Equation cartésienne d’une droite [Vidéo](Seconde)

Salut à toi et bienvenue ! Ici Corinne Huet du site bossetesmaths.com
Dans cette nouvelle vidéo, nous allons étudier la notion d’équation cartésienne d’une droite : c’est une notion que tu vois en 1ère S et dans cette vidéo nous allons faire le lien entre équation réduite d’une droite (que tu as dû voir en seconde) et équation cartésienne d’une droite que l’on voit en 1ère S et on fera le lien également entre coefficient directeur d’une droite vu en Seconde et un vecteur directeur d’une droite vu en 1ère S. Je te dis à tout de suite !

Commençons par quelques rappels sur les équations de droite : tout d’abord, je vais te rappeler ce que c’est l’équation réduite d’une droite; je vais donc me placer dans un repère du plan O i j et on va distinguer 2 types de droites.
– On a tout d’abord les droites verticales comme cette droite rose. Les droites verticales ont comme équation réduite une équation de type x = k ou k est une constante. Alors ici sur mon exemple, k ça sera cet abscisse donc ça veut dire que tous les points qui seront sur cette droite verticale ont leur x, leur abscisse qui est égal à k. Tu es d’accord ?
– Le 2ème type de droite à considérer, ce sont toutes les autres droites donc c’est ce que je vais appeler les droites obliques. Hé bien une droite oblique aura pour équation une équation réduite de type y = mx + p donc ça veut dire que si je prend n’importe quel point sur cette droite oblique, hé bien ses coordonnées x et y vont vérifier cette équation réduite y = mx + p.
Alors tu dois savoir que dans cette relation, le coefficient petit m c’est ce qu’on appelle le coefficient directeur de la droite oblique. Alors si tu dois le calculer, en général on prend 2 points que j’appelle A et B sur cette droite oblique (alors tu les prends de manière à ce que tu puisses lire leurs coordonnées) et à ce moment là le coefficient directeur petit m il est donné par la formule suivante : yb – ya / xb – xa. C’est une formule que tu as du voir en seconde.
Ensuite le coefficient petit p, il s’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite considérée. Qu’est-ce que ça signifie ? Il porte bien son nom : tu te places ici à l’origine, tu vois ici l’axe des ordonnées et tu vas lire l’ordonnée de ta droite, donc ici tu peux lire le coefficient petit p.

Parlons à présent des équations cartésiennes d’une droite : pour cela je me place encore dans un repère O i j en blanc et en fait j’affirme que toute droite de ce plan, qu’elle soit oblique ou verticale, toute droite aura une équation de cette forme là: ax + by + c = 0. Alors dans cette équation a, b et c sont des nombres réels avec a et b qui ne sont pas nuls en même temps c’est-à-dire que si b vaut 0, a ne vaudra pas 0 ou le contraire. Alors qu’est-ce que ça signifie que n’importe quelle droite, par exemple celle-ci, a une équation de cette forme ? Hé bien ça signifie que si tu prends n’importe quel point sur cette droite de coordonnées (x;y) et bien ces coordonnées vont vérifier cette équation. Alors ce genre d’équation s’appelle une équation cartésienne de la droite mais en fait il faut savoir que cette équation cartésienne n’est pas unique. Par exemple si je prends comme équation cartésienne 4x – y + 3 = 0 donc tu vois bien les coefficients a, b et c ici. a vaut 4, b vaut -1, c vaut 3. Imagine maintenant que tu multiplies cette équation par n’importe quel nombre, on va dire par exemple par 2 donc tous tes coefficients vont se multiplier par 2 et tu vas obtenir donc 8x – 2y + 6 = 0 et c’est encore une équation cartésienne de la même droite. Donc tu vois j’ai une infinité d’équations cartésienne, il suffit d’en avoir 1 et de la multiplier par n’importe quel nombre réel, ça t’en donne une autre.

Alors ensuite il y a la notion de vecteur directeur que tu dois comprendre. Imaginons que je prenne cette droite AB et bien un vecteur directeur, que je note u, de cette droite AB c’est en fait un vecteur non nul qui est colinéaire au vecteur AB. Tu as ici le vecteur AB, hé bien un vecteur directeur ça sera un vecteur qui sera colinéaire à ce vecteur voir même égal donc on comprend bien qu’un tel vecteur dirige la droite AB. C’est pour ça que ça s’appelle un vecteur directeur.
Alors quel est le lien entre équation cartésienne et vecteur directeur d’une droite ? Hé bien regarde, si tu prends la droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0, hé bien elle aura pour vecteur directeur le vecteur u de coordonnées (-b;a) ou a c’est en fait le a qui est devant le x dans l’équation et ici tu as -b ou b c’est le coefficient ici devant y. Donc voici un vecteur directeur de cette droite d’équation cartésienne. C’est comme ça que tu peux faire le lien entre équation cartésienne et vecteur directeur.

Voyons maintenant le lien entre l’équation réduite d’une droite et une équation cartésienne de cette même droite. Alors je te rappelle que quand on a une droite dans un repère O i j du plan, une équation cartésienne est de le forme ax + by + c = 0. Alors imaginons dans un 1er temps que la droite que l’on considère est une droite verticale donc son équation réduite est de la forme x = k. Si tu veux avoir une équation cartésienne tu regroupes tout : ce qui te donne x – k = 0 donc tu vois le lien avec ce type d’équation : on n’a pas de coefficient en y cela signifie donc que le coefficient b est égal à 0. Ensuite au niveau d’un vecteur directeur, ici j’ai ma droite verticale, est-ce que tu es d’accord si je prends ce vecteur u hé bien c’est un vecteur directeur de cette droite. Hé bien ce vecteur u il a pour coordonnées (0;1) donc dans le cas d’une droite verticale, le vecteur de coordonnées (0;1) est un vecteur directeur de la droite.
Alors maintenant si on considère une droite oblique, tu sais qu’une droite oblique a une équation réduite de la forme y = mx + p. Alors si je rassemble tout du même coté du signe égal par exemple si je fais mx – y + p = 0. Voici une équation cartésienne de cette droite oblique. Et tu sais qu’un vecteur directeur aura pour coordonnées (-b;a) donc ici le b vaut -1 donc ici ça vaudra 1, ici le a il vaut m donc un vecteur directeur u de cette droite oblique aura pour coordonnées (1;m).

Voici un exercice récapitulatif dans lequel on nous donne un tableau avec un point A, un point B, le coefficient directeur m de la droite(AB), un vecteur directeur u de la droite (AB), l’équation réduite de la droite (AB) et enfin l’équation cartésienne de la droite (AB). On nous donne 5 droites avec certains paramètres et nous devons compléter les paramètres restants.
Commençons par la 1ère droite d1 qui est donnée par les points A et B. Comment est-ce que je vais calculer le coefficient directeur de cette droite (AB) ? Hé bien tu sais que m = yb – ya / xb – xa. Tu remplaces xb vaut -17 – (-1) sur xb qui vaut -5 – xa qui vaut 3. Finalement -17 + 1 ça me fait -16 au numérateur, -5 – 3 ça fait -8 au dénominateur, moins et moins plus, 16 / 8 c’est égal à 2. Je complète mon tableau.
Ensuite on cherche un vecteur directeur u de cette droite (AB), et là tu sais que si le coefficient directeur m vaut 2, un vecteur directeur u a pour coordonnées (1;m) donc ici ça va me donner les coordonnées (1;2) pour le vecteur u.
Ensuite si on cherche l’équation réduite de la droite (AB), hé bien tu sais que son équation est de la forme y = mx + p et ici on connait m donc on a y = 2x + p. Comment je vais trouver p ? Hé bien je vais prendre par exemple le point A et je vais dire qu’il appartient à la droite d1 donc s’il appartient à la droite d1, dans son équation réduite j’ai le droit de remplacer x et y par xa et ya. Cela va me donner ya = 2xa + p. On va remplacer xa, ya par leurs coordonnées donc ya ça vaut -1 c’est égal à 2 fois xa qui vaut 3 + p et on résous cette petite équation, cela me donne -1 – 6 = p soit p = -7. Donc finalement la droite d1 aura pour équation réduite y = 2x – 7 que je reporte dans mon tableau.
Enfin pour avoir une équation cartésienne de cette droite (AB), il suffit à partir de l’équation réduite de faire apparaître égal 0 donc par exemple je vais mettre y dans le membre de droite, cela va donc me donner 2x – y – 7 = 0 et ceci est une équation cartésienne de la droite d1 que je reporte dans le tableau comme ceci. Est-ce que tu as compris ?

On poursuit avec la droite d2 qui est donnée par un point A et un vecteur directeur u de coordonnées (-3;-2). Alors on sait que si on a une équation cartésienne de type ax + by + c = 0, un vecteur directeur u aura pour coordonnées (-b;a) donc ici on peut considérer que le nombre -3 ici c’est -b et on peut considérer que le nombre -2 c’est a. Donc finalement on a a = -2 et -b = -3 donc b =3. Finalement la droite d2, si on remplace a et b par ces valeurs, aura pour équation cartésienne -2x + 3y + c = 0 donc il reste à déterminer le nombre petit c et on va tout simplement utiliser le fait que le point A appartient à la droite d2 donc ses coordonnées vérifient cette équation. On va donc avoir -2xa + 3ya + c = 0. On remplace xa et ya par leurs valeurs donc on a -2 fois 0 + 3 fois (-4) + c = 0. On résous cette équation, ici -2 fois 0 ça fait 0, + 3 fois -4 ça nous fait -12 + c = 0 et finalement c =12. Donc finalement la droite d2 aura pour équation cartésienne -2x + 3y + 12 = 0 que je reporte dans mon tableau. Donc avec l’équation cartésienne on peut obtenir l’équation réduite tout simplement en isolant y dans cette équation donc tout d’abord on peut dire que 3y = 2x -12 ensuite on va tout diviser par 3 donc y = (2x -12) / 3 et on essaie de simplifier cela; cela va me faire 2/3x -12 / 3 qui est égal à 4, voici l’équation réduite de la droite d2 que je reporte ici. Donc à partir de là tu peux voir que le coefficient directeur m de la droite d2 est égal à 2/3 donc on le reporte dans le tableau et enfin on veut un point B qui soit sur cette droite d2 et bien par exemple si je prends x = 3 dans cette équation, hé bien y sera égal à 2/3 fois 3 – 4, ici 3 sur 3 ça s’annule donc y = 2 – 4 donc y = -2. Donc on aura un point B de coordonnées x=3 et y=-2 que je reporte dans le tableau.

On poursuit avec la droite d3, elle est donnée par le A et le coefficient directeur de sa droite donc m =-4 donc on peut dire que la droite d3 a pour équation réduite y = mx + p c’est-à-dire y = -4x + p. Pour trouver p, comme d’habitude on va utiliser le fait que le point A appartient à la droite d3 donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite d3. On a ya= -4xa + p, comme d’habitude on remplace xa et ya par les coordonnées du point A ce qui nous donne -6 = -4 fois 2 + p c’est-à-dire -6 = -8 + p c’est-à-dire -6 + 8 = p donc p = 2. Donc la droite d3 a pour équation réduite y = -4x + p c’est-à-dire -4x + 2, on le reporte donc ici dans le tableau.
Alors on peut en déduire une équation cartésienne regroupant tout par exemple 4x + y -2 = 0 est une équation cartésienne de cette droite et je le reporte dans le tableau ici.
Ensuite ici, un vecteur directeur de la droite (AB) est de la forme (1;m) donc ici m vaut -4 donc il peut avoir comme coordonnées par exemple les coordonnées (1;-4). Enfin pour trouver un point B sur cette droite, il suffit par exemple que je prenne on va dire x = 0 dans cette équation et alors y sera égal à -4 fois 0 + 2 c’est-à-dire 0 +2 donc y = 2 donc un point B sur cette droite a pour coordonnées B(0;2) et je remplis mon tableau ici.
On poursuit avec la droite d4 qui est juste donnée par une équation cartésienne 6x – 2y + 3 = 0 alors pour avoir son équation réduite il va falloir isoler y. Hé bien faisons-le; dans un 1er temps je vais avoir 6x + 3 = 2y, je vais tout diviser par 2 ce qui va me donner y = (6x + 3) / 2 et en simplifiant y = 3x + (3 / 2 ). Voici l’équation réduite de cette droite d4. Donc on voit tout de suite que son coefficient directeur petit m est égal à 3 donc on peut le reporter ici dans le tableau. Du coup un vecteur directeur u de cette droite est de la forme (1;3) pour coordonnées et enfin je dois trouver 2 points sur cette droite donc par exemple si je regarde l’équation réduite ici et que je prends x = 0, hé bien alors x sera égal à 3 fois 0 + (3/2) c’est-à-dire 0 + (3/2) c’est-à-dire 3/2 et donc j’ai un point A sur cette droite qui a pour coordonnées (0;3/2). C’est pour le 1er point donc je reporte dans le tableau.
Ensuite si je veux un 2ème point B sur cette droite, je peux prendre par exemple x = 2 dans cette équation réduite, et alors y = 3 fois 2 + (3/2) c’est-à-dire 6 + (3/2). On met tout sur 2 donc (12/2) + (3/2) et finalement y sera égal à 15/2 donc on a un point B de coordonnée 2 et 15/2 et je remplis ici mon tableau pour le point B et voici la droite d4.

On termine avec la droite d5 qui est donnée par son équation réduite y = -2 + 3. Alors tu peux voir ici son coefficient directeur petit m qui est -2 et donc un vecteur directeur u aura pour coordonnées (1;m) c’est-à-dire (1;-2). Ensuite, si tu veux avoir une équation cartésienne tu regroupes tout : on va avoir par exemple 2x + y – 3 = 0 comme équation cartésienne de cette droite. Enfin comme précédemment je veux 2 points sur cette droite donc je commence par prendre une valeur de x par exemple si x = 0 et que je reporte ici dans l’équation réduite cela va me faire y = -2 fois 0 + 3 donc y = 3 et donc j’ai un 1er point A sur cette droite qui a pour coordonnées (0;3). Ensuite si je veux un deuxième point B, je vais prendre une 2ème valeur de x par exemple -2 et je vais remplacer dans l’équation réduite de cette droite alors y = -2 fois (-2) + 3 c’est-à-dire 4 + 3 c’est-à-dire 7 donc j’ai un 2ème point B qui aura pour coordonnées (-2;7) sur cette droite et je complète mon tableau.

Alors ce tableau est à présent complété et j’espère que tu as compris toutes les étapes pour le compléter. Je t’invite pour t’entrainer à télécharger la feuille d’exercices qui est juste après la vidéo et de voir le corrigé une fois que tu auras cherché pour voir tes erreurs et éventuellement t’amélioré. Alors cette vidéo est à présent terminée, je te remercie de l’avoir suivi et t’en félicite en tout cas. Je te dis à très bientôt sur bossetesmaths.com pour une prochaine vidéo, salut !