Factorisation d’une expression [Vidéo](Seconde)

FACTORISATION D’UNE EXPRESSION – Partie 1 : Factoriser avec un facteur commun

Salut à toi et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet.

Alors dans cette 1ère vidéo sur la factorisation, je vais t’apprendre comment factoriser une expression en repérant un facteur commun.

Dans la 2ème partie sur la factorisation, tu apprendras à factoriser grâce aux identités remarquables.
Je te dis à tout de suite pour la première partie !

Factorisation :  comprendre la notion de « facteur » et de « facteur commun »

Alors avant de factoriser une expression, il faut que tu saches ce qu’est un facteur en mathématiques (pour ça on va aller voir la définition sur Wikipédia). Sur Wikipédia, j’ai fait la recherche du mot « facteur » en mathématiques et on nous dit qu’en mathématiques un facteur est l’un des éléments constitutifs d’un produit. Tu sais ce qu’est un produit c’est une multiplication par exemple le produit 2 x 3 il comporte deux facteurs qui sont 2 et 3. Tu vois ce sont les nombres qui constituent ton produit ou encore dans le produit 3 x 7 x 12 hébien le nombre 7 est un facteur ainsi que le nombre 3 et le nombre 12. Voilà ce qu’est un facteur.

Si tu regardes maintenant l’expression A qui est ici, hé bien dans le 1er produit (x – 2) facteur de 3x + 5 (tu vois ici j’ai une multiplication) hé bien les deux facteurs sont (x – 2) et (3x + 5). Et dans le produit (2x + 7) facteur de (2 – x), les facteurs sont (2x +7) et (2 – x). Voilà donc tu dois bien déjà comprendre cette notion de facteur avant d’aller plus loin.

Factorisation d’une expression : ça consiste en quoi ?

Alors maintenant ça veut dire quoi factoriser une expression ? Factoriser ça veut tout simplement dire transformer une somme en produit. Je te montre tout de suite sur l’exemple de Wikipédia : si on revient par exemple à cette expression A, est-ce que tu vois comme moi qu’il s’agit d’une somme ? Une somme de deux termes ici. Hé bien l’opération qui consiste à factoriser cette somme, hé bien elle va transformer mon expression A en un produit. Voilà donc ici tu vois A = (x – 2) au carré c’est-à-dire (x – 2) x (x – 2) donc on est passé ici d’une somme à ici un produit et donc on a bien factorisé grand A. C’est ça que ça veut dire factoriser une expression : transformer une somme en un produit.

Factorisation avec un facteur commun

Alors maintenant comment est-ce que je vais faire concrètement pour factoriser une somme ? Hé bien voici une 1ère méthode qui consiste à factoriser avec un facteur commun.

1ère expression à factoriser

Dans un 1er exemple, je vais te demander de factoriser l’expression que j’ai nommée A(x) qui est égale à 4x + 3x au carré donc d’abord tu repères bien que tu as une somme de deux termes. Donc qu’est-ce que l’on va faire pour mieux voir cette somme ? Hé bien tu vas voir, je vais décomposer mes 2 termes alors 4x on est d’accord que c’est 4 fois x + 3x carré est-ce que tu es d’accord que c’est 3x fois x ? Une fois que tu as fais cela, hé bien tu repères dans chacun de tes 2 termes un facteur commun. Je te rappelle que dans le produit 4 fois x, on a deux facteurs qui sont 4 et x et dans le produit 3x fois x, on a 3 facteurs qui sont 3, x et x. Alors est-ce que tu vois un facteur en commun dans ces 2 termes ? Alors je pense que, comme moi, tu vois le nombre x qui est un facteur en commun.

Donc une fois que tu as repéré un facteur commun, voici comment on va procéder. On va le mettre tout d’abord au début, comme ça, voilà mon facteur commun x et je vais le multiplier dans une parenthèse par ce qu’il me reste donc tu vois ici x (le facteur commun) je l’ai mis devant, qu’est-ce qu’il va me rester ? Hé bien il me reste 4 et +3x. Voilà donc au final mon expression A(x) lorsque je l’ai factoriséz, elle va me demander x facteur de (4 + 3x) et tu vois bien que j’ai transformé ma somme en un produit. Donc c’est comme ça que l’on factorise une expression lorsqu’on repère un facteur commun.

2ème expression à factoriser

On y va pour un 2ème exemple dans lequel il faut factoriser l’expression que j’ai appelée  B(x) qui est égale à cette soustraction donc tu vois, comme moi, qu’il s’agit d’une soustraction ou bien d’une somme, c’est le même procédé c’est-à-dire que je soustrais ce terme avec ce terme. Donc est-ce que, dans ces 2 termes, tu vois un facteur commun ? Alors je te précise quand même que, dans ce 1er terme, on a 2 facteurs qui sont (3x – 1) et (x + 4) et dans ce 2ème terme on a 2 facteurs qui sont (2x – 3) et (3x – 1) donc est-ce que tu vois, comme moi, un facteur commun ? Je crois qu’on le voit ensemble : on a 1 facteur commun ici qui est (3x – 1) donc qu’est-ce que je vais faire pour factoriser B(x) ? Hé bien je vais mettre mon facteur commun ici devant (3x – 1) attention de bien garder les parenthèses puisqu’il va être facteur de tout le reste alors tout le reste je vais le mettre dans un crochet et je vais recopier ce qu’il me reste quand (3x – 1) est venu devant en facteur commun donc est-ce que tu es d’accord qu’il va me rester tout ça ? Alors je vais le recopier en gardant bien les parenthèses donc ici (x + 4) entre parenthèses – entre parenthèses (2x – 3). Alors ce n’est pas terminé: on va garder notre facteur commun (3x – 1) devant comme ça et dans ce grand crochet on va enlever les petites parenthèses. Comment ? Alors tu regardes tout simplement à chaque fois le signe qui est devant la parenthèse. Donc ici devant cette parenthèse, je n’ai rien donc je peux les enlever naturellement, cela va me faire x + 4; ensuite devant ces parenthèses, j’ai un signe – donc je vais enlever la parenthèse mais je vais changer tous les signes à l’intérieur donc 2x va devenir -2x et -3 va devenir +3. Je continue en réduisant la 2ème parenthèse donc x – 2x ça me fait -x, +4 + 3 ça me fait -7 et voilà cette somme est devenue un produit de deux facteurs, j’ai donc factorisé l’expression B(x).

3ème expression à factoriser : avec un carré

Dans l’exemple 3, on a une factorisation avec un carré. Ici dans l’expression C(x) on a (2 – 5x) au carré+ (2 – 5x) fois (6x + 1). Alors pour factoriser cette expression, je te conseille de décomposer le carré en (2 – 5x) fois lui même  + le reste. Voilà et tu procèdes comme d’habitude c’est-à-dire qu’ici tu as ta somme de ces 2 termes. Dans ces 2 termes, on a comme facteur (2 – 5x), (2 – 5x), (2 – 5x), (6x +1). Est-ce que tu vois un facteur qui est commun dans les 2 termes ? Hébien (2 – 5x) ici et (2 – 5x) ici est bien un facteur commun donc on va factoriser C(x) par (2 – 5x) que je garde entre parenthèses et dans mon crochet je vais recopier ce qu’il me reste c’est-à-dire cela. Donc je t’ai donné le conseil de garder les parenthèses (2 – 5x) + (6x +1), je ferme mes crochets et je vais aller réduire l’expression qui est dans le crochet donc je garde (2 – 5x) entre parenthèses et je vais essayer de supprimer les petites parenthèses dans les crochets en regardant à chaque fois le signe qui est devant.

Alors ici il n’y a aucun signe donc je vais écrire que c’est 2 – 5x et ici il y a un signe + donc ça ne change rien, je vais enlever les parenthèses naturellement + 6x + 1 et enfin je vais réduire la 2ème parenthèse, cela va me donner -5x + 6x ça me fait 1x et 2 + 1 = +3; Voilà et j’ai donc bien transformé la somme C(x) en un produit donc j’ai factorisé C(x).

4ème expression à factoriser : le « 1 invisible »

Dans l’exemple 4, je vais t’expliquer ce que j’ai appelé le coup du 1 invisible. Il s’agit de factoriser l’expression D(x) qui est ici donc, comme d’habitude, tu repères que c’est une somme de 2 termes et dans chacun de ces termes tu regardes les facteurs : alors ici on a (3x + 2) en facteur, (x – 4) comme facteur, (x – 4) lui il est facteur de quoi ? Comme il est tout seul, finalement c’est multiplier par 1 : c’est comme si devant j’ai 1 fois (x – 4) donc j’ai le 1 ici qui est un facteur également donc tu vois c’est pour ça que j’ai appeléça le coup du 1 invisible.

Alors comment est-ce qu’il va apparaitre dans ma factorisation ? Hé bien, comme d’habitude, on prend un facteur commun dans les 2 termes donc ici, tu vois comme moi que (x – 4) est un facteur commun donc je le mets devant entre parenthèses, j’ouvre mes crochets et je vais recopier ce qu’il reste c’est-à-dire ça et ça. Donc il va me rester (3x + 2) et attention à ne pas oublier -1. Voilàet ensuite tu réduis ton crochet comme on l’a fait précédemment. Donc ici on peut enlever les parenthèses, (3x + 2 – 1) et au final D(x) va se factoriser comme (x – 4) facteur de (3x + 1). Voilà donc attention à ne pas oublier ce 1 invisible : souvent les élèves n’y pensent pas et donc la factorisation sera fausse puisqu’il nous manque ce -1 ici dans le crochet.

Factorisation : conclusion

Hé bien voilà c’est la fin de cette vidéo sur la factorisation avec facteur commun. Alors j’espère que tu sais maintenant factoriser une expression en repérant un facteur commun. Alors maintenant la question est comment faire pour factoriser lorsqu’on ne voit pas de facteur commun ? Donc ça sera l’objet de la 2ème partie de cette vidéo sur la factorisation et tu verras qu’on va factoriser grâce aux identités remarquables. Va donc voir cette 2ème vidéo et n’oublie pas d’aller télécharger la feuille d’exercices qui est juste en bas de la vidéo pour pouvoir t’entrainer à factoriser. C’est vraiment une notion essentielle au lycée, si tu ne sais pas factoriser tu risques d’avoir de gros problèmes dans les calculs de lycée. A tout de suite pour la 2ème vidéo !

FACTORISATION D’UNE EXPRESSION – Partie 2 : Factoriser avec les identités remarquables

Salut à toi et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet. Dans cette 2ème vidéo sur la factorisation je vais t’expliquer comment factoriser une expression lorsqu’on ne voit pas de facteur commun : cela fait intervenir les identités remarquables que tu dois normalement connaitre en seconde.
Alors sache que j’ai vraiment voulu concevoir cette vidéo pour aider les élèves parce que j’ai remarqué, qu’en fait, les élèves maîtrisaient vraiment mal ces factorisations avec les identités remarquables et c’est pourtant une notion essentielle dans les calculs de lycée. Alors je te dis à tout de suite pour visionner cette vidéo !

Factorisation avec les identités remarquables : la méthode

Alors je vais te délivrer la méthode pour factoriser une expression grâce aux identités remarquables mais d’abord est-ce que tu pourrais me rappeler les 3 identités remarquables ? Tu devrais être capable de les écrire sans hésitation sur une feuille de papier. Si tu vois que tu hésites il va falloir vraiment les apprendre par coeur, c’est essentiel.

Rappel des 3 identités remarquables

Alors voici pour la 1ère identité remarquable : elle nous dit que (a + b) au carré = a carré + 2ab + b carré.
Pour la 2ème identité remarquable, on a la version soustraction : (a – b) au carré = a carré – 2ab +b carré.
Enfin la 3ème identité remarquable, c’est en gros une combinaison des 2 premières : (a + b) facteur de (a – b) et cela va nous donner a carré – b carré.
Voilà observe les bien, retiens les surtout.

Factoriser avec une identité remarquable : comment on fait ?

Qu’est-ce que ça veut dire factoriser avec une identité remarquable ? Hé bien tu dois savoir dans un 1er temps que quand tu passes de la gauche à la droite, tu développes l’expression c’est-à-dire que tu transformes ce produit (un carré ça veut dire fois lui même), tu transformes ce produit en somme.
Quand tu fais l’action contraire, hé bien en fait tu factorises c’est-à-dire que tu transformes une somme en produit. Donc nous, comme on veut factoriser avec des identités remarquables, ce qui va nous intéresser c’est de détecter une expression soit de cette forme là, soit de cette forme là, soit de cette forme là et grâce aux formules des identités remarquables on va pouvoir factoriser ces expressions. On regarde ça tout de suite sur un premier exemple !

Factoriser avec la 1ère identité remarquable

Tout d’abord je vais t’expliquer comment factoriser une expression avec la 1ère identité remarquable (je l’ai écrite ici mais à l’envers de ce que tu écris d’habitude puisque je veux factoriser et non pas développer).
Traitons un 1er exemple dans lequel il faut factoriser l’expression que j’ai noté A(x) = 9x carré + 12 x + 4. Qu’est-ce qu’on va faire concrètement ? Hé bien il va falloir que cette expression A(x) tu vois qu’elle est de cette forme là. Hé bien allons y, on doit d’abord avoir un nombre a au carré. Qu’est-ce que je vais mettre ici au carré pour que ça me fasse 9x au carré ? Hé bien j’espère que tu es d’accord que si je met 3x le tout au carré cela me fait 9x carré. Qu’est-ce que ça veut dire ? ça veut dire que ce que j’ai appelé a ici, ça sera 3x.
Je continue le travail : j’ai ensuite le terme +12x. Ce terme +12x il va falloir que je vois qu’il est de la forme 2ab c’est-à-dire +2 fois a fois b sauf que a je l’ai, c’est 3x donc je dois avoir 2 fois 3x fois un nombre b qui doit me faire 12x sauf que ici j’ai déjà 6x donc j’ai pas beaucoup le choix il va falloir que je fasse fois 2 pour que cela me fasse bien +12x et donc tu vois bien que le nombre b que je cherche, ici ça serait 2. Alors on va voir si la fin coïncide bien. A la fin j’ai un terme qui est b au carré c’est-à-dire 2 au carré. Hé bien oui puisque tu vois que j’ai +4 et 2 au carré ça fait bien 4 donc moralité mon expression est bien sous cette forme là et je vais pouvoir donc appliquer la formule de la première identité remarquable qui me dit que c’est égal à (a + b) le tout au carré. Alors il suffit juste de remplacer a par 3x et b par 2. Voilà donc mon expression A(x) a été factorisé en (3x + 2) le tout au carré. C’est comme cela que l’on procède pour factoriser une expression avec la 1ère identité remarquable.

Factoriser avec la 2ème identité remarquable

Maintenant factorisons une expression avec la 2ème identité remarquable que j’ai écrite ici. On me demande de factoriser l’expression B(x) = 16x carré – 40x + 25 et je vais procéder exactement de la même manière que pour la 1ère identité remarquable c’est-à-dire que cette expression B(x) je vais la mettre sous cette forme là.
Donc ça commence tout d’abord par a qui est au carré donc qu’est-ce que je vais mettre ici pour que ça fasse 16x carré ? Est-ce que tu es d’accord que 4x quand je le mets au carré ça fait bien 16x carré ? Donc mon a ici est bien 4x.
Ensuite j’ai bien un moins et ce nombre 40x il va falloir que je le mette sous la forme 2 x a (c’est-à-dire ici 4x) x b. Alors ici 2 x 4x ça fait 8x donc pour avoir 40x j’ai pas le choix, il va falloir que je fasse fois 5. Cela sous entendrait que mon nombre b = 5. On va vérifier la cohérence de cela avec le dernier terme ici qui est 25; est-ce que je peux le mettre sous la forme b au carré c’est-à-dire (comme b vaut 5) 5 au carré ? Hé bien oui 5 au carré ça fait bien 25. Moralité mon expression elle est bien sous la forme a carré – 2ab + b carré, je peux donc appliquer la 2ème identité remarquable pour factoriser donc ça sera égal à (a – b) le tout au carré. Je vais donc remplacer a par 4x et b par 5 et donc mon expression B(x) s’écrira sous forme factorisé (4x – 5) le tout au carré.

Factoriser avec la 3ème identité remarquable

Alors le plus compliqué ça va être de factoriser avec la 3ème identité remarquable. Pourquoi je dis que c’est le plus compliqué ? Hé bien tout simplement car les élèves ne voient pas qu’il faut le faire ! Alors je vais t’expliquer comment le voir : la 3ème identité remarquable nous dit que a carré – b carré = (a + b) x (a – b) donc pour pouvoir factoriser une expression avec la 3ème identité remarquable, tu dois absolument avoir une différence de 2 carrés.
Par exemple dans l’exemple 3, il faut factoriser l’expression C(x) = 81 – 4x carré. Alors est-ce que tu vois comme moi qu’il s’agit d’un carré moins un autre carré ? 81 c’est 9 au carré et 4x au carré ça sera 2x qui sera au carré donc qu’est-ce que je vois ? Je vois exactement que cette expression est de la forme a carré – b carré avec a qui vaut 9 et b qui vaut 2x. Moralité : je vais pouvoir appliquer la 3ème identité remarquable qui me dit que c’est égal à (a + b) x (a – b) donc j’ai plus qu’à remplacer a par 9 et b par 2x. Finalement mon expression C(x) va se factoriser sous la forme (9 + 2x) fois (9 – 2x). Est-ce que tu as compris cette factorisation ?

Alors voyons si tu as compris avec un 4ème et dernier exemple dans lequel il faut factoriser l’expression D(x) = (6 – x) au carré – (3x + 2) au carré. Observe bien cette expression D(x), est-ce que, comme moi, (il faut vraiment habituer ton oeil à voir ça) tu vois que c’est une différence de 2 carrés ?
Si tu le vois hé bien on va écrire la formule a carré – b carré = (a + b) (a – b) donc ici on a bien a au carré moins b au carré donc il suffit d’appliquer cette formule là. Alors je te conseille de mettre des crochets pour faire a (6 – x) + b (3x + 2) en conservant leurs parenthèses facteur de la même chose avec une soustraction c’est-à-dire ( 6 – x) – (3x + 2) en gardant leurs parenthèses. Alors ensuite dans chacun de ces crochets, je vais enlever les petites parenthèses tout simplement en regardant le signe qui se trouve devant chaque parenthèse.
Alors on y va ! Ici (6 – x) j’ai aucun signe devant donc c’est comme si que c’était un + (il va me permettre d’enlever les parenthèses naturellement). Ici pour (3x + 2) j’ai un signe + devant donc j’enlève les parenthèses naturellement. Ici (6 – x) même chose y’a rien devant donc je peux enlever les parenthèses et ici (3x + 2) j’ai un signe – devant donc je vais changer tous les signes à l’intérieur de la petite parenthèse, cela va me donner -3x – 2. Voilà et il nous ne reste plus qu’à réduire chacune de ces parenthèses : alors -x + 3x ici ça nous fait 2x, 6 + 2 ça nous fait +8. -x – 3x ça nous donne -4x, +6 – 2 ça nous donne +4. Voilà comment on procède pour factoriser une différence de deux carrés, il faut vraiment que tu y penses !

Alors l’expression D(x) obtenue précédemment, hé bien figure toi qu’on peut la factoriser encore davantage et donc, pour aller plus loin, je vais t’expliquer comment factoriser D(x) au maximum. Ce que tu vas faire, c’est que tu vas prendre chacun de ces 2 facteurs séparément et tu vas essayer de factoriser chacun de ces deux facteurs en essayant de voir un facteur commun. Donc ici dans (2x + 8), tu vois bien la somme de deux termes. Est-ce que dans ces 2 termes on a pas un facteur commun ? Pour mieux le voir, je vais l’écrire sous la forme (2x + 8 qui vaut en fait 2 x 4). Ici (-4x + 4) pour le moment je le conserve.
Est-ce que tu es d’accord que, dans ce 1er facteur, j’ai le nombre 2 qui est un facteur commun ? Si tu es d’accord, on va factoriser par 2 donc je vais avoir 2 facteur de ce qu’il reste et il va me rester x + 4. Ensuite ici j’ai une multiplication et je vais procéder exactement de la même manière avec (-4x + 4). Donc tu vois bien une somme, est-ce que dans chacun de ces 2 termes on aurait un facteur commun ? Oui on a le nombre 4 ici sauf qu’il ne faut pas oublier que le 4 à la fin il est fois 1 (c’est le coup du 1 invisible) donc si je choisis de mettre 4 en facteur, dans la parenthèse je vais recopier ce qu’il reste, il va rester ce -, x +ce 1 donc en facteur on aura (-x +1).
Voilà et comme ici j’ai une multiplication de 4 facteurs, hé bien on peut commuter l’ordre des facteurs et donc je peux faire 2 x 4, ça va me faire 8 facteur de (x + 4) facteur de (-x +1). Voilà comment on peut factoriser D(x) au maximum.

Factorisation d’une expression : le mot de la fin !

Hé bien c’est la fin de cette vidéo sur la factorisation : j’espère que t’aura permis de mettre les choses au clair puisque cette notion est fondamentale dans les calculs au lycée. Je t’invite pour t’entrainer à télécharger la feuille d’exercices qui est juste en bas de la vidéo et n’hésite pas à vérifier tes réponses avec le corrigé que tu peux télécharger gratuitement également.
Voilà je te remercie de visionner cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très bientôt pour une prochaine vidéo, salut !