Cercle trigonométrique [Vidéo] (Première)

Salut à toi et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet.
Dans cette nouvelle vidéo, nous allons étudier le cercle trigonométrique : c’est la 1ère chose que l’on étudie en trigonométrie au lycée donc je vais t’expliquer ce qu’est le cercle trigonométrique puis comment associer à n’importe quel nombre réel un point sur ce cercle trigonométrique. Enfin nous allons voir ou placer les points qui sont associés à certains nombres réels tels que pi / 2, pi / 3, pi / 4, pi / 6, je te dis à tout de suite !

Tout d’abord tu dois comprendre le principe fondamental de l’enroulement de la droite numérique autour du cercle trigonométrique. On va préciser toutes ces notions tout de suite, on va d’abord se placer dans un repère orthonormé du plan que j’ai noté OIj, donc ici tu vois l’origine du repère et ici les points I et J qui symbolisent les unités sur chacun des 2 axes.
Le cercle trigonométrique est bien en fait il s’agit du cercle de centre O et de rayon 1 mais attention il doit être orienté positivement c’est-à-dire que je vais mettre ici un sens positif qui sera le sens contraire des aiguilles d’une montre. Ce sens positif s’appelle aussi le sens direct et donc dans le sens négatif, on dira qu’on est dans le sens indirect.

Alors maintenant quel est le principe d’enroulement de la droite numérique autour du cercle trigonométrique ? Tu vois ici une droite graduée, dans ta tête dis toi qu’il s’agit d’une ficelle graduée qui est fixée ici au point I qui est son origine. Et qu’est-ce que tu vas faire de cette ficelle ? Hé bien tu vas l’enrouler autour du cercle soit dans le sens positif, soit dans le sens négatif.
Donc imaginons que tu enroules la demi-droite des réels positifs dans le sens direct ou bien que tu enroules la demi-droite des réels négatifs dans le sens indirect, est-ce que tu es d’accord que n’importe quel nombre réel t va se positionner, va coïncider avec un unique point sur le cercle. Ce point s’appelle l’image du nombre réel t sur le cercle trigonométrique.

La question qui se pose naturellement c’est quel nombre réel associé à quel point sur le cercle ou réciproquement quel point sur le cercle associé à quel nombre de la droite réelle ? Pour le savoir, il faut revenir au périmètre du cercle. Le périmètre d’un cercle est donné par la formule 2pi X rayon sauf qu’ici comme il s’agit du cercle trigonométrique le rayon est égal à 1 et donc le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2pi X 1 c’est-à-dire 2pi donc finalement le périmètre du demi-cercle est bien ça sera la moitié, ça sera 2pi / 2 finalement c’est égal à pi donc ça veut dire que la longueur de ce demi-cercle est égale à pi. Or tu sais que pi c’est un nombre qui vaut environ 3,14 donc si je le place sur ma droite graduée il se situe à peu prés ici. Donc si j’enroule cette droite graduée dans le sens positif, hé bien la longueur que j’aurai parcouru jusqu’au point I’ ça sera le périmètre du demi-cercle c’est-à-dire une longueur de pi donc le nombre pi va coïncider avec le point I’ ici sur le cercle.

Si tu as compris le principe, regardons ce qu’il se passe pour le nombre -pi c’est-à-dire -3,14 environ; il se situe ici sur la droite des réels et maintenant enroulons la demi-droite des réels négatifs dans le sens indirect comme ceci. Alors on va parcourir tout le demi-cercle avec une longueur toujours égale à pi et donc le nombre -pi va aussi se superposer au point I’ ici.
Que se passe t’il maintenant si on regarde le nombre pi / 2. 3,14 / 2 ça vaut environ 1,57 donc ça va se situer à peu prés ici sur la droite des réels. Alors tout le demi-cercle ici a une longueur de pi donc si je prend la moitié, ce quart de cercle ici aura une longueur de pi / 2 et donc le nombre pi / 2 va se positionner ici sur le cercle au point J. Si l’on regarde -pi / 2 qui vaut environ -1,57, si tu as compris le principe, il va se superposer ici avec le point J’ et si j’enroule la demi-droite des réels négatifs dans le sens indirect. Est-ce que tu as compris tout ça ?

Alors tu dois comprendre le principe fondamental suivant : si je prend un nombre réel t sur la ficelle et que j’enroule la ficelle autour du cercle, on a dit qu’il coïncidait à ce nombre réel t une unique image, un unique point M sur le cercle trigonométrique. Mais imagine que je continue d’enrouler ma ficelle autour du cercle d’une longueur égale au périmètre du cercle c’est-à-dire d’une longueur de 2pi donc que je le fasse dans le sens positif ou dans le sens négatif, et que je le fasse une fois, dix fois ou vingt fois ou un nombre entier de fois, est-ce que tu es d’accord que je retombe sur le même point M ?
Par exemple, le nombre t qui est ici, si je lui enlève 2pi il se trouve ici sur la droite des réels et ce nombre t – 2pi et bien il va encore se superposer au même point M sur le cercle donc qu’est-ce que ça veut dire ? Hé bien à un unique point M sur le cercle est associé une infinité de nombre réels qui vont être de la forme t + k X 2pi avec k étant un entier positif ou négatif c’est-à-dire appartenant à grand Z. Qu’est-ce que ça veut dire ? Si le nombre t est fixé, hé bien si j’ajoute un nombre entier de tours complets de cercle ou si je soustrais un nombre entier de tours complets du cercle trigonométrique, hé bien je retombe sur le même point sur le cercle trigonométrique.

Alors maintenant, suivant les principes qu’on a évoqué précédemment, je vais t’apprendre à compter sur le cercle trigonométrique donc ici je l’ai dessiné, je l’ai un peu agrandi donc l’unité ici est à 4cm du point O et donc je vais te montrer ou placer les images des nombres pi / 4, pi / 3 et pi / 6 sur le cercle trigonométrique donc tu imagines toujours que j’ai une ficelle graduée ici avec comme origine le point I et que je l’enroule sur le cercle trigonométrique. Mais à présent, on ne fait que l’imaginer cette ficelle, il faut arrêter de la dessiner et juste imaginer les choses.

Donc je vais d’abord te demander de placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux nombre réels suivant : alors ici on a la série avec les pi / 4, ici la série avec pi / 3 et ici la série avec pi / 6. Alors tu vois que j’ai fais un certain nombre de traits sur ce cercle trigonométrique et je vais t’expliquer comment. Tout d’abord il faut avoir tes repères habituels : repère habituel ça veut dire qu’ici, à priori, le point I est associé au nombre réel 0 sur la droite des réels, sur la ficelle. Ici le point I’ lui est associé au nombre pi, le point J est associé à pi / 2 et le point J’ à -pi / 2 donc ça ce sont tes repères.

Ce qui m’intéresse maintenant c’est de placer le point associé à pi / 4, c’est très simple ici on va de 0 jusqu’à pi / 2 donc pi / 4 c’est la moitié donc qu’est-ce que j’ai fais ? J’ai dessiné ici en vert la bissectrice de l’angle OIJ qui coupe l’angle droit en deux et donc là ou je croise le cercle ça correspondra à pi / 4. Tu imagines que sur ta ficelle, je l’enroule sur le cercle positivement et donc le point associé à pi / 4 se trouve ici sur le cercle. Pour -pi / 4 c’est le même procédé : ta ficelle tu l’enroules cette fois dans le sens négatif et tu te rends compte que -pi / 4 il se trouve ici. Bon c’est le symétrique de pi / 4 suivant l’axe des abscisses.

Comment faire maintenant pour placer 2pi / 4 ? Il faut compter ! Ici, de là à là, j’ai parcouru une longueur de pi / 4 donc de là à là j’ai rajouté une 2ème longueur pi / 4 ce qui me fait 2pi / 4 et effectivement 2pi / 4 si tu simplifies cette fraction par 2, tu trouves que c’est égal à pi / 2. Je continue mon compte, je rajoute une longueur de pi / 4 et je me retrouve ici à 3pi / 4, voilà et si je continue le procédé ici c’est 4pi / 4 c’est bien égal à pi.

Ensuite pour placer -3pi / 4, tu fais la même chose dans le sens négatif : – une fois pi / 4, – deux fois pi / 4, – trois fois pi / 4, on se retrouve ici sur le cercle. Enfin pour 5pi / 4, je rajoute une fois pi / 4 ça nous fait 4pi / 4, je rajoute encore une fois pi / 4 ça nous fait 5pi / 4, tiens je me rend compte que 5pi / 4 il tombe sur le même point que -3pi / 4 donc je vais dire que ces 2 nombres sont égaux modulo 2pi ce qui signifie que si je prend -3 / 4 et que j’ajoute ou que je soustrais un multiple de 2pi, hé bien ça va me donner 5pi / 4. La preuve : je fais -3pi / 4 et que je lui ajoute 2pi, en mettant au même dénominateur 2pi ça me ferait 8 pi / 4, je garde tout sur 4 et 8 pi – 3 pi je tombe bien sur 5 pi / 4.

Voyons maintenant comment placer pi / 3 sur le cercle trigonométrique : toujours pareil, ici on va de 0 jusqu’a pi donc pour avoir pi / 3 il faudrait couper ce demi-cercle en 3 parties égales; hé bien, cela correspond au demi-arc de cercle que j’ai fais en bleu ici. J’ai piqué mon compas au point I, j’ai fais un rayon de longueur OI et j’ai tracé cet arc de cercle. Même chose ici : j’ai placé mon compas en I’, j’ai pris un rayon de OI’ et j’ai tracé cet arc de cercle ici. Donc tu vois que ce demi-cercle a été coupé en 3 parties égales : la 1ère partie correspond à pi / 3 ici sur le cercle, je lui rajoute une longueur de pi / 3 et je me retrouve ici à 2pi / 3. Si je procède dans le sens négatif, je vais avoir ici le point associé à -pi / 3 et ici le point associé à -2pi / 3. Que se passe t’il si je souhaite le point associé à 4pi / 3 ? Hé bien je compte 0, une fois pi / 3, deux fois pi / 3, trois fois pi / 3 et 4 fois pi / 3 donc je vais écrire comme tout à l’heure que 4pi / 3 = -2pi / 3 modulo 2 pi puisque je tombe sur le même point sur le cercle trigonométrique.
Et pour -4pi / 3, je compte dans le sens négatif 0, -1 fois pi / 3, -2 fois pi / 3, -3 fois pi / 3 et ici -4 fois pi / 3 et bien je vais dire qu’il est égal à 2pi / 3 modulo 2pi.

Enfin voyons ou placer pi / 6 sur le cercle trigonométrique : par le même principe ici on a 0 ici on a pi donc pour avoir pi / 6 il faudrait couper notre demi-cercle en 6 parties égales. Comment est-ce que j’ai procédé ? Hé bien avec mon compas j’ai piqué au point J, j’ai pris un rayon de longueur OJ et j’ai fais ce demi-arc rose ici. Sur le demi-cercle du bas, j’ai fais la même chose en piquant sur J’ et donc j’ai construis ce demi-cercle rose. Donc ici la 1ère partie elle correspond au nombre pi / 6, tu poursuis tu rajoutes pi / 6 ici tu vas avoir 2pi /6 et en simplifiant par 2, tu retombes bien sur pi / 3. Dans le sens négatif, ici on 0 donc ici on a le point associé à -pi / 6. Comment placer 5pi /6 ? Alors ici j’avais 2pi /6, 3pi / 6, 4pi /6, 5pi / 6 se trouve donc ici, ici j’ai 6 pi / 6 ça correspond bien à pi et dans le sens négatif -5pi / 6 se trouvera ici sur le cercle. Pour -3pi / 6 et bien je compte -pi / 6, -2pi / 6 et -3pi / 6 ici correspond au point J’ et si tu simplifies la fraction par 3, tu retombes sur -pi / 2.

Voilà je viens de te livrer la méthode pour placer tes fractions de pi sur le cercle trigonométrique. Tout d’abord, tu mets tes nombres de références 0, pi / 2, pi, -pi / 2, tu peux tracer les bissectrices ici pour avoir des fractions de pi / 4, tu peux tracer ici les demi-arcs bleus pour avoir les fractions de pi / 3 et les demi arcs roses pour avoir les fractions de pi / 6.

Hé bien c’est la fin de la vidéo dédiée à la trigonométrie, j’espère que maintenant tu sais placer les points associés à des réels connus sur le cercle trigonométrique, des réels tels que 0, pi, pi / 2, pi / 4, pi / 3, pi / 6. Très bientôt, je vais te proposer une nouvelle vidéo dans laquelle on parlera du cosinus et du sinus de ces nombres et ensuite nous parlerons d’angle orienté. Je te dis donc à une très prochaine fois sur bossetesmaths.com, salut !