Suite arithmétique [Vidéo](Première)

Bonjour ici Corinne Huet du site bossetesmaths.com
Alors, en première, les élèves apprennent la notion de suite arithmétique et en terminale je vois souvent des élèves me demander comment démontrer qu’une suite est arithmétique ou comment on peut montrer qu’une suite n’est pas arithmétique. C’est pour ça que j’ai fait cette vidéo, pour que la notion de suite arithmétique n’aie plus de secret pour toi. Dans cette vidéo tu vas apprendre à montrer qu’une suite n’est pas arithmétique ou qu’elle est arithmétique.
En fin de vidéo, je vais te parler de suite auxiliaire : en général, on voit ça plutôt en terminale et parfois même dans des sujets de BAC. Je te dis à tout de suite, allons-y !

Alors pour commencer déjà, est-ce que tu te rappelles ce que c’est qu’une suite arithmétique ? Je te rappelle ça rapidement.
Tu as tout d’abord un premier terme que je note u0, pour calculer le premier terme u1 il te suffit d’ajouter une constante que je vais appeler r. Puis pour calculer le prochain terme u2, je vais ajouter cette même constante r et ainsi de suite.
Donc quand je vais arriver au terme u_n, hé bien pour calculer le terme suivant u_n+1 je vais encore une fois ajouter cette constante r etc.
Cela va me donner une première formule indispensable: pour calculer u_n+1 je vais d’abord avoir u_n auquel je vais ajouter r. Cette formule donne la définition d’une suite arithmétique donc tu vois vraiment connaitre cette première formule par cœur.

J’ai une deuxième formule à te donner qui est aussi indispensable qui est la formule suivante : pour calculer un terme u_n dans toute cette suite arithmétique, je peux partir du premier terme u0, je peux lui ajouter r, je peux lui ajouter encore une fois r etc jusqu’à arriver à un. Donc finalement mon terme u_n sera égal à u0+n fois le nombre r. Et ceci est la deuxième formule à connaitre quand on va parler de suite arithmétique.

Alors le premier objectif de cette vidéo est de savoir comment monter qu’une suite u_n n’est pas arithmétique. Voici la méthode.
Tout d’abord on calcule ces 3 premiers termes alors en général ils se notent u0, u1 et u2 et on montre que quand on passe de u0 à u1, hé bien le nombre qu’on ajoute à u0 ce n’est pas le même que quand je passe de u1 à u2 : le nombre que j’ajoute n’est pas le même. Il suffit donc de montrer que quand je fais u1-u0 le résultat n’est pas égal à u2-u1.
Alors si tu veux bien on va regarder un premier exemple dans lequel on va me donner une suite (u_n) qui est définie par cette formule: u_n est égal à 2n cube – n carré +1 pour tous les entiers naturels n.
Alors c’est-à-dire que les n peuvent valoir 0 ou 1 ou 2 ou 3 etc. On souhaiterait montrer que cette suite u_n n’est pas arithmétique. Comme je te l’ai dit précédemment, on va calculer les 3 premiers termes : on va commencer par u0, on remplace tous les n par 0 donc cela va nous faire 2 fois 0 au cube – 0 au carré + 1. Ici ça nous fait 0, 0 et donc résultat égal 1.
Ensuite je calcule le deuxième terme u1 en remplaçant tous les n par 1. Cela va me donner 2 fois 1 au cube – 1 au carré +1 alors 1 au cube ça fait 1 fois 1 fois 1 ça fait 1, 2 fois 1 c’est 2, -1 au carré ça fait 1 fois 1 c’est-à-dire 1 +1, tu constates ici que -1+1 ça s’annule. Le résultat est égal à 2.
Enfin je calcule le troisième terme de ma suite u2 en remplaçant tous les n par 2. Cela va me donner 2 fois 2 au cube – 2 au carré +1. Alors si je calcule 2 au cube, 2 fois 2, 4 fois 2 égal 8- 2 au carré c’est 2 fois 2 qui fait 4 +1. Donc c’est égal à 16 – 4 c’est-à-dire 12 + 1 c’est-à-dire 13.

Alors tu constates comme moi ici que pour passer de 1 à 2, on a ajouté 1. Et pour passer de 2 à 13 on a ajouté 11. Donc notre suite n’est pas arithmétique car pour passer d’un terme à l’autre on n’ajoute pas le même nombre.
Pour l’écrire parfaitement bien, on peut dire que u1-u0 c’est égal à 2-1 c’est-à-dire 1 mais u2-u1 c’est égal à 13-2 c’est-à-dire 11. On constate que u2-u1 n’est pas égal à u1-u0 et donc la suite (u_n) n’est pas arithmétique.

Voici un deuxième exemple ou la suite (u_n) est donnée par une formule de récurrence c’est-à-dire qu’on va nous donner le premier terme u0=2 et pour calculer les autres termes on utilise cette formule u_n+1=u_n+n.
On doit ici montrer que la suite (u_n) n’est pas arithmétique donc je vais utiliser la même technique que précédemment à savoir calculer déjà les 3 premiers termes.
Alors le premier terme on nous le donne: u0=2. Pour calculer le deuxième terme u1, hé bien dans la formule de récurrence qui est ici je vais remplacer n par 0 cela va me donner u0+1 ici donc u1=u0+0. Je remplace u0 par la valeur trouvée précédemment donc ça me fait 2+0 finalement c’est égal à 2.
Ensuite je calcule le troisième terme de ma suite u2 toujours en utilisant cette formule de récurrence avec n qui vaut 1 cette fois-ci. Ainsi je vais avoir u1+1 c’est-à-dire 2 ce sera égal à u1+1 donc je vais remplacer le terme u1 par la valeur obtenue précédemment cela me donne 2+1 c’est-à-dire 3.
Je constate que pour passer de u0 à u1 donc pour passer de 2 à 2, j’ai ajouté le nombre 0 et pour passer de u1 à u2 c’est-à-dire pour passer de 2 à 3 j’ai ajouté le nombre 1 donc ma suite n’est pas arithmétique puisque je n’ajoute pas le même nombre pour avoir le terme suivant.
Si je l’écris je vais avoir u1-u0 qui sera égal à 2-2 c’est-à-dire 0. Je vais avoir u2-u1 qui sera égal à 3-2 c’est-à-dire 1. Je constate que u1-u0 n’est pas égal à u2-u1 et cela me permet d’affirmer que la suite (u_n) n’est pas une suite arithmétique. Tu as bien compris ça?

Alors maintenant on peut poursuivre avec le deuxième objectif de cette vidéo qui est de savoir comment montrer qu’une suite (u_n), cette fois, est arithmétique.
Voici la méthode: on va fixer un entier n et on va calculer la différence u_n+1-u_n. On doit trouver une constante r qui est indépendante de n. Cette constante r sera la raison de notre suite un. Pourquoi ça? Tu te rappelles que la première formule indispensable à connaitre pour les suites arithmétiques c’était celle-ci : u_n+1=u_n+r donc si tu soustrais u_n cela va te donner u_n+1-u_n=r donc je répète pour montrer qu’une suite est arithmétique tu fixes un entier n, tu calcules u_n+1-u_n et tu dois tomber sur une constante r qui ne dépend pas de n. On regarde ça tout de suite sur des exemples.

Alors voici un troisième exemple dans lequel on nous donne u_n=-4n+5 pour n appartenant à grand N et on doit montrer que la suite (u_n) est arithmétique donc comme je te l’ai dis précédemment je vais fixer un entier n et je vais donc calculer u_n+1-u_n. On y va!
Pour calculer u indice n+1, je reviens à la formule ici et je vais donc remplacer n par n+1 cela va me donner -4 facteur de n+1 plus 5 – un qui est égal à -4+5 que je vais mettre entre parenthèses comme ceci. Je développe tout ça donc ici ça va me donner -4n-4+5, ici je change les signes qui sont à l’intérieur de la parenthèse donc +4n-5 et enfin je réduis tout ça alors -4n+4n ça va s’annuler, +5-5 ça s’annule également et le résultat est égal à -4.
Donc comme on trouve une constante ici qui est indépendante de n, je peux dire que la suite (u_n) est arithmétique et je peux même préciser que sa raison r est égale à -4 le nombre que j’ai trouvé ici en faisant u_n+1-u_n.

Voici un quatrième exemple dans lequel je donne une suite (u_n) par une relation de récurrence. Donc j’ai u0=-1 et voici la formule de récurrence u_n+1=-5+u_n. Comment est-ce que je vais montrer que la suite (u_n) est arithmétique?
Comme précédemment, je vais prendre un entier n fixé et je vais calculer u_n+1-u_n. Alors j’ai à ma disposition cette relation de récurrence donc je vais l’utiliser tout bêtement en soustrayant u_n) Cela va me donner u_n+1-u_n=-5. Tu vois c’est tout bête ! Donc en fait tu vois je trouve directement une constante qui ne dépend pas de n et donc je vais conclure comme dans l’exemple précédent que la suite (u_n) est arithmétique et je peux même dire que sa raison r c’est ce nombre -5 que je viens de trouver. Tu as compris?

Alors maintenant que tu as compris comment montrer qu’une suite n’est pas arithmétique ou qu’une suite est arithmétique, on va arriver à l’objectif numéro 3 de cette vidéo qui est de pouvoir travailler avec une fonction auxiliaire pour simplifier une suite qui était compliquée à la base. Je t’explique le principe juste ici.
Au début tu as une suite (u_n) qui est compliquée : pour pouvoir l’étudier, on va introduire une deuxième suite (v_n) qui sera évidemment dépendante de la suite (u_n). C’est cette suite (v_n) qu’on appelle une suite auxiliaire et on va montrer que cette suite (v_n) est arithmétique. Une fois qu’on saura que cette suite (v_n) est arithmétique, on a des formules donc on va pouvoir l’exprimer en fonction de n et cela va nous aider à mieux comprendre la suite (u_n) qui était compliquée au départ. Je te montre ça tout de suite sur un exemple.

Alors voici l’exemple 5 dans lequel on te donne une suite (u_n) par récurrence c’est-à-dire on te donne son premier terme u0 qui est égal à -2 et une relation de récurrence pour calculer tous les autres termes à savoir u_n+1=10-25 sur un. Tu vois que cette suite a l’air compliquée, ce n’est pas une suite arithmétique, ce n’est pas une suite géométrique : elle est compliquée cette suite (u_n).
Pour la rendre moins compliquée on va introduire une suite (v_n) qui est donnée par la formule ici: v_n=1 sur u_n-5 pour tout entier n. On va pouvoir montrer que cette suite (v_n) est simple puisqu’elle est arithmétique en fait.
Alors comme d’habitude pour montrer qu’une suite est arithmétique, je vais prendre un entier n et je vais calculer v_n+1-v_n en espérant tomber sur une constante r indépendante de n. Alors, tu vas voir c’est très calculatoire donc pour simplifier un peu tous ces calculs, je vais d’abord commencer par calculer v_n+1 séparément et ensuite je ferai la soustraction –v_n.
Alors pour calculer v_n+1 et bien je vais remplacer dans la formule qui donne v_n tous les n par n+1 ça va me donner 1 sur u_n+1-5 ensuite je vais pouvoir remplacer u_n+1 par la formule donnée dans l’énoncé, la formule de récurrence qui est ici donc cela va me faire 1 sur 10-25 sur un -5.
Alors dans ce calcul, est-ce que tu es d’accord qu’on peut calculer 10-5 ça nous fait 5. Donc j’ai 5-25 sur un. Alors ensuite 5 est-ce que tu es d’accord que c’est égal à 5 sur 1 et donc pour pouvoir soustraire ces 2 fractions je vais les mettre au même dénominateur: je vais multiplier la fraction 5 sur 1 en haut et en bas par u_n pour pouvoir la mettre sur u_n.
Alors ça va me donner 1 sur 5u_n-25 et tout ça sera donc sur u_n. Alors comment est-ce que tu vas faire 1 divisé par cette grosse fraction ? Hé bien il suffit de faire 1 multiplié par son inverse c’est-à-dire un sur 5u_n – 25. Donc finalement on se retrouve avec u_n sur 5u_n-25 et tu constates, je l’espère, qu’en fait 5u_n-25 peut se factoriser par 5 et donc cela me fait 5 facteur de u_n-5. Voilà pour le calcul de v_n+1.
On va voir tout de suite comment on va faire v_n+1-v_n.
On continue le calcul : on vient de montrer que v_n+1 était égal à u_n sur 5 facteur de u_n-5 donc avec ça maintenant je vais pouvoir calculer v_n+1-v_n donc v_n+1 je le remplace par ce résultat et je vais soustraire v_n donc ça va me faire -1 sur un-5. Comment est-ce qu’on va soustraire 2 fractions ? Tu es d’accord qu’il faut les mettre au même dénominateur donc tout bêtement dans la deuxième fraction qui est ici je vais multiplier en haut et en bas par 5 pour pouvoir avoir le même dénominateur 5 facteur de u_n-5 donc mon dénominateur commun ça sera donc 5 facteur de u_n-5 et donc je vais avoir u_n-5 au numérateur.
Es-tu d’accord que u_n-5, si je dois le mettre en facteur, il est facteur de 1 ? 1 fois quelque chose de toute façon ça ne change rien. Alors pourquoi est-ce que je fais ça? Hé bien tout simplement pour te montrer que ici je peux simplifier en haut et en bas par un-5. Qu’est-ce qu’il va me rester au final ? Il va me rester 1 sur 5. C’est super car je viens de démontrer que v_n+1-v_n est égale à une constante indépendante de n et donc je peux conclure que la suite (v_n) est bien une suite arithmétique et je peux même préciser que sa raison r est égale à ce nombre 1 sur 5.
Alors tu vois que c’est très calculatoir mais qu’au final le résultat est très sympa puisque je suis passée d’une suite compliquée à une suite finalement simple puisque c’est une suite arithmétique de raison 1 sur 5. Donc ça c’est un procédé qu’on fait très souvent pour simplifier une suite notamment on voit ça souvent dans des sujets de BAC donc je t’invite vraiment à savoir le faire et tu pourras t’entrainer avec la feuille d’exercice que tu trouveras à la fin de la vidéo en téléchargement.
C’est la fin de cette vidéo, je te remercie de l’avoir suivi. J’espère surtout qu’elle t’aura permis d’éclaircir certains points sur les suites arithmétiques.
Je t’invite pour t’entrainer à faire la feuille d’exercices que tu pourras télécharger gratuitement juste en-dessous de la vidéo. Tu trouveras aussi le corrigé pour pouvoir vérifier tes réponses donc je te dis à très bientôt. Merci d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com
Salut !