Représentation graphique d’une fonction [Vidéo](Seconde)

Bonjour et bienvenue sur bossetesmaths.com ! Ici Corinne Huet, dans cette vidéo je vais te montrer comment on peut tracer la représentation graphique d’une fonction, on pourra le faire grâce à ce qu’on appelle un tableau de valeurs de cette fonction qu’on pourra obtenir grâce à la calculatrice. Je te dis à tout de suite !

Alors tout d’abord la représentation graphique d’une fonction qu’est-ce que c’est ? Alors imagine que tu as f, une fonction définie sur un ensemble que j’ai noté D, comme ensemble de définition en fait. Et bien ce qu’on appelle la représentation graphique ou on dit encore la courbe représentative de cette fonction f et bien c’est un ensemble de points, c’est l’ensemble des points M qui ont pour coordonnées x et f(x) où les nombres x ici, les abscisses de ces points appartiennent à l’ensemble de définition de notre fonction f. D’accord ?
Donc la courbe représentative d’une fonction ou la représentation graphique de cette fonction c’est un ensemble de points et ces points ne sont pas n’importe lesquels, ceux sont des points qui ont pour coordonnées des coordonnées du type x et f(x) où les nombres x sont dans l’ensemble de définition de la fonction.
Alors cette courbe représentative elle est souvent notée comme ceci : Cf, pourquoi C ? Et bien parce que C veut dire courbe. Et pourquoi f ? Et bien pour juste rappeler qu’on fait la courbe de la fonction f. Alors maintenant que tu sais ce ça veut dire la représentation graphique d’une fonction f et bien on peut se demander comment la tracer.

Alors tout d’abord tu vas pouvoir la tracer grâce à ce qu’on appelle un tableau de valeurs de la fonction f. Alors qu’est-ce que c’est un tableau de valeur ? Et bien, c’est un tableau qui se présente comme ceci, avec deux lignes. Une première ligne dans laquelle tu vas mettre des valeurs de x qui appartiennent à l’ensemble de définition de f et dans la deuxième ligne tu vas mettre les images correspondantes de ces nombres x, c’est à dire le calcul de f(x). Donc par exemple si tu prends un nombre x ici qui est égal à 1 en supposant bien sur que ta fonction est bien définie en 1 et bien le nombre que tu vas mettre ici dans la deuxième ligne ce sera le résultat du calcul de f(1). Donc tu complètes comme ceci ton tableau de valeurs et ensuite qu’est-ce que tu vas faire avec ces valeurs ? Et bien tu vas te placer dans un repère et dans ce repère tu vas placer comme je l’ai définie juste précédemment, les points de coordonnées du type (x ; f(x) ) qui ont été obtenues grâce à ce tableau. Donc tu vas prendre par exemple ce premier point, tu vas le placer. Alors f(1) je ne sais pas combien on obtient, on va imaginer qu’on trouve ce nombre et donc tu vas placer ce point. Et tu vas recommencer avec ce deuxième point ici de coordonnées x ; f(x) et donc tu vas placer ce deuxième point, ainsi de suite cela va te donner un ensemble de points que tu vas pouvoir relier par la suite et ça va te donner la courbe de ta fonction f.

Alors je te propose de traiter un exemple complet pour bien comprendre comment je peux tracer la représentation graphique d’une fonction. Alors voici la fonction que je vais considérer : je vais l’appeler f, elle est définie sur un intervalle (-2 ;4) donc son ensemble de définition c’est cet intervalle. Elle est définie par cette expression f(x) = 3-(x-1) au carré. Voila, je te demande de représenter graphiquement la courbe de cette fonction f. Tu te rappelles que dans la première étape il faut d’abord tracer un tableau de valeurs de f sur son ensemble de définition -2 ; 4 . Alors comment est-ce que je fais ça ? C’est un tableau à deux lignes comme je l’ai dis précédemment, dans la première ligne on va mettre les nombres x et dans la deuxième ligne on va mettre les images f(x). Alors comment compléter ce tableau à présent ? Et bien les nombres x de la première ligne ici , doivent être pris dans l’ensemble des définitions de f c’est à dire dans l’intervalle -2 ; 4 donc par exemple je peux faire le choix de dire voila je vais commencer par prendre x qui vaut -2 ensuite x qui vaut -1 ensuite x qui vaut 0 ensuite 1, 2, puis 3 puis 4 et cela me donnera quelques valeurs dans l’intervalle -2 ; 4. Une fois qu’on a sélectionné les valeurs dans le tableau de valeurs et bien il faut calculer leurs images par la fonction f. Donc par exemple dans cette première case je dois faire le calcul de l’image de -2 par f c’est à dire f(-2). Alors tu reviens ici avec l’expression de f(x) et tu remplaces x par -2 ce qui va nous donner 3 -(-2-1) au carré. On calcul ce qu’il y a entre parenthèses : -2-1 ça fait -3, ensuite on calcule le carré : -3 au carré ça fait -3 fois -3, ça fera 9. Et enfin 3-9 est égal à -6. Donc je peux reporter ici f(-2) qui est égal à -6. Pour compléter ici cette deuxième case il faudrait que je fasse le calcul de f(-1) ensuite pour calculer cette troisième case il faudrait que je calcule f(0) etc.
Alors tu te rends bien compte que tout cela est très long et je pourrais même prendre des exemples de fonction où j’ai encore plus de valeurs dont je dois calculer les images. Donc je ne peux décemment pas le faire par calcul comme je viens de le faire pour f(-2) donc ce que je te proposes c’est de te montrer comment est-ce qu’on peut avoir le tableau de valeurs directement sur une calculatrice. Je te présente ici ma calculatrice, il s’agit d’une Texas Instruments TI-83, si tu as un modèle inférieur par exemple une TI 82 ça fonctionne également. Si tu as une Casio alors ça sera le même principe mais si tu as besoin de plus de renseignements laisse moi un commentaire après la vidéo et j’essaierai de t’indiquer ce qu’il faut faire.
Alors la première chose à faire c’est d’entrer l’expression de notre fonction ici f(x) dans la calculatrice sur la touche f(x) très précisément. Tu vois ici un certain menu avec Y1, Y2, Y3 etc. Donc dans la ligne Y1 tu vas rentrer f(x) c’est à dire : 3-(x-1) au carré (ici c’est la touche puissance) et tu fais « entrer ». Donc tu vérifies qu’on a la bonne expression ensuite pour faire le tableau de valeurs il faut que j’indique à ma calculatrice quelques paramètres et ça va se faire au dessus de la touche fenêtre en jaune c’est écrit def tab et pour y accéder tu appuies sur 2nd fenêtre et là on est dans le menu pour définir le tableau de valeurs. Alors tu vois que mon menu est en anglais peut être que le tiens est en français c’est plus simple. Ici on me demande le table start c’est à dire le début de mon tableau de valeurs. Tu vois ici que ma première valeur de x c’est -2 donc ça sera le début de ma table, je vais mettre -2 entrer. Ensuite le deuxième paramètre c’est delta table, sur la calculatrice française ça sera écrit le pas de la table. Qu’est-ce que ça signifie ? Et bien les valeurs de x que tu aimerais avoir sont des valeurs qui vont de un en un tu vois ? Tu fais -2 ensuite -1 ensuite 0 ensuite 1 ensuite 2… Donc ça va de 1 en 1 et ça va être le pas de ta table, d’indiquer à ta calculatrice que tu veux aller de un en un.
Evidemment si tu veux d’autres valeurs comme 1,5 2,5 3,5 tu mets un pas de 0,5. Alors ici tu laisses tout en automatique et on va donc générer le tableau de valeurs, ça se trouve ici au dessus de la touche graphe en jaune c’est écrit table et bien tu y accèdes en appuyant sur 2nd graphe. Voila, le tableau de valeurs est sous tes yeux, pour le lire dans la première colonne tu as les valeurs de x : -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 et dans la deuxième colonne ceux sont les Y1 les valeurs de f(x). On a plus qu’à recopier tu vois ? Quand x vaut -2, f(x) vaut -6 celle-ci on l’avait déjà; ensuite quand x vaut -1, f(x) vaut -1 tu le reportes ici, ensuite quand x vaut 0, f(x) vaut 2 donc on se trouve ici; ensuite quand x vaut 1, f(x) vaut 3 ici on va donc avoir 3; en 2 ça nous fait 2; en 3 ça nous fait -1; et enfin l’image de 4 est égale à -6. Et voici le tableau de valeurs complété !

Alors pour finir, comment est-ce qu’à partir de notre tableau de valeurs (tu vois que je l’ai recopié ici) je peux tracer la courbe de f ? Alors ici j’ai fait figurer un repère donc du coup tu vois ici l’origine du repère, les unités sur les 2 axes.
Alors je t’ai dit tout à l’heure qu’il fallait placer les points de coordonnées (x; f(x)) dans ton repère. Donc on va d’abord placer le point de coordonnées -2, donc ici -2 sur l’axe des abscisses et -6 ici sur l’axe des ordonnées : cela nous donne un 1er point ici. Ensuite on place le point de coordonnées (-1;-1), -1 sur l’axe des abscisses, -1 sur l’axe des ordonnées et tu as ici un 2ème point. Puis vient le point de coordonnées (0;2), donc 0 ici sur l’axe des abscisses, 2 ici sur les ordonnées finalement le point est ici. Ensuite le point de coordonnées (1;3) qui se trouve ici. Puis le point de coordonnées (2;2) qui se trouve ici. Puis le point de coordonnées (3;-1) il se trouve là. Et pour terminer le point de coordonnées (4;-6) qui se trouve être ici. Une fois que tu as placé tous tes points, il te suffit tout simplement de les joindre dans le sens des x croissants. Alors il faut surtout pas le faire avec un règle : il s’agit d’une courbe donc ça doit se faire à main levée. Dans le sens des x croissant ça veut dire que quand x devient de plus en plus grand, tu relis tes points et on a ici la courbe de la fonction f qui était définie ici par f(x) = 3 – (x – 1) au carré.

Alors voici comment on obtient la courbe de cette fonction f grâce à la calculatrice. Donc je retourne dans f(x), je vérifie que j’ai bien l’expression de ma fonction 3 – (x-1) au carré. Alors je suis tenté d’appuyer sur le bouton graph mais d’abord je vais régler ce qu’on appelle la fenêtre d’affichage de mon graphe donc je clique sur fenêtre et ici je dois rentrer un certain nombre de paramètres. Tout d’abord tu vois que les 2 premiers paramètres sont ce qu’on appelle Xmin et Xmax : dans le tableau de valeurs que tu as ici, tu vois bien que le x minimum il vaut -2 et le x maximum il vaut 4 donc tu rentres ces 2 valeurs -2 et 4. En dessous c’est la graduation, ça veut dire que ça va être gradué de 1 en 1 (je le laisse comme ceci). Ensuite j’ai les paramètres Ymin et Ymax : en fait ça coïncide valeurs de f(x) donc ici tu vois que je vais pas aller plus bas que -6 et je vais pas aller plus haut que 3 donc je peux mettre, par exemple, Ymin qui vaut -7 et Ymax qui vaut 4 pour pouvoir bien voir correctement. Et à ce moment là, ici Ygrad ou Xscl ça veut dire je gradue de 1 en 1, je peux appuyer sur graph et tu peux donc observer la courbe de la fonction f qui se trace ici avec la bonne fenêtre.
Tu vois très clairement que sur l’axe des x ici, on va de -2 jusqu’à 4 et sur l’axe des y ici on a dit qu’on allait de -7 jusqu’à 4. Donc pour pouvoir tracer la courbe d’une fonction grâce à ta calculatrice, je te conseille fortement d’aller d’abord régler les paramètres de ta fenêtre d’affichage en cliquant sur le bouton fenêtre parce qu’il pourrait arriver parfois que tu ne vois rien sur ton graphe tout simplement car tu n’as pas réglé la fenêtre d’affichage.

Voilà hé bien j’espère que tu as compris comment on pouvait représenter graphiquement une fonction. Je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et surtout n’hésite pas à télécharger la feuille d’exercices juste en bas de la vidéo pour t’entrainer et n’hésite pas non plus à regarder le corrigé quand tu auras terminé de chercher les exercices pour corriger tes erreurs. A très bientôt, aurevoir !