ENSEMBLE DE DEFINITION D’UNE FONCTION

Bonjour et bienvenue sur bossetesmaths.com , je suis Corinne Huet et dans cette vidéo je vais t’expliquer comment obtenir l’ensemble de définition d’une fonction .

Alors tu vois souvent dans les exercices les énoncés suivants : soit f la fonction définie sur tel ensemble par quelque chose, alors moi je vais t’expliquer ce « défini sur tel ensemble », c’est-à-dire ce qu’on appelle l’ensemble de définition d’une fonction.

L’ensemble de définition d’une fonction, c’est quoi ?

D’abord on va répondre à la question suivante c’est quoi l’ensemble de définition d’une fonction f ?
Donc c’est l’ensemble des nombres réels x tels que f(x) existe. On va voir différents cas pour essayer de comprendre cette définition.

Ensemble de définition d’une fonction donnée par sa courbe

• 1er cas ou la fonction est donnée par sa courbe, par exemple tu as ici la courbe d’une fonction f dans un repère du plan cette courbe je la note Cf, et on demande de déterminer l’ensemble de définition de f.

Alors tu sais que l’ensemble de définition de f c’est l’ensemble des nombres réels x que tu lis ici sur l’axe des abscisses tel que f(x) existe alors quand est ce que f(x) existe ? Alors f(x) existe quand on a une courbe , donc ici notre courbe va commencer à x =-4 et se termine à x=2 donc pour toutes les valeurs de x qui sont comprises entre -4 et 2 donc on a une nombre f(x) qui existe car on a une courbe. Donc ici je peux dire que l’ensemble de définition de f, que je vais noter Df= [ -4 ;2 ].

Ensemble de définition d’une fonction f donnée par une expression f(x)=…

Maintenant regardons le deuxième cas : c’est le cas où la fonction est donnée par une formule f(x) = …. en fonction de x.

1er exemple : f(x)=x²-5

• Exemple 1 : f(x) = x²-5 est ce qu’on pourrait déterminer l’ensemble de définition de cette fonction f qui est donnée par cette formule ? Donc l’ensemble de définition de f c’est l’ensemble de tous les nombres x qui font que f(x) existe c’est-à-dire qui font que x²-5 existe.

Alors si tu remplaces x ici par n’importe quel nombre réel, que ce soit -1, 40, 2, 0, -19, tu pourras toujours le mettre au carré et soustraire 5. Donc, en fait, ce que je suis en train de te dire, c’est que f(x) existe pour n’importe quel nombre réel x.

Donc ici tout bêtement, l’ensemble de définition de f, c’est l’ensemble de tous les nombres réels, c’est R tout entier.

2ème exemple : f(x)=(1-4x)/(3x+1)

Exemple2 : f(x) = (1-4x)/(3x+1).

On cherche à déterminer son ensemble de définition , alors comme ici on a un quotient on va pouvoir dire que f(x) est bien définie pour toutes les valeurs de x où tu ne divises pas par 0, parce que tu as un quotient; or tu sais que diviser par 0 est interdit donc ici f(x) sera bien définie si

3 x+1≠0 donc il faut trouver tous les nombres réels x de telle sorte que 3 x+1≠0, alors tu fais comme si tu résous une équation 3x≠-1 qui fait que x≠-1/3
Donc Df = R privé de {-1/3} ou ]-∞ ; -1/3[Ʋ] -1/3 ; +∞[.

3ème exemple : f(x)=racine carrée de (2x-6)

Exemple3 : f(x)= √(2x-6).

Quand est ce que f(x) est bien définie ?
On peur calculer une racine carré à la seule condition que, ce qui est dans ta racine carrée est positif; dd’accord ? tu ne peux pas faire la racine carrée de -10 par exemple.

Donc on va dire que notre expression f(x) est bien définie si et seulement si ce qui est dans la racine, c’est-à-dire 2x-6≥0
<=> 2x≥6
<=> x≥3
donc Df = [3 ; +∞[.

4ème exemple : f(x)=2x/racine carrée de (1-4x).

Exemple4 : f(x)=2x/√1-4x, alors attention ici on a une double difficulté : le quotient et la racine.

f(x) est bien définie si et seulement si
1-4x≥0 et 1-4x≠0
<=> 1-4x>0
Donc tu résous cette équation pour trouver les x
-4x>-1
<=> x<-1/-4
<=> x<1/4
donc Df=]-∞ ; ¼[.

Exemple 5 : f(x)=racine carrée de (4x²+1)/(x²-9)

Exemple5 : f(x)= √(4x²+1)/(x²-9).

f(x) est bien définie si
4x²+1≥0 et x²-9≠0
X²≠9 , comment le résoudre ?
x≠3 et x≠-3
Donc Df = R privé de {3 ; -3} on peut l’écrire aussi sous forme d’intervalle ]-∞ ; -3[ Ʋ ]-3 ; 3[Ʋ ]3 ; +∞[.

Conclusion de la vidéo : ensemble de définition d’une fonction

Alors voilà, cette vidéo sur l’ensemble de définition d’une fonction est terminée. J’espère qu’elle t’a servi.
Alors tu verras en première et en terminale que parfois quand on veut l’ensemble de définition d’une fonction on peut faire un tableau de signes.

Alors je t’invite à télécharger la feuille d’exercices juste en-dessous de la vidéo pour t’exercer que tu sois en seconde, en première ou en terminale pour t’exercer à trouver l’ensemble de définition d’une fonction quel qu’elle soit . Et n’hésite pas à télécharger son corrigé pour vérifier tes réponses. Je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossethemaths.com. A très bientôt !