Tangente à une courbe [Vidéo](Première)

Bonjour et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet. Je vais te présenter une nouvelle vidéo qui va te permettre d’étudier la tangente à une courbe donc dans cette vidéo tu vas savoir comment trouver l’équation d’une tangente quand tu as la courbe d’une fonction ou quand tu as l’expression de cette fonction. Je te dis à tout de suite !

Alors on va commencer par quelques rappels sur la notion de droite : alors tu imagines que tu as une droite (ici je l’ai noté d en rouge) dans un repère. Hé bien si ta droite est oblique, tu dois savoir qu’elle a une équation réduite qui est de la forme y = m x + p. Alors je vais m’expliquer un petit peu : ce que j’appelle m c’est le coefficient directeur de la droite d, ce que j’appelle p c’est l’ordonnée à l’origine de la droite d. Alors concrètement qu’est-ce que ça signifie au niveau de mon graphique ? Hé bien p on peut l’obtenir tout simplement en se mettant à l’origine et en regardant l’ordonnée (ici tu as l’axe des abscisses, ici tu as l’axe des ordonnées) hé bien si tu te mets à l’origine et que tu regardes l’ordonnée de ta droite ici tu obtiens le nombre p. Pour obtenir graphiquement le nombre m, le coefficient directeur de la droite, hé bien il te suffit de prendre 2 points sur ta droite (je vais les noter A et B par exemple) et à ce moment là ton point A on va dire que ses cordonnées sont notées xA et yA, ton point B ses coordonnées on va les noter xB et yB et pour obtenir graphiquement le coefficient directeur m de ta droite d, il suffit d’appliquer la formule suivante : yB – yA / xB – xA. Voilà donc tu remplaces tout simplement ces 4 nombres par leurs valeurs, tu réduis tout ça et tu obtiens donc le coefficient directeur de la droite d, que j’ai noté m ici.
Alors maintenant quel est le lien avec la notion de tangente ? Alors pour pouvoir parler de tangente, il faut que j’aie la courbe d’une fonction puisque je dirai toujours tangente à une courbe donc imagines que dans ce repère, j’ai la courbe d’une fonction f qui est dessinée comme ceci et ici au point A, hé bien la droite d je vais supposer qu’elle est tangente à la courbe de f et je vais dire que mon point A a pour abscisse petit a. Alors ce qui m’intéresse c’est d’avoir l’équation de cette tangente rouge que je vais noter T indice petit a pour dire tangente au point d’abscisse petit a (alors c’est facile hein, en fait petit a c’est juste l’initiale du mot abscisse). Hé bien il va falloir que tu apprennes cette formule par coeur : cette tangente Ta, qui est en rouge ici, a pour équation l’équation suivante : y = f’(a) (x – a) + f(a) ou je te rappelle encore une fois le nombre petit a c’est l’abscisse du point ou tu as la tangente.
Alors qu’est-ce qu’on peut reconnaitre dans cette formule ? Hé bien comme la tangente Ta est une droite, tu sais que le nombre m qui est devant x c’est le coefficient directeur de ta droite. Ici qu’est-ce qui est devant x ? Hé bien tu vois bien que c’est f’(a) donc qu’est-ce qu’on va pouvoir en déduire ? Hé bien on va pouvoir déduire que f’(a) est le coefficient directeur de quelle droite ? Hé bien de la tangente que j’ai noté Ta sur ma figure. Alors concrètement comment est-ce qu’on va procéder dans les exercices ? J’ai envie de te dire que ça dépend de ton type d’exercice. Si ton exercice est de type graphique et qu’on te demande l’équation d’une tangente hé bien tout d’abord tu écriras son expression grâce à cette formule ici puis tu remplaceras f’(a) et f(a) par ses valeurs. Mais comment est-ce que tu vas les obtenir ? Tu vas les obtenir graphiquement par exemple pour avoir f de a, ça se trouve tout bêtement ici sur l’axe des ordonnées donc tu vas remplacer f(a) par son expression et pour avoir f’(a) comme c’est le coefficient directeur de ta tangente, tu vas utiliser cette formule qui va te donner f’(a). Ensuite si ton exercice est de type calcul c’est-à-dire que tu n’as pas la courbe de la fonction f mais tu as l’expression de f de x, hé bien pour avoir f de a il suffira de remplacer x par a et pour avoir f’(a) il faudra dériver ta fonction f pour avoir f’(x) et ensuite tu remplaceras x par a. Voilà une fois que tu auras les valeurs de f(a) et de f’(a), tu les injectes ici dans ton équation, tu réduis tout ça et ça te donnera une équation réduite de cette forme là. On y va pour des exercices !

Voici un 1er exercice dans lequel on va se placer dans un repère et on a représenté la courbe Cf d’une fonction f ici et la tangente T au point A d’abscisse -2. Alors tu vois qu’aux extrémités de ma tangente j’ai des petites flèches c’est juste pour signifier qu’on a dessiné une tangente. La question est de déterminer f’(-2). Alors comme on s’est placé au point d’abscisse -2, d’après les rappels que j’ai fais précédemment on sait que f’(-2) est le coefficient directeur de la tangente. Alors de quelle tangente ? Hé bien si tu es ici au point A d’abscisse -2, il s’agit de la tangente T à la courbe Cf au point A d’abscisse -2. Alors comment concrètement je vais obtenir le coefficient directeur de cette tangente ? Hé bien on a dit précédemment qu’il s’agissait de prendre deux points A et B sur cette tangente. Hé bien je prend par exemple ces 2 points alors le point A ses coordonnées sont (-2;2), il appartient à la tangente T et le point B ses coordonnées sont (-3;0) et il appartient aussi la tangente T. Donc le coefficient directeur de cette tangente T qui est f’(-2) il sera donné par la formule: yB – yA / xB – xA et il suffit tout simplement de remplacer ces 4 nombres par leurs valeurs. Donc yb ça vaut 0 – ya qui vaut 2 sur xb qui vaut -3 – xa qui vaut -2. On calcule tout ça : 0 – 2 au numérateur ça fait -2. -3 – -2 ça fait -3 + 2 ça fait -1 et finalement quand on arrange ce quotient on obtient que f’(-2) est égal à 2. Voilà comment on détermine f’(-2) graphiquement.

Voici un 2ème exercice toujours graphique, on se place ici dans ce repère, on a représenté la courbe Cf d’une fonction f et 3 de ses tangentes donc tu les vois ici voici la 1ère tangente, la 2ème et la 3ème tangente ici. Première question : déterminer graphiquement f(2) et f’(2), f(0) et f’(0) et enfin f(-4) et f’(-4) et mettre les résultats dans ce tableau. Alors on va d’abord se concentrer sur le point d’abscisse 2 qui est ici le point A. Pour avoir f(2) il suffit tout simplement de lire son ordonnée. Alors sur l’axe des ordonnées, une petite graduation tu vois que ça fait 1 donc ici f(2) ça sera égal à 11 tout bêtement. Ensuite comment j’obtiens f’(2) ? Hé bien on l’a dit précédemment il suffit de prendre 2 points sur la tangente que j’ai noté T2 ici. Donc on peut prendre le point A de coordonnées (2;11), il appartient à la tangente T2. Et on peut prendre un 2ème point par exemple ici je vais appeler ce point D de coordonnées (1;4), il appartient également à la tangente T2 et à ce moment là f’(2) c’est le coefficient directeur de cette tangente T2 donc, par calcul, on a que f’(2) est égal à yD – yA / xD – xA. On remplace yd vaut 4 – yA qui vaut 11 sur xD qui vaut 1 – xA qui vaut 2 ensuite 4 – 11 ça vaut -7 / -1 et finalement tu vois que f’(2) = 7 donc je reporte le résultat ici dans le tableau.
Alors je vais te délivrer maintenant une petite astuce pour retrouver le résultat de f’(2) « en comptant les carreaux » donc comment est-ce que je fais pour avoir f’(2) le coefficient directeur de cette tangente ? Je prend mes 2 points A et D et je vais procéder à la même formule que précédemment les y sur les x. Donc pour aller de A à D, je vais d’abord me déplacer comme ceci suivant l’axe des y et ensuite comme ceci suivant l’axe des x. Alors si je compte mon déplacement suivant l’axe des y, je compte 7 unités vers le bas, ça me fait un déplacement de -7. Si je compte maintenant mon déplacement suivant l’axe des x, je fais une unité vers la gauche ça me fait un déplacement de -1. Et à ce moment là f’(2) ça sera le déplacement des y -7 sur le déplacement des x -1 et je retombe sur f’(2) = 7.
Alors on se place maintenant au point d’abscisse 0 qui est le point B qui est là; Alors tu peux lire directement ici sur l’axe des ordonnées que f(0) = 5. Quand est-il pour f’(0) ? Hé ben comme d’habitude f’(0) est le coefficient directeur de la tangente au point B qui est en fait la tangente T0. Or tu peux constater que T0 c’est une tangente qui est bien particulière puisqu’elle est horizontale. Dans ces cas là tu peux directement conclure que f’(0) ça vaut 0. Pour une droite horizontale, le coefficient directeur est nul donc f’(0) ici vaut 0.
Alors peut-être que pour faire l’équivalent de ce qu’on a fait au point d’abscisse -4, tu peux mettre la vidéo sur pause et le faire tout seul puis remettre la vidéo en lecture pour voir le corrigé. A tout de suite ! Alors au point d’abscisse -4 qui est ici le point C, hé bien tu peux lire que f(-4) son ordonnée vaut 5. Pour ce qui est de f’(-4), soit tu peux faire la méthode en comptant les carreaux : je prend le point C ici sur la tangente et je prend un 2ème point ici que j’appelle E et je vais faire un déplacement tout d’abord vertical et ensuite horizontal. Alors f’(-4) ça sera donc égal au déplacement vertical alors ici je me suis déplacée de 4 sur le déplacement horizontal, ici je me suis déplacée de 1 vers la droite et tu constates que f’(-4) ça vaut 4. C’était la méthode en comptant les carreaux. Sinon tu fais la méthode avec la formule, tu sais que f’(-4) c’est le coefficient directeur de la tangente T indice -4. Tu prends le point C qui a pour coordonnées (-4;5) sur cette tangente, tu prends le point E qui a pour coordonnées (-3;9) toujours sur cette tangente et donc son coefficient directeur f’(-4) sera donné par la formule : ye – yc / xe – xc. On remplace ça nous fait 9 – 5 / -3 – -4. Finalement on obtient 4 sur 1 et donc c’est bien égal à 4.

Alors on peut poursuivre maintenant avec la question 2 qui nous demande de déterminer les équations des tangentes T2, T0 et T-4 aux points A, B et C. Alors on va commencer par la tangente T2, comment je fais pour avoir son équation ? Hé bien d’abord je vais écrire la formule ça sera y = f’(2) (x – 2) + f(2). C’est la formule générale pour l’équation d’une tangente au point d’abscisse A qui vaut 2. Qu’est-ce que je fais maintenant ? Je vais utiliser les résultats de la question 1. Tu vois que f’(2) = 7 donc j’ai 7 (x – 2) + f(2) qui était égal à 11 ensuite je réduis tout ça j’obtiens 7x – 14 + 11 et enfin j’obtiens que l’équation de la tangente T2 c’est y = 7x – 3.
On procède de la même manière pour la tangente T0 au point d’abscisse 0. Elle aura donc pour équation y = f’(0) (x – 0) + f(0) et on remplace par les expressions obtenues à la question 1. Alors f’(0) on avait trouvé 0 fois x + f(0) qui valait 5. Et au final ma tangente T0 a pour équation y = 5 ce qui était assez évident car c’est une droite horizontale ici qui passe par ce point.
Enfin regardons l’équation de la tangente T indice -4 au point d’abscisse -4. Tu peux mettre la vidéo sur pause pour essayer de le faire toi même et voir le corrigé juste après. A tout de suite ! Alors la tangente T indice -4 aura pour équation générale y = f’(-4) (x – (-4)) + f(-4). On remplace f’(-4) valait 4 (x + 4) + f(-4) qui vaut 5. On développe y = 4x + 16 + 5 et finalement la tangente T indice -4 y = 4x + 21. Voilà j’espère que tu as compris cet exercice ?

Traitons à présent un 3ème et dernier exercice qui n’est plus un exercice graphique. On nous donne cette fois ci une fonction g qui est définie sur R par cette expression g(x) = -3x carré + 2x + 8. Il s’agit de déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe de g au point d’abscisse -2.
Comme d’habitude je vais noter cette tangente T indice -2 et je vais écrire la formule générale de son équation donc ça sera y = g’(-2) (x-(-2)) + g(-2) donc attention à bien t’adapter ici la fonction ne s’appelle plus f, elle s’appelle g. Ensuite qu’est-ce que je vais faire ? Tout simplement, il va falloir que je détermine g’(-2) et g(-2). Alors pour g(-2) c’est très simple, j’ai l’expression ici de g(x) et donc je remplace tous les x par -2; Cela va me faire -3 fois -2 qui est au carré + 2 fois (-2) + 8 ensuite ça nous fait -3 fois 4 – 4 + 8 finalement j’obtiens -12 – 4 + 8 ça va nous faire -8. Ensuite comment je vais obtenir g’(-2) ? Hé bien tout d’abord je vais dériver la fonction g pour avoir g’(x). Alors allons-y pour dériver -3x carré je garde -3 et je dérive x carré ça nous fait 2x + la dérivée de 2 fois x, je garde le 2 et je dérive x ça fait 1 + la dérivée de 8 qui vaut 0. Finalement ça va me faire -6x + 2. Donc pour avoir g’(-2) je remplace x par -2, ça va me faire (-6) fois (-2) + 2 c’est-à-dire 12 + 2 ce qui nous donne 14. A présent je vais injecter ces 2 résultats dans ma tangente T indice -2 qui aura donc pour équation y = g’(-2) qui vaut 14 facteur de x – (-2) c’est-à-dire x + 2 + g(-2) qui vaut -8. Voilà et comme d’habitude je développe, je réduis, ça va me faire 14x + 28 – 8 et finalement la tangente à la courbe de g au point d’abscisse -2 aura pour équation y = 14x + 20.

C’est la fin de cette vidéo sur bosstesmaths.com, bravo si tu es allé au bout de cette vidéo. J’espère en tout cas que tu sais maintenant comment avoir l’expression de l’équation d’une tangente à une courbe soit de manière graphique soit en passant par l’expression de ta fonction. Alors je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et surtout n’oublies pas d’aller t’entrainer sur la feuille d’exercices corrigés qui se trouve juste en dessous de ta vidéo. Je te dis à très bientôt, salut !