Médiane, quartiles d’une série statistique [Vidéo] (Seconde)

Salut à toi et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet.
Dans cette nouvelle vidéo, je vais t’apprendre à calculer la médiane et les quartiles d’une série statistique et je t’apprendrai également à retrouver ces résultats sur ta calculatrice TI ou Casio. Je te dis à tout de suite !

Exemple #1 : une série de notes

Alors dans un 1er exemple on nous donne les notes obtenues par les 30 élèves d’une classe A lors du dernier contrôle de maths donc voici les notes obtenues et on nous demande de déterminer la médiane et le 1er et 3ème quartiles de cette série de notes.

Médiane et quartiles : qu’est-ce que c’est ?

Alors tu dois d’abord savoir que la médiane d’une série de nombres en fait elle coupe ta série de nombres en deux séries qui ont le même effectif. Les quartiles, eux, coupent ta série en quarts donc pour pouvoir faire ça on doit d’abord ordonner notre série de nombres dans l’ordre croissant et comme on a beaucoup de valeurs ici (on en a 30) je te propose d’aller ordonner cette série grâce à ta calculatrice.

Médiane et quartiles sur calculatrice TI

Alors sur TI tout d’abord je te montre comment on fait ça : on va sur le menu stat ici, on fait édit. Alors là tu vois que j’ai déjà des listes qui sont remplies, je te montre comment les effacer : tu te mets ici en haut en L2 et tu fais annuler, entrer. Voilà ça enlève toutes les valeurs qui étaient dans la liste 2, on va recommencer ici sur L1 annuler, entrer. Voilà donc je vais entrer toutes les valeurs ici dans L1 donc 12 puis 13… Voilà donc tu vois qu’ici L1(30) c’est-à-dire la trentième valeur c’est 7.
Alors pour ordonner ces valeurs dans l’ordre croissant (tu vois que là elles sont désordonnées), hé bien je vais sur stat et je vais faire ici le menu 2 qui veut dire « trier dans le sens croissant ». Donc je vais faire 2 de la liste 1 (alors la liste 1 tu peux y accéder ici au dessus de la touche 1 en jaune en faisant Seconde 1), je fais entrer et il me dit que c’est fait; je vais aller voir, je vais stat numéro 1 édit et là tu vois que toutes mes valeurs sont rangées dans l’ordre croissant.

Médiane et quartiles sur calculatrice Casio

Sur Casio je vais dans le menu stat (alors ici tu vois que ma liste 1 est pleine donc je vais l’effacer, je vais me mettre tout en haut ici et je vais aller chercher DEL-A, il me demande d’effacer la liste et je met oui en appuyant sur la touche F1). Voilà donc la liste 1 est vierge, je vais recopier les 30 notes de cette série de notes donc 12, 13… Voilà donc la 28ème valeur c’est 18, la 29ème c’est 8 et la 30ème c’est 7. Donc pour ordonner ces valeurs dans l’ordre croissant, je vais chercher ici dans le menu dans tool je vais prendre le menu SRT-A donc touche F1 pour moi; on me dit qu’il va ranger les nombres dans l’ordre croissant, combien de listes ? Donc juste 1 pour moi, entrer et sélectionner la liste numéro..donc c’est la liste 1 pour moi, entrer. Voilà et tu vois que ma liste maintenant est ordonnée dans l’ordre croissant.

Résumé de la méthode pour calculer la médiane ou les quartiles d’une série statistique

Alors on résume : pour calculer la médiane ou les quartiles d’une série de nombres, tout d’abord 1ère chose à faire on ordonne la série dans l’ordre croissant. On l’a fait sur la calculatrice donc on va recopier les valeurs, on a eu 2, 2, 3, 4, etc. Donc voici ma série qui est, à présent, ordonnée dans l’ordre croissant.
On va d’abord calculer la médiane de cette série de nombres. Pour ça, comme la médiane coupe la série en 2, il faut déjà que je sache quel est l’effectif total de cette série de nombres donc jais le noter grand N et en fait si tu comptes on a 30 notes donc N = 30. Alors petite constatation : 30 c’est un nombre pair et donc je vais le diviser par 2 (N / 2 = 30 / 2 = 15) donc si tu réfléchis un tout petit peu, mes 30 valeurs sont réparties comme ceci : tu en as 15 tout d’abord et ensuite tu en as 15 autres. Voilà donc ça nous fait bien un total de 30 valeurs et ce qu’on veut, nous, c’est la médiane c’est-à-dire la valeur centrale; hé bien, ici tu te rends compte que la valeur centrale elle est entre 2 valeurs donc on va dire que la médiane est bien en fait ça sera la moyenne de ces 2 valeurs centrales qui sont la 15ème et la 16ème valeur de la série ordonnée. Donc ça c’est le cas ou on a un effectif total qui est pair, hé bien en fait quand on fait la moitié on tombe entre 2 valeurs.
Alors allons voir maintenant la 15ème et la 16ème valeur de cette série ordonnée, alors on compte hein donc ma médiane, comme c’est la moyenne de ces 2 valeurs, en fait ça sera (10 + 12) / 2 = 11. Donc qu’est-ce que ça signifie que la médiane de cette série de nombres vaut 11 ? Hé bien ça veut dire qu’on a, à peu près, la moitié de la classe qui a une note inférieure ou égale à 11 et environ la moitié de la classe qui a une note supérieure ou égale à 11.

Alors maintenant on va calculer les quartiles de cette série de nombres. Alors comme son nom l’indique, les quartiles coupent la série en quarts donc tout d’abord je prend mon effectif total N et je le divise par 4. Cela va me faire 30 / 4 = 7,5 donc notre 1er quartile, qu’on note en général Q1, hé bien comment je vais l’obtenir ? Hé bien je prend ce nombre 7,5 et je vais l’arrondir à l’entier qui est juste au dessus donc ça sera en fait la 8ème valeur de la série attention de la série qui a été ordonnée donc on va aller compter la 8ème valeur, voilà donc Q1, le 1er quartile, est égal à 7. Qu’est-ce que ça signifie ? Hé bien, ça signifie que qu’on environ un quart ou 25% des élèves qui ont une note inférieure ou égale à 7.
On continue avec le 3ème quartile donc au lieu de faire 1 /4 de N, on fait 3 / 4 de N donc en fait il suffit de multiplier ce 7,5 par 3 et cela va nous donner 22,5 donc notre 3ème quartile, Q3, pour l’obtenir on va encore arrondir ce nombre à l’entier supérieur et donc ça sera la 23ème valeur de la série ordonnée. Donc on va aller voir quelle est la 23ème valeur donc Q3, ici, sera égal à 15 ce qui signifie qu’on a environ 3 / 4 ou 75% des élèves qui ont une note inférieure ou égale à 15 sur 20. Alors une petite constatation avant d’aller vérifier nos résultats sur la calculatrice, il faut que tu saches que les quartiles, que ça soit Q1 ou Q3, sont forcément des valeurs de ma série de nombres : ici on a trouvé Q1 = 7 et Q3 = 15, contrairement à la médiane, elle, qui n’est pas forcément une valeur de ma série puisqu’ici j’avais trouvé une médiane égale à 11; c’était du au fait que j’avais un effectif total N qui était pair.

Alors on va vérifier maintenant nos résultats sur calculatrice, je vais te montrer comment faire ça.
Sur TI, ici dans L1 on a notre série de notes, on va dans stat, dans l’onglet calcul, on va choisir les stats à 1 variable donc 1er menu et on va dire de faire les stats à 1 variable sur la liste 1 donc seconde 1, entrer. On a un certain nombre de paramètres qui s’affichent ici : x barre ici on reconnait la moyenne, sigma x c’est l’écart-type, n = 30 c’est notre effectif total, si on descend voilà on retrouve notre médiane qui est égale à 11, Q1 = 7 et Q3 = 15. Alors attention ! Parfois la calculatrice se trompe dans les calculs de Q1 et Q3 et nous donnent des valeurs qui ne sont pas des valeurs de la série donc attention à ce petit problème, tu dois faire les calculs à la main c’est toi qui a forcément raison, la calculatrice peut se tromper sur Q1 et Q3.
Sur Casio maintenant, on a nos notes qui sont rangées dans la liste 1. Alors je vais revenir au menu principal, je vais aller dans calcul, on va faire des statistiques à une variable sur la liste 1 donc on va aller régler ça dans set ici, ici en 1ère ligne je dois avoir la liste 1 et en 2ème ligne je dois avoir 1 c’est-à-dire qu’en fait toutes les notes sont affectées du coefficient 1, de l’effectif 1 si tu veux. Donc si c’est réglé comme ceci, on est bon, on peut aller sur 1 variable ici, on a x barre = 10,7 c’est la moyenne, N = 30 notre effectif total et si on descend on retrouve nos paramètres : médiane = 11, Q1 = 7, Q3 = 15.

Exemple #2 : tableau de notes et effectifs

Maintenant voici un exemple 2 où on nous donne, sous forme de tableau, les notes obtenues dans la classe que j’ai nommé B au même contrôle de maths que la classe A donc ici, en 1ère ligne, on a les notes obtenues, les notes des élèves et en dessous on a les effectifs c’est-à-dire qu’ici j’ai 2 élèves qui ont eu 1 sur 20, 3 élèves qui ont eu 4 sur 20 etc.
Il s’agit de déterminer, comme tout à l’heure, la médiane et les 1er et 3ème quartiles de la série de notes. Alors on a dit que, pour calculer ces paramètres, il fallait que notre série soit rangée dans l’ordre croissant d’abord donc tu vois que mes notes, ici, y’a pas de problèmes elles sont bien dans l’ordre croissant.

La note médiane

Alors on peut commencer à calculer la médiane de ces notes. Le raisonnement est le même que tout à l’heure, je commence par donner l’effectif total N donc pour avoir l’effectif total il faut additionner tous ces effectifs 2 + 3 + 6 etc je te laisse le faire, on va trouver 27 et contrairement à toute à l’heure on trouve un nombre impair. Alors qu’est-ce que ça va signifier ? Hé bien quand tu vas couper ta série en 2, que tu vas fair N / 2 cela va nous faire 27 / 2 = 13,5. Mes 27 valeurs elles sont réparties comme ceci : on a tout d’abord les 13 premières valeurs, on a les 13 dernières valeurs cela nous fait 26 valeurs et 1 valeur ici au milieu qui sera forcément notre médiane. Donc si tu as compris ça, on va pouvoir dire que la médiane est la 14ème valeur de la série ordonnée. Tu es d’accord hein ? Puisqu’ici j’ai 13 valeurs, la médiane c’est celle qui est juste après donc c’est la 14ème donc tu vois que quand on a un effectif total qui est impair hé bien la médiane sera une valeur de ma série et non la moyenne entre 2 valeurs.
Alors comment est-ce que je vais faire pour obtenir la 14ème valeur de cette série de notes en sachant qu’elle est donnée sous forme d’un tableau comme ceci ? Alors je vais t’inviter comme moi à rajouter une ligne sous le tableau pour pouvoir mettre ce qu’on appelle les effectifs cumulés croissants (je vais noter ça sous la forme ECC). Qu’est-ce ça signifie ? Hé bien tout d’abord les 2 premières notes elles sont égales à 1, je vais cumuler avec les 3 notes suivantes cela va me donner 2 + 3 = 5 puis je vais cumuler avec les 6 notes suivantes 5 + 6 ça va me donner 11 et je répète ce processus 11 + 4 = 15, 15 +3 =18, 18 + 4 = 22, 22 + 1 = 23, 23 + 1 = 24, 24 + 2 = 26, 26 + 1 = 27 donc normalement quand j’ai cumulé tous les effectifs, j’obtiens à la fin mon effectif total 27. Donc comment est-ce que je vais obtenir ma médiane maintenant ? Grâce à ces effectifs cumulés croissants. Hé bien c’est la 14ème valeur donc tu vois qu’ici la 11ème valeur c’est la note 5 sur 20 donc la 12ème valeur ça sera la note 8 sur 20, la 13ème valeur également, la 14ème également et la 15ème valeur également et la 16ème valeur ça sera la note 9 donc si tu as compris le processus la 14ème valeur ça sera 8 sur 20 et ma médiane sera donc égale à 8.

Le 1er quartile des notes

Maintenant calculons les quartiles de cette série de notes. Tout d’abord pour le 1er quartile on calcule N / 4 c’est-à-dire 27 / 4 cela nous donne 6,75 donc comme tout à l’heure on arrondie à l’entier supérieur et on peut dire que Q1 est la 7ème valeur de cette série de notes. Donc on utilise les ECC, ici jusqu’à la 5ème valeur c’est la note 4 donc de la 6ème jusqu’à la 11ème valeur c’est la note 5 en particulier la 7ème valeur ça sera 5 donc Q1 = 5.

Le 3ème quartile des notes

Pour le 3ème quartile, on calcule 3N / 4 en faisant 3 x 6,75 cela nous donne 20,25 et on arrondit à l’entier supérieur pour dire que Q3 est la 21ème valeur de cette série de notes. On regarde de nouveau au niveau des ECC, alors ici la 18ème valeur c’était 9 donc la 19ème jusqu’à la 22ème c’est 10 en particulier la 21ème ça sera donc la note 10 sur 20 donc Q3, mon 3ème quartile, est égal à 10.
Je te propose de retrouver ces résultats sur calculatrice tout d’abord sur TI. Donc je retourne dans stat, edit et je dois d’abord entrer ce tableau avec les notes disons dans la liste 2 et les effectifs dans la liste 3. Voilà mes notes sont rentrées dans liste 2 et mes effectifs dans liste 3 et je vais aller dans stats, calcul, stat à 1 variable par contre je vais préciser de les faire dans la liste 2 virgule la liste 3, entrer. Je retrouve ici N = 27 mon effectif total, je descends et j’obtiens ma médiane qui est égale à 8, Q1 = 5 et Q3 = 10.
Sur Casio à présent, je vais entrer dans la liste 2 mes notes et dans la liste 3 les effectifs. Voilà donc les notes sont entrées dans la liste 2 et les effectifs dans la liste 3, je vais aller sur calc ici et je vais aller régler les paramètres. Dans la 1ère ligne, je vais mettre la liste 2 et dans la 2ème ligne je vais mettre la liste 3. Voilà je sors exit et je vais faire les statistiques à 1 variable ici sur la touche F1 donc ici N = 27 c’est mon effectif total, je descends et j’obtiens bien ma médiane qui est égale à 8, Q1 = 5 et Q3 = 10. C’est ce qu’on avait obtenu par calculs.

Interprétation de la médiane et des quartiles

On va maintenant passer à l’interprétation des résultats. Il s’agit de comparer la note médiane et l’écart interquartile dans les 2 classes (la classe A et la classe B) et d’interpréter les résultats. Donc tu vois ici j’ai reporté les résultats qu’on avait obtenu : dans la classe A la médiane et les quartiles, dans la classe B également. Alors si on compare les médianes, dans la classe A on a une médiane de 11, dans la classe B une médiane de 8; la médiane elle coupe la série en 2 donc ça veut dire que, dans la classe A, on a environ la moitié des élèves qui ont moins de 11 sur 20 et l’autre moitié qui a plus de 11 sur 20. Dans la classe B, il y a environ la moitié des élèves qui a moins de 8 sur 20 au contrôle de maths, une note inférieure ou égale à 8 donc on peut dire globalement la classe B semble plus faible que la classe A.
Ensuite, si on compare l’écart interquartile alors qu’est-ce que c’est ? Hé bien si tu as Q1 = 7 et Q3 = 15 l’écart interquartile c’est la différence Q3 – Q1 qui est ici égale à 15 – 7 = 8 pour la classe A. Et pour la classe B, quand je fais Q3 – Q1 c’est égal à 10 – 5, c’est égal à 5 donc tu vois que l’écart interquartile dans la classe B, il est plus faible que dans la classe A ça signifie en fait que dans la classe B les notes sont moins dispersées autour de la médiane que dans la classe A. Pourquoi cela ? Hé bien il faut que tu saches que l’écart interquartile Q3 – Q1 il mesure la dispersion de tes valeurs autour de la médiane donc plus il est grand et plus tes valeurs sont dispersées autour de ta médiane donc ici on pourrait dire que, comme l’écart interquartile dans la classe A est supérieur à celui de classe B, hé bien les élèves ont un niveau plus hétérogène que les élèves de la classe B qui, eux, ont un niveau plus homogène. Voilà c’est comme cela qu’on pourrait interpréter la médiane et les quartiles d’une série statistique.

Médiane et quartiles : la conclusion

C’est la fin de cette vidéo sur la médiane et les quartiles d’une série statistique. J’espère que maintenant tu es capable de calculer ces paramètres lorsqu’on te donnera une série de nombres et que tu es capable également de retrouver tes résultats grâce à la calculatrice dans le menu « statistiques ». Je t’invite à télécharger la feuille d’exercices juste en dessous de la vidéo pour t’exercer et n’hésite pas à vérifier tes résultats grâce au corrigé que tu peux télécharger également juste après la vidéo. Voilà je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très très bientôt, salut !