Sens de variation d’une fonction [Vidéo](Seconde)

Bonjour ici Corinne Huet du site bossetesmaths.com, voici une nouvelle vidéo dans laquelle je vais te présenter le sens de variation d’une fonction. Alors tout d’abord je vais t’expliquer ce que c’est : on va parler de fonction croissante et de fonction décroissante et on va faire le lien entre la courbe d’une fonction et son sens de variation grâce à ce qu’on appelle un tableau de variations. Voilà je te dis à tout de suite pour cette vidéo !

Alors tout d’abord c’est quoi le sens de variation d’une fonction ?
Voici la définition que tu dois connaitre. Si f est une fonction définie sur un intervalle grand I alors on va dire que la fonction f est croissante sur l’intervalle I lorsque, si l’on prend n’importe quel nombre a et b de cet intervalle I, si a est inférieur à b alors quand j’applique la fonction f hé bien f(a) reste inférieur à f(b). Tu vois là quand j’ai appliqué une fonction croissante, le sens des inégalités n’a pas changé.
On va dire que la fonction f est décroissante sur l’intervalle I lorsque, pour n’importe quel nombres réels a et b de cet intervalle I, si on prend a inférieur ou égal à b, hé bien alors lorsque j’applique la fonction f sur ces deux nombres a et b, je vais obtenir f(a) supérieur ou égal à f(b); Donc qu’est-ce qu’il s’est passé quand j’ai appliqué une fonction décroissante sur cette inégalité ? Hé bien tu vois que le sens a changé. Alors on va voir tout de suite qu’est-ce que ça symbolise au niveau de la courbe de la fonction, qu’elle est croissante ou décroissante, mais sache dors et déjà que, étudier le sens de variation d’une fonction c’est donner les intervalles sur lesquels cette fonction est croissante et ceux sur lesquels cette fonction est décroissante. Cette étude tu vas la résumer dans ce qu’on appelle un tableau de variation. Voyons ça tout de suite.

Alors à quoi ressemble la courbe d’une fonction croissante ? Je te montre ça tout de suite : ici tu as la courbe représentative de la fonction f qui est définie sur l’intervalle -3 ; 2 pourquoi ? Parce qu’ici la courbe commence à -3 lorsque x vaut -3 et elle se termine ici lorsque x vaut 2. Alors qu’est-ce qu’on voit ? On voit que le courbe Cf monte de gauche à droite. Hé bien ça, ça symbolise le fait que la fonction f est croissante sur l’intervalle -3 ; 2. Voila tu as juste à retenir ça : si la courbe monte, la fonction est croissante. Alors pourquoi ? Tu te rappelles que si on prend n’importe quel nombre a et b dans l’intervalle -3 ; 2 avec a plus petit que b et que tu regardes leurs images par f, donc ici sur l’axe des ordonnées je vais avoir f(a) et ici sur l’axe des ordonnées je vais avoir f(b). Hé bien tu constates que si a est inférieur à b, f(a) sera inférieur à f(b) sur l’axe des ordonnées. Et ça c’est du au fait que la courbe Cf monte. Alors on peut résumer le fait que f est croissante sur -3 ; 2 dans ce qu’on appelle un tableau de variations. Qu’est-ce que c’est ? Hé bien, c’est un tableau qui se présente comme ceci, il possède deux lignes, dans la première ligne on va mettre les valeurs de x et dans la deuxième ligne leurs images f(x). Alors les x tu vois ils sont dans l’intervalle -3 ; 2 donc on va partir de -3 jusqu’à 2. Et on sait que la fonction f est croissante sur l’intervalle -3 ; 2 et bien dans un tableau de variations ça va se symboliser par une flèche qui monte comme ceci. Ensuite il va falloir qu’aux extrémités de ta flèche tu mette les images de -3 et de 2 par la fonction f. Donc graphiquement ici on lit que l’image de -3 ça fait -2 et l’image de 2 graphiquement on peut lire que c’est égal à 3 donc f(2) = 3 et on le reporte comme ceci dans le tableau de variation. Donc c’est comme ça qu’on construit un tableau de variation d’une fonction croissante. Voyons maintenant à quoi ressemble la courbe d’une fonction décroissante. Ici on a donné la courbe représentative d’une fonction f qui est définie sur l’intervalle -1 ; + l’infini, tu vois que le point de départ de la courbe est quand x vaut -1 et on suppose que la courbe ne s’arrête jamais, donc elle est définie sur -1 ; + l’infini. Alors le fait que la courbe Cf soit une courbe qui descend, quand on va de gauche à droite, nous permet de dire que la fonction f est décroissante sur l’intervalle – 1 ; + l’infini. Alors pourquoi ça ? Hé bien tu te rappelles que si on prend deux nombres a et b dans l’intervalle -1 ; + l’infini avec a inférieur ou égal à b, que se passe t-il au niveau de leurs images ? Ici nous avons f(a) sur l’axe des ordonnées, de la même manière ici nous avons f(b) sur l’axe des ordonnées et tu peux constater que f(a), lui, est supérieur à f(b) alors que a était inférieur à b. Donc ça, c’est ce qui caractérise le fait que la fonction est décroissante. Sur sa courbe on regardera tout simplement le fait qu’elle descende. Alors maintenant on va procéder au tableau de variation de cette fonction f, donc maintenant tu sais que ça se présente comme ceci : on met x sur la première ligne, f(x) sur la deuxième ligne, les x ils sont dans l’intervalle -1 ; + l’infinie et comme la fonction f est décroissante sur l’intervalle -1 ; + l’infini, on va symboliser ceci par une flèche qui descend. Alors ensuite on peut mettre dans ce tableau l’image de -1 par la fonction f. Ici il suffit de le lire, on a x qui vaut -1 et tu peux lire dans l’axe des ordonnées que l’image de -1 = 3 donc on le reporte ici. En revanche, en + l’infini on ne sait pas ce qu’il se passe donc on laisse le tableau tel quel. Alors on peut procéder maintenant aux exercices.

Voici un premier exercice qui consiste à obtenir les variations d’une fonction à partir de sa courbe. Ici tu vois la courbe Cf d’une fonction f qui est définie sur l’intervalle -4 ; 3, tu es d’accord que la courbe commence lorsque x vaut -4 et elle se termine lorsque x vaut 3. Alors la première question consiste à décrire les variations de la fonction f sur l’intervalle -4 ; 3. On y va, alors qu’est-ce qu’il faut faire dans cette première question ? Hé bien en gros il faut dire quand est-ce que la fonction f est croissante et quand est-ce qu’elle est décroissante. Tout d’abord tu vois que la courbe descend jusqu’ici, donc on va pouvoir écrire que la fonction f est décroissante sur quel intervalle ? Hé bien ici elle décroit sur l’intervalle -4 ; -2. Ensuite, tu vois que la courbe monte jusqu’ici, donc on va pouvoir dire que la fonction f est croissante sur l’intervalle -2 ; 2. Et enfin, la courbe redescend donc on va pouvoir dire que la fonction f est décroissante de nouveau sur l’intervalle 2 ; 3. Donc voila, on a décrit les variations de f sur l’intervalle -4 ; 3 tout entier. Alors on peut maintenant passer à la deuxième question où il faut dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle -4 ; 3, donc on y va. Le tableau de variation tu sais maintenant qu’il se présente comme ceci avec deux lignes, la première ligne c’est les x, la deuxième ligne ceux sont les images f(x). Alors, on sait que x est dans l’intervalle -4 ; 3 donc on va aller de -4 jusqu’à 3. Ensuite, on regarde la courbe et on sait que la courbe descend, monte et descend, au niveau des flèches j’ai une flèche qui descend, une flèche qui monte et une flèche qui descend. Donc tu vois que le point de départ il est en dessous du -4 et le point d’arrivée il est en dessous du 3. Alors ici au niveau du premier creux, je me trouve ici, donc c’est lorsque x vaut -2 et ici au niveau du sommet je me trouve ici et c ‘est lorsque x vaut 2. Il ne me reste plus qu’à compléter les images de -4, de -2, de 2 et de 3 aux extrémités de toutes ces flèches. Alors l’image de -4 par la fonction f tu lis comme moi que c’est égale à -2, l’image de -2 tu lis que c’est égale 4, l’image de 2 de la même manière on peut lire que c’est égale à 3 et enfin l’image de 3 on peut lire que c’est égale à 2. Et voici le tableau de variations complet de cette fonction f qui était donné par cette courbe. J’espère que tu as compris cet exercice, on va pouvoir poursuivre.

On va pouvoir passer maintenant à l’exercice 2 qui est en fait le contraire de l’exercice 1. C’est à dire qu’ici on va tracer une courbe à partir d’un tableau de variations, tandis que dans l’exercice 1 on avait tracé un tableau de variation à partir d’une courbe. Donc ici voila on va faire le contraire, on nous donne le tableau de variations d’une fonction g.

Première question : quel est l’ensemble variation grand d de cette fonction g ? hé bien on regarde où est-ce qu’on peut avoir g(x) pour quelle valeur de x. Ici x commence à -6 et se termine à 3 donc je peux dire que l’ensemble de définition de g est l’intervalle -6;3.

Ensuite 2ème question, il faut décrire les variations de g sur son ensemble de définition c’est-à-dire sur l’intervalle -6;3. Alors décrire les variations ça veut dire quand est-ce que la fonction g est croissante et quand est-ce que la fonction g est décroissante ? Donc ici on a d’abord une flèche qui monte donc on va pouvoir dire que la fonction g est croissante sur l’intervalle ici -6;-4. Attention à ne pas tomber dans le piège de dire que la fonction g est croissante sur l’intervalle -3;0 (ça c’est totalement faux). Elle est croissante sur l’intervalle -6;-4, l’intervalle on le regarde au niveau des x. Ensuite j’ai une flèche qui descend donc la fonction g est décroissante sur l’intervalle ici -4;-1 et je continue, ensuite j’ai une flèche qui monte donc ma fonction g est croissante sur l’intervalle -1;0,5 et enfin j’ai une flèche qui descend donc ma fonction g est de nouveau décroissante sur l’intervalle 0,5;3. Voilà les variations de la fonction g sur son ensemble de définition.

On peut maintenant passer à la question 3 dans laquelle il s’agit de tracer dans un repère une courbe susceptible de représenter la fonction g qui est donnée par son tableau de variation. Alors le repère on ne le fait pas n’importe comment, on réfléchit un petit peu. D’abord au niveau des x tu vois qu’on va de -6 à 3 donc tu vois ici sur mon axe des x j’ai gradué de -6 jusqu’à 3. Ensuite au niveau des y, de l’axe des ordonnées, tu vois que les valeurs de g(x) elles descendent au plus bas à -3 et vont au plus haut à 2 donc tu vois j’ai gradué ici l’axe des ordonnées de -3 à 2. Maintenant que j’ai mon repère qui est correctement dessiné, je vais placer des points qui sont sur la courbe de g : donc tu vois ici qu’on a un 1er point qui a pour coordonnées (-6;-3) hé bien on va le placer (-6;-3), il se trouve ici et je suis sur qu’il va appartenir à la courbe de g. Je poursuis, j’ai un 2ème point sur cette courbe qui a pour coordonnées (-4;0) donc je vais le placer ici. Ensuite j’ai le point de coordonnées (-1;-2), il se trouve ici. Puis le point de coordonnées (0,5;2) qui se trouve ici et enfin le dernier point a pour coordonnées (3;1) comme ceci. Donc tous ces points vont être sur la courbe de g. Ensuite entre le 1er point et le 2ème point, ma fonction g est croissante donc entre ces 2 points je dois faire une courbe qui monte comme ceci. Ensuite entre le 2ème et le 3ème point ici ma fonction g est décroissante donc je dois faire une courbe qui descend donc par exemple comme ceci, puis la fonction g est croissante donc ma courbe doit monter comme ça par exemple et enfin la fonction g décroit donc ma courbe va descendre comme ceci et donc je viens de tracer une courbe susceptible de représenter cette fonction g donnée par son tableau de variation. C’est comme ça qu’on s’y prend ! J’espère que tu as tout compris.

Hé bien c’est la fin de cette vidéo sur le sens de variation d’une fonction, j’espère qu’elle t’aura permis de mieux comprendre cette notion et j’espère maintenant que tu vas pouvoir faire le lien entre la courbe d’une fonction et son tableau de variations. Alors pour t’entrainer tu peux télécharger la feuille d’exercices qui est juste en-dessous de cette vidéo et pour te corriger tu peux également télécharger le corrigé de cette feuille. Voilà, merci d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com, je te dis à très très bientôt; salut !