Les vecteurs – constructions [Vidéo](Seconde)

Salut à toi et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet.
Alors voici une nouvelle vidéo qui concerne les vecteurs donc je vais t’expliquer ici comment on construit, dans un quadrillage, une somme de vecteurs ou un produit de vecteurs par un nombre réel donc si tu as des problèmes de construction de vecteurs c’est le moment de regarder cette vidéo. Je te dis à tout de suite !

Alors d’abord comment fait-on pour additionner 2 vecteurs ? Hé bien on va utiliser la fameuse relation de Chasles. Je vais t’expliquer ça maintenant alors regarde.
Ici tu as un vecteur u et un vecteur v, ce que j’aimerais avoir c’est le vecteur somme u+v. Concrètement comment ça va se passer ? Comment je vais faire ça ? Hé bien retiens bien cette règle : je vais mettre les vecteurs l’un derrière l’autre pour pouvoir les additionner alors regarde.
Je vais faire en sorte que le vecteur u soit égal à un vecteur AB, alors comment ? Hé bien le vecteur u, pour en faire un vecteur égal, je fais un vecteur qui a la même directeur c’est-à-dire parallèle, le même sens et la même norme c’est-à-dire la même longueur et donc je vais faire en sorte qu’il soit égal au vecteur AB.
Ensuite, en ce qui concerne le vecteur v je vais faire en sorte qu’il suit le vecteur AB c’est-à-dire qu’il soit égal à un vecteur BC. Tu vois bien que ça se suit car le vecteur u se termine par la lettre B et le vecteur v, lui, commence par la lettre B. Ici j’ai mon vecteur v et bien je vais le mettre ici à partir du point B à la suite du vecteur u.
Attention je le reporte de telle sorte que ce soit un vecteur qui lui soit égal donc, dans la même direction, c’est-à-dire parallèle, dans le même sens de la flèche et de même norme c’est-à-dire de même longueur. Donc voici ici mon vecteur v, il est bien égal au vecteur BC.
Donc pour pouvoir faire le vecteur somme u+v, hé bien en fait si tu remplaces u par AB et v par BC finalement c’est égal à AB+BC et la relation de Chasles elle te dit que si les 2 vecteurs se suivent bien ici hé bien le point B finalement on peut le faire disparaitre et ce sera égal au vecteur AC donc ici sur la figure AB+BC, u+v, hé ben en fait ce sera ce vecteur AC.
Voilà c’est comme ça que l’on construit une somme de 2 vecteurs: tu les mets l’un à la suite de l’autre et le vecteur somme partira du point de départ au point d’arrivé.

Alors maintenant je vais t’expliquer comment on fait pour multiplier un vecteur u par un nombre k, un nombre réel, donc pour avoir le vecteur k fois u.
Alors la règle d’or, c’est que le vecteur u et le vecteur k fois u, ils ont la même direction. Qu’est-ce que ça signifie ? Hé bien ça signifie que, si tu considères la droite qui porte le vecteur u et si tu veux, par exemple, construire le vecteur 3u, hé bien tu pourras construire une droite parallèle à la première droite et pour construire le vecteur 3u et bien tu reportes 3 fois ton vecteur u. Donc une fois, deux fois, trois fois donc tu vois que c’est des vecteurs qui ont le même sens et la même norme : on parle de norme pour les vecteurs mais ça veut dire la même longueur en fait. Et donc ici en rouge le grand vecteur qui est là c’est le vecteur 3u.
Si tu considères maintenant, le vecteur -2u comment est-ce que tu vas le construire ? Hé bien tu dois avoir la même direction que le vecteur u donc tu dois construire une droite parallèle.
Alors comme tu as -2 fois le vecteur u et ben tu vas reporter le vecteur u si tu veux mais dans le sens contraire donc ici tu vois j’ai moins le vecteur u c’est-à-dire que la flèche va dans le sens contraire du vecteur u.
Et comme tu le veux -2 fois, ben tu le fais 2 fois. Voilà et le vecteur -2u c’est tout ce vecteur que j’ai dessiné ici en rose.
On poursuit l’étude : maintenant je voudrais faire le vecteur 4 tiers de u donc encore une fois il est de la forme k fois u donc il aura la même direction que le vecteur u donc je peux faire une droite parallèle comme ceci. Alors, je reporte mon vecteur u qui est là et je voudrai en faire 4 tiers donc ça veut dire que ton vecteur u tu vas le couper en 3 tiers. Tu vois 3 tiers ça fait une unité donc ça fait tout mon vecteur u.
Donc mon vecteur u est composé de 3 tiers et moi comme j’ai envie d’avoir 4 tiers, hé bien je rajoute encore un tiers c’est-dire une partie sur 3 et finalement le vecteur 4 tiers de u c’est ce vecteur ici en jaune. Voilà comment on procède pour tracer un vecteur de type k fois un vecteur u.

On va maintenant traiter un premier exercice dans lequel il faut maintenant construire des vecteurs à partir de 2 vecteurs u et v, que tu vois ici sur la figure, et 3 points A, B, C.
Alors ce je te propose c’est de mettre ta vidéo sur pause et d’essayer de faire toi même l’exercice puis de vérifier ta réponse en relançant la lecture. Alors je te dis à tout de suite !
Alors on nous demande de laisser les tracés intermédiaires en pointillé donc ça tu le feras toujours dans un exercice de construction de vecteurs : tous tes tracés intermédiaires tu les feras en pointillé pour que ton professeur comprenne par quel chemin tu es passé et donc on nous demande de construire les points M, N, P et Q qui vérifient ces relations vectorielles.
Alors on va regarder d’abord le petit a, on veut tracer le point M qui vérifie AM=u+v, alors si tu as le vecteur AM ton point de départ c’est forcément le point A. Qu’est-ce que tu vas faire ? Hé bien, tu vas d’abord à partir du point A placer le vecteur u. Alors tu regardes, tu comptes les carreaux, ton vecteur u est ici donc tu vas faire quoi ? 2 carreaux en descendant et 3 carreaux vers la droite alors à partir du point A ça va me faire 2 carreaux en descendant et 3 carreaux vers la droite donc je vais arriver ici, voici mon premier trajet.
Je me retrouve ici et à partir de ce nouveau point, puisque tu fais une somme de vecteurs et je t’ai dis que pour additionner des vecteurs ils doivent se suivre, tu vas construire le vecteur v qui se trouve ici. Alors le vecteur v lui, si tu comptes les carreaux, ça fait 2 vers la gauche, 4 en montant donc si je le reporte à partir de ce point ça fait 2 vers la gauche et 4 en montant. Je me retrouve ici donc mon trajet intermédiaire le voici. Et finalement le point d’arrivé c’est le point M que l’on recherche.
On poursuit maintenant avec le point N qui vérifie CN=v-u. Alors comme tu as le vecteur CN ton point de départ maintenant est le point C. Qu’est-ce que tu dois faire à partir du point C ? Hé bien, tu dois d’abord tracer le vecteur v qui est ici donc on a dit 2 vers la gauche, 4 en montant donc je me retrouve ici et je trace mon vecteur v. Voilà je me retrouve en ce point et à partir de ce point, je vais faire suivre du vecteur -u. Qu’est-ce que c’est le vecteur –u ? Tu vois ton vecteur u, il fait 2 carreaux en descendant, 3 carreaux vers la droite. Le vecteur -u ce sera exactement le même vecteur, tu vois je le dessine là sauf que le sens de la flèche a changé, il va dans l’autre sens donc voilà le vecteur -u ce que c’est.
Donc qu’est-ce qu’il va faire le vecteur -u si tu pars d’ici ? 3 carreaux à gauche et 2 en montant donc j’y vais à partir de mon point ici: 3 carreaux à gauche, 2 en montant. Je me retrouve ici et je trace mon vecteur -u. Finalement mon point d’arrivé c’est le point N que l’on recherchait.

On continue avec la question c dans laquelle il faut placer le point P qui vérifie BP=-3u. Alors tu as deviné de quel point je vais partir ? Il s’agit bien du point P et je dois faire le vecteur -3u. Alors qu’est-ce que c’est le vecteur -3u? Hé bien c’est -u -u -u, 3 fois. En sachant qu’ici tu as le vecteur -u qui fait 3 carreaux à gauche et 2 en montant donc c’est simple à partir du point B on va le faire 3 fois.
Donc voici une première fois, voici une deuxième fois mon vecteur -u 3 carreaux à gauche et 2 en montant et voici une troisième fois mon vecteur -u et le point d’arrivé c’est le point P que l’on recherchait.

Alors on termine avec la question d, il faut placer le point Q qui vérifie CQ=2u+3demi de v. Alors tu ne te décourages pas, déjà tu es bien d’accord que le point de départ est le point C puisqu’il faut tracer le vecteur CQ. Donc on fait 2 fois le vecteur u pour commencer. Le vecteur u il est ici et il fait 2 carreaux en descendant et 3 carreaux à droite, hé bien à partir du point C je le fais 2 fois. Donc voici une première fois le vecteur u et voici une deuxième fois le vecteur u.
Voilà j’ai fais 2u et je me retrouve ici. Ensuite je dois faire suivre du vecteur 3 demi de v. Alors comment est-ce qu’on fait 3 demi de v ? Tu regardes ici ton vecteur v et tu vas le couper en demi, alors en demi ça veut dire à la moitié alors ici j’ai un demi, ici j’ai deux demi.
Alors tu te doutes bien que pour faire 3 demi, je rajoute encore une fois un demi. Alors voici comment je procède: ici tu as le vecteur 1 demi de v qui fait un carreau à gauche, 2 en montant. Alors c’est ce que je vais faire : ici je suis à ce point là donc 1 carreau à gauche, 2 en montant je me retrouve ici. Voici une fois un demi de v, et je dois faire 3 demi donc je le fais 3 fois. Voilà je viens de faire 3 demi du vecteur v et le point d’arrivé c’est le point Q, que l’on devait placer.
Voilà j’espère que tu as bien compris cet exercice, on y va pour un deuxième exercice.

Voici l’exercice numéro 2, il s’agit de construire des vecteurs à partir de 4 points A, B, C et D. Donc ici je ne pars pas de deux vecteurs u, v, je vais partir de ces 4 points. Alors comme tout à l’heure je t’invite à mettre la vidéo sur pause pour pouvoir faire l’exercice tout seul et ensuite tu relances pour pouvoir voir mon corrigé. A tout de suite !
Alors comme tout à l’heure, en laissant les tracés en pointillé tu dois construire les points E, F, G et H qui sont définis par ces relations vectorielles.
On va commencer par la question a, il faut construire le point E tel que vecteur AE=BD+CB. Alors avant d’y aller, demandes toi si tu ne peux pas appliquer la relation de Chasles en changeant l’ordre de cette somme c’est-à-dire en écrivant que c’est égal à CB+BD. T’es d’accord hein ? J’ai juste changé l’ordre dans cette somme et CB+BD et bien tu vois bien qu’ici la lettre B elle se suit donc je peux l’éliminer grâce à la relation de Chasles et donc ça me fait le vecteur CD tout simplement.
Donc ou placer le point E ? Tu pars du point A et tu reportes les vecteur CD, le vecteur CD est ici et fait 4 carreaux en descendant et un carreau à droite. Hé bien je compte 4 carreaux en descendant et un carreau à droite, je me retrouve ici, je fais mon tracé intermédiaire en pointillé et hop l’arrivée c’est le point E.

Question b: on va placer le point F tel que DF=CD+AB. Alors là si tu changes l’ordre, on ne pourra pas appliquer la relation de Chasles car on n’aura pas 2 points qui se suivent comme ici.
Alors on se retrousse les manches et on y va, donc on va partir évidemment du point D, qui est notre point de départ, et on va commencer par reporter le vecteur CD. On vient de le faire, on a dit que le vecteur CD c’était 4 carreaux en descendant et un carreau à droite mais il faut le faire à partir du point D donc je suis ici je descends de 4 carreaux, je fais un carreau à droite et donc voici le report de mon vecteur CD ici.
Je me retrouve en ce point, et je fais suivre du vecteur AB. Alors le vecteur AB se trouve ici, je compte 2 carreaux, 4 carreaux et bien j’y vais. Je me retrouve un petit peu en dehors, bon c’est pas grave. Voici le point d’arrivée qui est donc mon point F.

On continue avec la question c ou on doit placer le point G tel que CG=DB-AB. Alors ce que je peux te conseiller c’est de transformer les moins en plus de la manière suivante: ça fera DB+BA (tu interverties les lettres). Voilà bah au final, DB+BA d’après la relation de Chasles ça nous fera le vecteur DA.
Donc finalement le vecteur CG est égal au vecteur DA.
Alors le vecteur DA tu le vois ici: ça fait 10 carreaux à gauche et un carreau en montant sauf qu’il faut le faire à partir du point C.
Hé bien j’y vais: 2, 4, 6, 8, 10 et un en montant. Je me retrouve ici et je fais mon déplacement en pointillé: alors toi tu as une règle tu vas le faire mieux que moi et le point d’arrivé se situe ici, c’est notre point G.

On continue avec la question d: tu dois placer le point H tel que BH=-2BD. Donc comme tout à l’heure, quand tu as moins un vecteur hé bien tu transformes ça en +2DB en intervertissant l’ordre des lettres.
Voilà donc BH=2DB. Alors le point de départ c’est le point B et tu dois faire 2 fois le vecteur DB alors tu vois le vecteur DB il est comme ceci donc tu comptes ça fait 1 carreau en descendant et 6 carreaux à gauche. Donc tu vas du point B et tu le reportes 2 fois. Voici une première fois le vecteur DB: je suis ici et je le reporte une deuxième fois. Mon point d’arrivée c’est le point H que l’on recherchait.

Enfin la dernière question e, on doit placer le point I tel que DI=DC+1 demi de AB. Notre point de départ, tu es bien d’accord, c’est le point D ? On doit d’abord faire le vecteur DC. On est super bien placé pour faire le vecteur DC, il suffit d’aller jusqu’au point C tout bêtement.
Je me retrouve ici au point C, je dois faire suivre du vecteur 1 demi de AB. Alors regardes ici tu as le vecteur AB. Comment est-ce que tu vas faire 1 demi de ce vecteur ? Hé bien 1 demi c’est la moitié donc on va prendre, tout bêtement, ce vecteur là qui est un demi du vecteur AB c’est sa moitié.
Ce vecteur 1 demi de AB, tu dois le faire suivre à partir du point C. On y va, on va se retrouve ici puisque ça fait un carreau en descendant et 2 vers la droite donc on se retrouve en ce point qui est le point I que l’on recherchait.
Donc voilà un exercice très utile, j’espère que tu l’as compris et que tu pourras le refaire maintenant dans tes devoirs.

Hé bien voilà c’est la fin de cette vidéo sur les constructions de vecteurs. J’espère vraiment qu’elle t’aura éclairé sur cette notion et qu’à présent tu pourras construire les vecteurs dans un quadrillage sans problèmes.
Alors n’hésite pas à imprimer la feuille d’exercices qui est juste en bas de la vidéo pour t’exercer et à vérifier tes réponses grâce au corrigé.
Je te remercie en tout cas d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très, très bientôt.
Salut !