Vidéo] (Seconde / Premières)
Dans cette vidéo, tu vas découvrir la notion de forme canonique d’un polynôme du second degré.
Je t’explique comment obtenir cette fameuse forme canonique lorsque le polynôme est donné sous sa forme développée ax²+bx+c.
Ensuite je te montre à quoi peut servir cette forme canonique dans 2 applications.
Pour vérifier que tu as tout compris, télécharge la feuille d’exercices sur la forme canonique d’un polynôme du second degré et n’oublie pas de vérifier tes réponses grâce au corrigé de cette feuille.
Alors, es-tu maintenant capable de mettre un polynôme du type ax²+bx+c sous forme canonique ? As-tu compris l’utilité de cette forme canonique ?
Laisse ton commentaire juste en-dessous pour partager ton avis avec tous les lecteurs du blog !
Afficher la transcription texte de la vidéoFermer la transcription texte de la vidéo 0:00 0:20 1:12 5:48 9:12 9:16 12:40FORME CANONIQUE (Seconde / Premières)
Bonjour ici Corinne Huet du site bossetesmaths.com
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Bienvenue dans cette vidéo dédiée à la forme canonique.
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Alors de quoi va-t-on parler ? Hé bien je vais t’expliquer ce qu’est la forme canonique
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d’un polynôme du second degré.
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Ensuite je vais t’expliquer comment
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on l’obtient
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et enfin nous verrons deux applications de cette forme canonique.
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On commence maintenant.Forme canonique : c’est quoi ?
alors tout d’abord j’aimerais expliquer ce qu’est la forme canonique d’un
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polynôme du second degré
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donc pour ça
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On va noter
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f(x) un
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polynôme du second degré c’est-à-dire
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une expression du type
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ax²
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+bx
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+c
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avec a
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différent de zéro
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donc ça c’est ce qu’on appelle sa forme développée
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et il y a une propriété qui dit que tout polynôme du second degré
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de ce type-à
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peut s’écrire sous la forme
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a facteur de x-alpha
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au carré
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plus beta
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avec les coefficients a alpha et beta qui sont des nombres réels
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et c’est cette expression-là qu’on appelle la forme canonique du polynôme du second degré f.Forme canonique : comment l’obtenir ?
Donc maintenant je vais t’expliquer comment
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est-ce qu’on obtient alors le coefficient a on l’obtient facilement
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puisque c’est le même que dans la forme développée
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mais je vais t’expliquer comment on obtient les coefficients alpha et beta
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voici donc un exercice dans lequel il faut déterminer la forme canonique
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d’un polynôme du second degré
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que j’ai noté f
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qui est définie sur R par cette expression f(x)=-4x²+24x-11
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Alors tout d’abord je vais détecter les coefficients a b et c
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de la forme développée
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ici est-ce que tu es d’accord que a
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est égal à – 4
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b égal à 24
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et c égal à -11 ?
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Pour mettre ce polynôme f
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qui est donné sous forme développée
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sous forme canonique
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il ya la première étape qui consiste
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à factoriser f par son coefficient a qui vaut ici -4
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Donc on va avoir – 4 facteur de
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x au carré
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ensuite
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pour avoir + 24x hé bien on va diviser +24x par -4
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cela va nous donner -6x
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et enfin pour avoir le terme -11 on va diviser -11
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par -4
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Cela va nous donner
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+11/4
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bon ensuite dans la deuxième partie on va garder
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notre nombre a qui vaut -4
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on va ouvrir un grand crochet
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et dans ce grand crochet
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tout d’abord
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on va essayer de reconnaître dans x²-6x
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le début
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d’une identité remarquable
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du type (a-b)²
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alors tu sais que c’est égal à a²
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– 2ab
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+b²
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donc j’aimerais bien
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que x²-6x se reconnaisse ici dans a²-b²
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Alors, est-ce que tu es d’accord que
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cette identité remarquable sera de la forme x moins quelque chose au carré ?
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pour trouver le quelque chose il faut que quand on développe
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-2ab c’est-à-dire -2x
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fois quelque chose ça nous fasse -6x
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On n’a pas le choix, ici on va avoir 3
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Alors il y a une petite astuce qui consiste en fait
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pour trouver ce fameux nombre
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hé bien, tu prends 6
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et tu le divises par 2
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tu obtiendras le nombre qu’il faut mettre ici dans la parenthèse
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Alors c’est pas terminé
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si tu développes ici cette identité remarquable (x-3) au carré
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tu obtiendras donc x au carré
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-2 a b c’est-à-dire – 6 x
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+ b au carré c’est-à-dire à +9
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sauf qu‘ici tu constates qu’on n’a pas +9
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donc qu’est-ce qu’il faut faire ? hé bien il faudra toujours enlever
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ce nombre 9 qui est ici b au carré
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Et il ne faudra pas oublier
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ensuite dans ton crochet
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de recopier le +11/4
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voilà c’est une partie un petit peu technique mais une fois que tu l’auras pratiquée
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normalement ça devrait fonctionner
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Alors maintenant il reste à calculer -4
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facteur de (x-3)
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au carré
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Alors on a à calculer -9+11/4 donc on a -36/4 +11/4
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on met au même dénominateur
4:46
ce qui nous donne -4
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on ouvre le crochet
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facteur de
4:51
(x-3) au carré
4:53
– 36 + 11
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ça nous fait -25
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et tout ça sur 4
5:00
et enfin
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on va distribuer le -4
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sur les deux termes du crochet
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ce qui va nous donner
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– 4
5:11
facteur de
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x – 3
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au carré
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ensuite moins fois moins ça va nous faire plus
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4 fois 25/4 hé bien on va pouvoir simplifier
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4 en haut avec 4 en bas
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il nous restera donc +25
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Et donc ici
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on a la forme canonique du polynôme f
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Tu constates qu’ici on a bien notre coefficient a
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ici on a alpha
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et ici beta
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Voilà comment on procède pour obtenir la forme canonique d’un polynôme du
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second degréForme canonique : application #1
Alors maintenant on peut se demander à quoi peut servir la forme canonique
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d’un polynôme du second degré
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Voici les premières applications où je te donne
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un polynôme du second degré sous forme canonique
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c’est le polynôme que l’on vient d’étudier
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et je voudrais montrer que cette fonction f admet un extremum
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sur R et préciser sa nature alors un extremum
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Ça peut être un minimum ou un maximum
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on va partir
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du constat suivant
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Est-ce que tu es d’accord que
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pour tout x
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appartenant à R
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(x-3)
6:27
au carré
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est supérieur ou égal à 0 ?
6:30
Je prends le carré qui est ici dans la forme canonique
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Ça, tout simplement parce qu’un carré est toujours positif ou nul
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Ensuite ce carré
6:41
je vais le multiplier par -4
6:47
cela va me donner -4
6:50
facteur de (x-4) au carré
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et ici à droite
6:54
je vais -4 fois zéro
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ça va faire zéro
6:56
et comme j’ai multiplié cette inégalité par un nombre négatif
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hé bien je vais changer son sens
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Ensuite
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je vais ajouter 25
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dans cette inégalité
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ce qui va me donner dans le membre de gauche
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– 4
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facteur de (x-3) au carré
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+ 25
7:20
à droite 0+25 ça nous donne 25
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et quand je fais une addition cela ne change pas l’ordre de l’inégalité
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Ça reste
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inférieur ou égal
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qu’est ce que j’obtiens, hé bien ici j’ai obtenu f(x)
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qui est inférieur ou égal à 25
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et ceci pour tous les x dans R
7:41
donc j’ai envie de dire que 25 est le maximum de f mais il faut qu’il
7:44
soit atteint
7:48
Or tu constates d’après l’expression de f ici
7:51
quand tu prends x qui vaut 3
7:54
donc quand tu calcules f(3)
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ça va te faire -4 fois
8:00
(3-3) au carré
8:01
plus 25
8:03
3-3 ça fait zéro, au carré ça fait zéro, fois -4 ça fait zéro
8:07
tout ça s’en va
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et au final c’est égal à 25
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donc le nombre 25 qui est là dont on soupçonnait que c’était le maximum de f
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hé bien il est bien atteint
8:17
lorsque x égal 3
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donc je peux conclure
8:22
que f
8:23
admet un maximum
8:29
sur R
8:35
Je peux même précisé
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que ce maximum
8:40
vaut 25
8:43
et qu’il est atteint
8:48
en 3
8:49
ou pour x=3
8:52
donc ça c’est une première application de la forme canonique d’un polynôme
8:56
du second degré
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à savoir
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montrer
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que ce polynôme admet un extremum sur R : un maximum ou un minimum
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Tu t’imagines bien que si j’avais gardé la forme développée, je n’aurais pas pu faire
9:07
ce que je viens de faire ici
9:08
Donc la forme canonique est vraiment très utile pour cela.Forme canonique : application #2
Voyons maintenant une deuxième application de la forme canonique
dans cette deuxième application on va voir que la forme canonique sert aussi
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à voir si un polynôme du second degré est factorisable et alors
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à le factoriser.
9:26
Donc ici on nous demande de factoriser cette expression f(x) qui est égale à
9:30
25 – 4 facteur de (x-3) au carré. C’est encore une fois
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l’expression que l’on a étudiée précédemment
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sauf que le +25 qui était à la fin, je l’ai mis devant
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bon alors comment est-ce qu’on va faire pour factoriser f(x) qui est ici
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sous forme canonique
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eh bien on va utiliser les techniques habituelles de factorisation
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ici dans 25 et dans 4(x-3)² on n’a pas de
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facteur commun
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donc ça signifie que cette expression est une identité remarquable
10:01
à factoriser
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alors laquelle ? Hé bien
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Moi j’en connais une seule où on a un signe « moins »
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C’est celle
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qui s’écrit a au carré
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moins b au carré
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donc qu’est-ce qu’on va faire ?
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hé bien on va écrire f(x) sous la forme
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d’une différence
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de deux carrés
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Alors ici pour que ça fasse 25
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tu as deviné qu’il fallait mettre 5 au carré
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Ça, aucun problème
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ensuite j’ai mon « moins »
10:33
et je dois avoir 4 fois (x-3) au carré
10:35
donc pour que ce soit
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un seule et même carré
10:39
je vais mettre ici
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dans mon crochet 2 fois
10:43
(x-3)
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le tout au carré
10:46
ça va bien me donner
10:47
2 au carré qui fait 4
10:49
fois (x-3) au carré
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Maintenant que mon expression et sous la forme a²-b²
10:57
je vais appliquer la troisième identité remarquable
11:01
qui me dit que c’est égal à (a+b)
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facteur de
11:05
(a-b)
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Alors on y va
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tout d’abord
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on va faire (a+b) donc
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5
11:14
plus 2 facteur de (x-3)
11:19
facteur de (a-b)
11:20
donc
11:22
5
11:23
moins 2 facteur de (x-3)
11:28
voilà
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Je vais arranger ce qu’il y a dans chacun de ces crochets
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donc cela va donner 5 plus
11:36
2x – 6
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facteur de 5
11:45
moins 2x
11:47
Et -2 fois -3
11:49
+ 6
11:53
Je termine
11:54
en réduisant ce qu’il y a dans les parenthèses ici
11:58
J’ai donc 2x
11:59
(5-6)=-1
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facteur de (5+6) qui fait 11
12:07
Moins 2x
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Et j’ai donc factorisé mon expression f(x) c’est-à-dire que je l’ai
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mise sous la forme
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d’un produit
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donc tu vois que
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f(x) qui était sous forme canonique a pu se factoriser tout
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simplement parce que sa forme canonique
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était
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de la forme de la troisième identité remarquable a carré moins
12:30
b carré
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donc quand c’est le cas tu pourras factoriser ton polynôme du second degré
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et quand ce n’est pas le cas ça veut dire que ton polynôme du second degré n’est pas
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factorisable tout simplement.Conclusion de la vidéo sur la forme canonique
Et bien voilà c’est la fin de cette vidéo sur la notion de forme
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canonique d’un polynôme du second degré
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donc à présent tu dois être capable
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de trouver la forme canonique d’un polynôme second degré
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et maintenant tu sais également à quoi ça peut bien servir.
12:56
Je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com
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et n’hésite pas à télécharger la feuille d’exercices qui est juste en-dessous
13:03
de la vidéo pour t’entraîner et vérifier tes réponses grâce à son
13:06
corrigé.
13:07
A très bientôt sur bossetesmaths.com. Salut !
Bonjour! Alfa et Beta correspondent à xS et f(xS) ?
Oui tout-à-fait, alpha=xS et beta=f(xS).
Papi de 77 ans ,grace à vous je suis en mesure d aider mon petit fils en 1 ere S Merçi pour tout
C’est super d’aider votre petit fils à 77 ans, bravo !
Bonjour Corinne, j’espère ne pas te prendre au dépourvu mais voilà, j’ai un exercice de maths. On me demande d’étudier la fonction f(x) = 0,05 x² – 0,8 x + 8. Il faut que je détermine son sens de variation et pour quelles valeurs de x, f est minimale. Mais j’ai un souci, je n’arrive pas à changer de forme la fonction pour l’étudier. Merci d’avance pour tes conseils et pour m’aider dans les maths… Tu m’es d’une grande aide, encore merci !
Bonjour, il y a 2 possibilités pour le sens de variation de f :
– soit tu dis que c’est une fonction polynôme du second degré, donc sa courbe est une parabole, tournée vers le haut (car a=0,05 est positif), de sommet S(alpha;beta) avec alpha=-b/2a=0,8/(2*0,05)=8. Donc (si tu imagines la parabole), f est décroissante sur ]-linf;8] et croissante sur [8;+linf[ (*).
– soit tu transformes l’expression de f pour la mettre sous forme canonique : f(x)=0,05(x-8)²+4,8 et tu vois que f(x) est toujours supérieure ou égale à 4,8 et f(x)=4,8 pour x=8. Donc f est minimale lorsque x=8 et tu obtiens les mêmes variations que (*).
J’espère avoir répondu à ta question !
D’accord merci beaucoup. Cela m’a permis de voir et trouver ma faute car j’ai oublié de mettre ma parenthèse pour le +96 et donc forcément je ne pouvais pas faire 0,05×96 et trouver 4,8 !
L’essentiel c’est que tu aies compris d’où venait ton erreur.
Bonjour madame pouvez vous faire une fiche d’exercices sur la géométrie de l’espace en fait un QCM ? merci
Bonjour Sid, pour le moment je manque de temps mais dès que je le peux je ferai une vidéo et des exercices sur la géométrie dans l’espace, c’est prévu !
En fait un exercice de Vrai ou faux pouvoir si je connais vraiment les propriétés . Merci d’avance
Bon pas grave c’était pour me préparer pour une interrogation .
Vraiment désolée mais je n’ai pas beaucoup de temps entre mon métier de professeur, la gestion du blog et la création des vidéos.
J’espère que tu réussiras ton interrogation malgré tout !
Merci l’interrogation s’est bien passée et je m’excuse si je vous surcharge ; c’est déjà super ce que vous faites.
Très contente pour ton interro !
Bonjour pouvez vous me donner un exercice pour factoriser au minimum 10 ça serait parfait ^^ par email svp.Merci d’avance
Si tu veux t’entraîner à factoriser, tu peux regarder ces 2 vidéos et ensuite faire la feuille d’exercices sous les vidéos (il y a tout plein de factorisations à faire !) : https://www.bossetesmaths.com/factorisation-dune-expression/
Bonsoir pouvez vous m’aider pour factoriser : (x²-4)² – (x+2)² merci de m’aider
Ton expression est de la forme a^2-b^2 avec a=x^2-4 et b=x+2.
Tu appliques donc la 3ème identité remarquable, ça te donnera : (a+b)(a-b).
Il ne te reste plus qu’à remplacer a et b par leurs expressions et à réduire !
ah merci je vois, quand je demandais un exercice c’est en fait pour factoriser les polynômes de 2e degré et 3e degré
Effectivement, il faudrait que je mette ce genre d’exercices sur le blog ! J’y pense, j’attends d’avoir un peu de temps !
Bonsoir Corinne,
Pourriez-vous s’il vous plait me dire comment on étudie le sens de variation d’une function polynôme du second degré avec 2(x+1/4)² – 49/8
Ta fonction du second degré est sous forme canonique a(x-alpha)²+beta avec a=2; alpha=-1/4 et beta=-49/8.
Comme a>0, la courbe est une parabole tournée vers le haut, ainsi la fonction est strictement décroissante sur ]-linfini;alpha] soit ]-linf;-1/4] et strictement croissante sur [alpha;+linfini[ soit [-1/4;+linf[.
De plus, le sommet de la parabole a pour coordonnées (alpha;beta) soit(-1/4;-49/8).
J’espère que c’est clair !
Merci Corinne pour cette explication. J’avais cependant un conseil à te demander. J’ai de la famille qui peut m’aider en mathématiques et ils m’ont expliqué la même chose que vous mais ce qui me fait peur c’est que mon prof a une formulation complètement différente. Je préfère la votre mais j’ai peur qu’il me retire des points car je n’aurais pas appliqué la même formulation que lui. Pensez-vous que, si j’utilise votre méthode lorsqu’il va corriger les compositions jeudi soir (j’ai une compo jeudi 04 juin), il va me retirer tous les points, ou du moins m’en enlever ?
J’espère que vous lirez ce message et me répondrez le plus rapidement possible.
Je pense que tu peux formuler différemment, tant que tu n’écris pas de bêtise tu ne devrais pas être sanctionné.
D’accord. Une dernière question : pour l’adresse que vous m’aviez donné (kartable), dois-je ajputer quelque chose à cette adresse ou dois-je la metre telle qu’elle est dans la case “destinataire” ?
Je pense que tu la copies telle qu’elle est dans “destinataire”.
Bjr Corinne,
En complément, peut-être mentionné la somme et produit des racines.
Bien pratique et facile à démontrer.
Merci pr ts excellentes explications,
Effectivement j’aurais pu mentionner la somme et produit des racines mais la vidéo était déjà assez longue.
Peut-être prochainement dans une vidéo à part.
Merci pour ton commentaire en tout cas !
Merci beaucoup pour votre aide. Vous expliquez d’une manière parfaite.
Merci à toi pour cet éloge !
Merci Corinne,
Simplement rajouter en fin de vidéo que la factorisation sert, en fait, à déterminer lorsqu’elles existent les racines du polynôme.
BarryG
Tu as tout-à-fait raison, mais finalement on applique les calculs de Delta et des racines ensuite…