TAUX D’EVOLUTION (Première ES)

Taux d’évolution : Vidéo #1 : valeur après une évolution

Bonjour, et bienvenue sur le site bossetesmaths.com, ici Corine Huet.

Dans cette vidéo, je vais t’apprendre à calculer la valeur d’une quantité qui a évolué d’un certain pourcentage, qu’il s’agisse d’une augmentation ou d’une diminution.

Exemple #1 : valeur après une augmentation

Voici notre premier exemple, il va s’agir du cas d’une augmentation, alors on lit ensemble.

Une montre coûte 65 euros hors taxe, quel est son prix toute taxe comprise avec une TVA de 19,6%, c’est-à-dire lorsqu’on lui applique la taxe sur la valeur ajoutée qui vaut 19,6% ?

Alors, je ne sais pas si tu comprends bien mais, en fait notre montre au départ coûte 65 euros, son prix va augmenter de 19 ,6%, on lui applique la TVA et la question est : « quel est son prix final ? ».

Alors, tu dois savoir que lorsqu’une quantité évolue dans le temps, sa valeur finale sera égale à sa valeur initiale multipliée par le coefficient multiplicateur. Ici comme il s’agit d’une augmentation, et bien on va multiplier la valeur initiale par (1+t/100) puisque ici, on augmente notre valeur initiale avec un pourcentage t, donc concrètement ici, qu’est-ce que ça va nous donner ?

Hé bien la valeur finale de notre montre sera égale à la valeur initiale c’est-à-dire 65 euros fois 1 plus le pourcentage t qui vaut 19,6 sur 100 qui est le pourcentage d’augmentation. On calcule la parenthèse, 1 plus 19,6 divisé par 100 ça fait 1,196 et au final, le résultat est égale à 77,74.

Donc en conclusion, on peut dire que le prix de la montre toute taxe comprise est égale à 77,74 euros.

Exemple #2 : valeur après une diminution

Dans l’exemple 2, on va traiter le cas d’une diminution, alors en fait on a un jean qui coûte 85 euros, et pendant les soldes son prix baisse de 30%. La question est : « quel est son prix après cette réduction de 30% ?

Donc ici, contrairement à précédemment, on a un cas de diminution de prix et notre valeur finale sera égale à la valeur initiale multiplié par le coefficient multiplicateur, et ici, comme il diminue le prix d’un certain pourcentage t, hé bien on va multiplier par (1-t/100). Donc, pour notre jean, la valeur finale sera égale à la valeur initiale qui vaut 85 euros que l’on multiplie par 1 moins t qui est le pourcentage de diminution donc 30 sur 100, donc on calcule la parenthèse, (1-30/100) ça fait 0.7, et finalement c’est égal à 59,5.

Donc le prix du jean après la réduction de 30% est de 59 euros 50 centimes.

Conclusion de la vidéo sur la valeur finale d’une quantité après une évolution

Hé bien cette courte vidéo est à présent terminée, donc, maintenant lorsqu’une quantité évolue d’un certain pourcentage t, qu’il s’agisse d’une augmentation ou d’une diminution, tu sais calculer sa valeur finale.

Maintenant réfléchissons au contraire, si on connait sa valeur finale, est ce qu’on saurait retrouver sa valeur initiale ? Hé bien pour cela je t’invite à visionner la vidéo suivante.

Taux d’évolution : Vidéo #2 : valeur avant une évolution

Bonjour et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corine Huet.

Lorsqu’une quantité évolue dans le temps d’un certain pourcentage, qu’il s’agisse d’une augmentation ou bien d’une diminution, si on connait sa valeur finale, comment est ce qu’on va calculer sa valeur initiale ?Hé bien c’est l’objectif de cette vidéo.

Exemple #1 : valeur avant une augmentation

Je te propose pour commencer un premier exemple qui traite le cas d’une augmentation.

Alors le prix toutes taxes comprises d’un article s’élève à 179,40 euros avec une TVA de 19,6%. Alors qu’est ce que ça veut dire ? Ça veut dire qu’on a un article qui a une valeur initiale, on lui applique une TVA de 19,6%, donc sa valeur augmente de 19,6%, et sa valeur finale est alors de 179,40 euros. La question : « est quel est le prix hors taxe de cet article ? », c’est-à-dire quelle est sa valeur initiale ?

Alors, tu dois savoir que la valeur finale est égale à la valeur initiale multipliée par (1+t/100) lorsque cette quantité augmente d’un pourcentage t. Donc, appliquons cette formule à notre exemple, la valeur finale on la connaît, c’est 179,40. Elle est égale à la valeur initiale que l’on recherche c’est-à-dire le prix hors taxe que l’on va multiplier par (1+t/100). Ici, le pourcentage d’augmentation qui est 19,6, donc (1+19,6/100).

On cherche à trouver Vi, on va un petit peu simplifier cette équation, donc 179,40 qui est égale à Vi multipliée par cette parenthèse qui est égale à 1,196. Donc, finalement pour isoler Vi, et le mettre seul, il suffit de diviser par 1,196, donc Vi est égale à 179,40 divisé par 1,196. Donc, on peut prendre la calculatrice et cela va nous donner une valeur initiale égale à 1501, donc finalement le prix hors taxe c’est-à-dire avant l’application de la TVA de cet article est égale à 150 euros.

Exemple #2 : valeur avant une diminution

Dans le deuxième exemple, on va traiter le cas d’une diminution.

Alors le prix d’un objet a subi une réduction de 20%, donc on a une valeur initiale, elle a diminué de 20%, et l’objet coûte désormais 135 euros, donc sa valeur finale est de 135 euros. Quel était son prix avant la réduction ?

Alors ici on a la formule suivante : la valeur finale égale à la valeur initiale multiplié par (1-t/100) puisque notre objet subit une diminution de t%. On va appliquer cette formule à notre exemple ici. La valeur finale on la connaît c’est 135, ce sera égale à la valeur initiale que l’on recherche multiplié par 1 moins t notre pourcentage de diminution qui vaut 20 sur 100. On simplifie légèrement cette équation, dons 135 est égale à Vi multiplié par 1 moins 20 sur 100 donc ça fait 1 moins 0,2 ça fait 0,8 et finalement pour avoir Vi, il suffit de diviser par 0,8. Vi est égale à 135 divisé par 0,8 ce qui nous donne une valeur initiale égale à 168,75.

Donc pour conclure, on peut dire que le prix de l’objet avant la réduction était de 168,75 euros.

Conclusion de la vidéo sur la valeur initiale d’une quantité avant une évolution

Hé bien voilà, cette vidéo est à présent terminée. Donc désormais lorsqu’une quantité évolue d’un certain pourcentage et que tu connais sa valeur finale, tu sais calculer sa valeur initiale.

Alors maintenant on peut se demander si une quantité évolue et qu’on connaît sa valeur initiale et sa valeur finale, est ce qu’on saurait calculer le pourcentage d’évolution ? C’est l’objectif de la vidéo prochaine que je t’invite à regarder, alors à tout de suite sur bossetesmaths.com.

Taux d’évolution : Vidéo #3 : calculer un pourcentage d’évolution

Bonjour et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corine Huet.

Lorsqu’une quantité évolue d’un certain pourcentage, qu’il s’agisse d’une augmentation ou d’une diminution, si tu connais sa valeur initiale et sa valeur finale, comment faire pour calculer le pourcentage d’évolution ? Hé bien c’est ce que je vais t’apprendre à faire dans cette vidéo.

Exemple #1 : pourcentage d’augmentation

Je te propose un premier exemple qui traitera le cas d’une augmentation.

Donc on a une ville qui a sa population qui est passée de 50600 à 58190 habitants en 10 ans. Donc tu vois que sa population a augmenté, on nous demande le taux d’évolution de cette population sur ces 10 ans. Ici il s’agira bien évidemment d’un taux d’augmentation.

Alors ici on parle d’une valeur initiale, cette valeur initiale augmente d’un certain pourcentage t, pour atteindre une valeur finale. Finalement, on a la formule suivante, valeur finale égale valeur initiale que l’on augmente de t% c’est-à-dire que l’on va multiplier par (1+t/100). Qu’est ce que l’on cherche dans cet exercice ? On cherche le taux d’évolution ou le taux d’augmentation c’est-à-dire le nombre t. Donc qu’est ce qu’on va faire avec cette formule, et bien on va isoler t tout simplement.

Tout d’abord on va diviser par Vi, pour obtenir Vf sur Vi égale 1 plus t sur 100, ensuite on va faire moins 1. Donc Vf sur Vi moins 1, il nous restera t sur 100, égale t sur 100. Alors moins 1 on peut le mettre sur le même dénominateur ici on va voir Vf sur Vi moins Vi sur Vi est égale à t sur 100. Si on met au même dénominateur ici, on obtient donc t sur 100, qui sera égale à Vf moins Vi le tout sur Vi. Il nous suffit maintenant de multiplier par 100 pour obtenir t qui sera donc égale à Vf moins Vi le tout sur Vi fois 100. Voilà donc la formule qui va nous permettre de calculer notre pourcentage d’augmentation t. Peut être que tu l’as déjà vue ?

On peut appliquer maintenant cette formule à notre exemple, notre pourcentage d’augmentation t sera donc égal à la valeur finale c’est-à-dire 58190 moins la valeur initiale c’est-à-dire 50600 divisée par la valeur initiale c’est-à-dire 50600 et le tout multiplié par 100. La soustraction nous donnera 7590 divisé par 50600, multiplier le tout par 100. Le quotient ici nous donne 0,15 que l’on multiplie par 100 et finalement cela nous donne 15. Donc qu’est ce qu’on va pouvoir conclure ? On va pouvoir conclure que la population de cette ville sur ces 10ans a augmenté de 15%.

Exemple #2 : pourcentage de diminution

On va traiter maintenant le cas de diminution dans l’exemple 2.

Alors pendant les soldes un article va passer de 210 euros à 157,50euros, donc son prix a baissé, on nous demande le pourcentage d’évolution de cet article pendant les soldes c’est-à-dire le pourcentage de diminution, de réduction de cet article.

Pour traiter cet exercice, je vais utiliser la même formule que l’exemple précédent, c’est-à-dire t égale Vf moins Vi le tout sur Vi fois 100. Alors tu vas me dire oui mais cette formule là c’était quand on avait une augmentation, et là il s’agit d’une diminution. Alors fais-moi confiance, on va quand même le faire, et on va voir comment conclure à la fin.

Donc ici dans notre exemple, on va avoir t égale valeur finale c’est-à-dire 157,50 moins valeur initiale 210 le tout sur valeur initiale 210, je multiplie tout ça par 100. Ce qui va nous donner 157,50 moins 210 ça fait -52,5 divisé par 210 fois 100. Le quotient va nous donner -0,25 que l’on multiplie par 100 et finalement on va obtenir t égale -25. Ici on obtient un pourcentage t qui est négatif. Donc comment est ce qu’on va conclure ? On va dire que cet article pendant les soldes a baissé de 25%.

Conclusion de la vidéo sur le pourcentage d’évolution

Hé bien c’est la fin de cette vidéo sur les pourcentages d’évolution.

Je t’invite pour t’entraîner à télécharger la feuille d’exercices qui est juste en dessous de la vidéo. Tu vérifieras tes réponses également grâce à son corrigé.

Hé bien je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très bientôt, aurevoir !