EQUATION LOGARITHMIQUE ln a = ln b – Partie 1

Bienvenue sur bossethemaths.com, je suis Corinne Huet et dans cette video, je vais t’apprendre à résoudre une équation logarithmique c’est-à-dire une équation du type ln a=ln b , donc si tu es un élève en terminale S ou ES, bienvenue, tu es au bon endroit !

Des rappels sur le logarithme népérien

Avant toute chose, tu dois savoir que ln est défini sur]0 ; +∞[ donc on peut calculer ln x si et seulement si x>0.
A ce moment là si je prends a>0 et b>0, à quelle condition aura-t on ln a= ln b ?
On aura ceci si et seulement si a=b.

Si tu as ln a = ln b, il suffit d’appliquer la fonction exponentielle sur cette égalité (si tu ne l’as pas encore vue, tu la verras très bientôt en cours), et à ce moment-là l’exponentielle va annuler le logarithme, ce qui va nous donner que a=b.

Réciproquement, si a=b, leurs logarithmes sont égaux.

Cette relation est fondamentale pour pouvoir résoudre des équations logarithmiques. On va voir ça tout de suite.

Exemple 1 d’équation logarithmique

Exemple1 : résoudre l’équation ln(-2x²-4x+6)=ln(3-5x).
Cette équation est de type ln a= ln b.
Pour pouvoir résoudre ce type d’équation, il y a 3 étapes
1/ Trouver l’ensemble de définition D.
On a dit tout à l’heure que le fonction ln était définie sur]0 ; +∞[, sur les nombres strictement positifs, donc ici comme j’ai ln(-2x²-4x+6)=ln(3-5x) il faut que le nombre a donc (-2x²-4x+6) est strictement positif et b donc (3-5x) soit aussi strictement positif .
Donc on va d’abord traiter le cas de l’expression a c’est-à-dire du trinôme -2x ²-4x+6 : alors quand est-ce que ce trinôme est strictement positif , donc pour le savoir il faut calculer ces racines :
Le discriminant de ce trinôme Δ=64 ou on peut calculer ces racines :
X1= 1 et x2 = -3
Alors à ce moment-là je peux faire un petit tableau de signe pour avoir le signe de mon trinôme, donc dans la premiere colonne j’ai les x qui sont dans R , et dans la deuxième ligne de mon tableau , je vais pouvoir mettre mon trinôme (-2x²-4x+6) , avec ces racines je sais que ce trinôme vaut 0 en -3 et 1 donc quand x vaut -3 , je peux mettre un 0 et quand x vaut 1 est ègale à 0, maintenant comment est-ce que je complète les signes de ce trinome. Je sais que mon trinome est du signe de a qui est le coefficient devant x² donc ici le (a = -2), donc mon trinome est du signe de a c’est-à-dire moins partout sauf entre ces racines , donc en fait mon trinome -2x²-4x+6 est strictement positif lorsque x €]-3 ; 1[ donc ca c’était pour le trinome a.
Maintenant il va aussi falloir que l’expression b c’est-à-dire 3 – 5x soit strictement positive donc je vais résoudre cette petite inequation : 3-5x>0<=>3>5x donc pour isoler x il suffit que
<=>3/5>x
<=>x€]-∞ ; 3/5[.
Pour conclure et donner l’ensemble de définition de mon équation D, il faut que je regroupe les 2 choses que je viens de faire , je dois prendre tous les x qui sont dans l’intervalle ]-3 ; 1[ et tous les x qui sont dans ]-3 ; 3/5[, donc pour cela on peut faire une petite droite , avec sur cette droite donc notre première intervalle -3 et 1 que je peux mettre d’une couleur et d’une autre couleur je peux mettre l’intervalle ]-∞ ; 3/5[ ou 3/5 c’est un nombre qui vaut 0,6 donc qui se situe à peu près ici et donc l’intervalle nous donnerait cet intervalle rouge et l’ensemble de definition est constitué de tous les x qui sont dans l’intervalle rouge et dans l’intervalle vert en même temps donc je me positionne ici sur cette partie donc ça va me donner l’intervalle D=]-3 ; 3/5[
Si je trouve des solutions qui ne sont pas dans cet ensemble de définition, je vais les exclure.
Passons maintenant à la deuxième étape qui consiste à résoudre l’équation.
2/ Résolution de l’équation, alors en sachant que l’on travaille dans cet ensemble de définition D
ln (-2x ²-4x+6)= ln (3-5x)
C’est de type ln a= ln b alors on c’est que c’est equivalent à a =b c’est-à-dire
-2x ²-4x+6= 3-5x donc en gros tu as juste enlever le ln ensuite tu te retrouves avec cette equation en regroupant les x
-2x ²-4x+6= 3-5x <=> -2x ²-4x+6- 3+5x =0 <=>-2x+x+3= 0 donc ici j’ai un trinôme egale à 0 donc il faut que je trouve ses racines .
Apres calcul on trouve que Δ=25 et ce trinome a donc 2 racines que j’ai calculé et que j’ai trouvé
x1= 3/2 et x2= -1.
Passons maintenant à la 3 ème étape qui va consister à conclure c’est-à-dire à donner l’ensemble de solution de notre équation .
3/ Conclusion
Pour cela on a trouvé 2 solutions à l’équation x1= 3/2 et x2= -1 donc il va falloir trouver que ces solutions appartiennent à l’ensemble de solution D que l’on avait obtenu dans la premiere etape

3/2 n’appartient pas à D pourquoi ? on a dit toute à l’heure que 3/5 c’était 0,6 donc le nombre 1,5 est bien après; 3/2 n’appartient pas à D en revanche -1 c’est bien un nombre compris entre -3 , 0,6 donc il appartient à D.
Conclusion : donc ʃ= {-1}.

Alors il faut que tu sois bien conscient que si tu n’avais pas fait la première étape, si tu n’avais pas trouvé l’ensemble de définition de l’équation, tu m’aurais dit que l’ensemble des solutions était constitué des solutions 3/2 et -1 et tu aurais donc commis une erreur, donc il faut bien faire la première étape dans ce genre d’équation logarithmique du type lna=lnb.

Exemple 2 d’équation logarithmique

Exemple2 : résoudre l’équation ln (4x+5)= 0.
On procède en 3 étapes
1/ l’ensemble de définition D
4x+5>0 c’est-à-dire 4x>-5 c’est-à-dire x>-5/4
Donc D=]-5/4 ; +∞ [
2/ résolution de l’équation
ln (4x+5)=0 on a appris à résoudre l’équation du type lna = lnb
Donc ln (4x+5)= ln 1 on a maintenant un type lna = lnb, après on enlevé les ln et ça va nous donner
4x+5= 1 c’est une petite équation que l’on peut résoudre directement et ça va nous donner
4x= -4 et ça va donner x= -1
3/ conclusion
Je dois vérifier si la solution obtenue ici -1 appartient à l’intervalle de définition D
-1 € D , donc il faut voir que le nombre -5/4 est égale au nombre -1,25 dont -1 au-dessus donc -1 € D
Donc S= {-1}, alors attention si tu avais trouvé une solution qui n’était pas dans l’ensemble D alors l’ensemble S serait l’ensemble vide.

Conclusion de la vidéo#1 sur les équations logarithmiques

Félicitations tu sais maintenant résoudre une équation logarithmique de type ln a = ln b. Si tu veux t’entrainer, n’hésite pas à télécharger la feuille d’exercices qui est juste en-dessous de cette vidéo et n’hésite pas non plus à vérifier tes réponses par le corrigé.

Je t’invite aussi à voir la deuxieme partie de cette vidéo qui concerne encore une fois ce type d’équation logarithmique mais cette fois–ci en faisant intervenir le nombre e c’est-à-dire l’exponentielle de 1 , alors à tout de suite sur bossetesmaths.com.

EQUATION LOGARITHMIQUE ln a = ln b – Partie 2

Bonjour et bienvenue sur bossethemaths.com , je t’explique dans cette nouvelle vidéo sur les équations logarithmique.

Comment résoudre une équation du type ln a= ln b mais un peu plus compliqué que dans la vidéo précédente donc si tu es courageux tu es encore une fois au bon endroit !

Exercice : résoudre l’équation logarithmique ln(6-3x)=ln(x/4e)

Le challenge est de réussir l’exercice suivant.

Résoudre l’équation ln (6-3x)= 1+ln (x/4e) où e est l’exponentielle de 1, si tu n’as pas encore vu le chapitre sur l’exponentielle , reviens voir cette vidéo un petit peu plus tard , sinon essaie de résoudre toute seule cette équation et repasse la vidéo dans 5 minutes quand tu l’auras terminé.

1/ Ensemble de définition D

Alors tout d’abord, comme on a ln (6-3x) , alors il faut que l’expression dans le ln c’est-à-dire

6-3x >0 donc on résout cette inéquation et cela va nous donner 6>3x qui nous donne

6/3>x et on se retrouve avec x<2 c’est-à-dire x € ]-∞ ; 2[.

Alors ensuite ici on a ln(x/4e), il va falloir que l’expression qui est dans le ln c’est-à-dire

x/4e >0 donc on résout cette inéquation pour trouver x , alors on peut mettre le 4e dans le nombre de droite en multipliant par  4e et cela va nous donner x>0 c’est-à-dire

x €] 0 ; +∞ [  .

Finalement quel est l’ensemble de définition de notre équation ? Ce sont tous les x<2 et >0. Tu peux faire une droite graduée, mettre ces 2 intervalles et voir leur intersection, en tout cas j’espère que tu es d’accord que D =] 0 ; 2 [.

2/ Résolution de l’équation

ln (6-3x)= 1+ln (x/4e)

Dans ce type d’équation logarithmique, il faut toujours se ramener à ln a= ln b puisque tu sais que ce sera équivalent à a=b.

ln (6-3x) = ln e+ ln (x/4e)

Il nous faut un ln du côté gauche et un ln du côté droit

ln (6-3x)=  et on a ln (a x b) =ln a+ ln b

Donc on peut avoir ln (6-3x) = ln (e x x/4e)

ln (6- 3x)= ln x/4

Et là on la forme ln a= ln b

On va pouvoir enlever les ln ce qui va faire

6-3x= x/4

On va tout multiplier par 4 à gauche, cela va donner

24- 12x= x

24= 12x+ x

24= 13 x

x= 24/13

3/ Conclusion

Il suffit de vérifier si notre nombre x appartient à l’ensemble de définition

x= 24/13= 1,840

24/13 € D donc S = {24/13}.

Conclusion de la vidéo#2 sur les équations logarithmiques

Hé bien j’espère que tu as compris l’exercice que je t’ai proposé dans cette vidéo.

Si tu veux t’entraîner, surtout n’hésite pas à télécharger la feuille d’exercices qui est juste en-dessous de la vidéo et vérifie tes réponses puisque je t’ai également mis le corrigé en téléchargement.

Je te remercie d’avoir visionnée cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très bientôt !