Bienvenue dans cet article dédié aux intervalles de R, un concept fondamental en mathématiques, particulièrement utilisé tout au long de la scolarité au lycée.
Pour mieux comprendre cette notion essentielle, tu pourras visionner une vidéo qui t’expliquera tout ce qu’il faut savoir sur les intervalles de R.
Après la vidéo, tu pourras télécharger la feuille d’exercices sur cette notion et également son corrigé !
🔎 Qu’est-ce qu’un intervalle de R ?
Un intervalle de R est une partie de la droite des réels sans trou. Pour mieux comprendre, imaginez la droite des réels, une ligne infinie qui regroupe tous les nombres réels possibles. Une partie sans trou signifie que cette portion de la droite est continue, sans interruption.
Voici les différentes formes que peut prendre une partie sans trou sur la droite des réels :
- L’ensemble vide : un ensemble sans aucun élément, noté ∅.
- Un point : un ensemble contenant un seul nombre réel, noté {a}.
- Un segment : un ensemble de nombres compris entre deux réels a et b.
- Une demi-droite : une portion infinie de la droite à partir d’un point a vers +∞ ou -∞.
- La droite entière : l’ensemble de tous les nombres réels, noté R.
En résumé, un intervalle peut être vide, un point, un segment, une demi-droite ou la droite entière des réels.
📏 Les intervalles bornés : les segments
Considérons deux nombres réels a et b avec a < b. Le segment entre ces deux points peut être défini selon quatre cas, selon que les extrémités soient incluses ou exclues :
- Intervalle fermé [a, b] : les deux extrémités a et b sont incluses. Le crochet est tourné vers l’intérieur (crochet fermé) et l’ensemble comprend tous les réels x tels que a ≤ x ≤ b.
- Intervalle ouvert ]a, b[ : les extrémités a et b sont exclues. Les crochets sont tournés vers l’extérieur (crochet ouvert) et l’ensemble comprend tous les réels x tels que a < x < b.
- Intervalle semi-ouvert [a, b[ : a est inclus (crochet fermé) et b exclu (crochet ouvert), donc a ≤ x < b.
- Intervalle semi-ouvert ]a, b] : a est exclu (crochet ouvert) et b inclus (crochet fermé), donc a < x ≤ b.
Ces notations sont essentielles pour exprimer précisément quels nombres appartiennent à un intervalle donné.
📝 Exercices pratiques sur les intervalles bornés
Pour vérifier votre compréhension, voici quelques exemples à analyser :
- Le nombre 4 appartient-il à l’intervalle [1, 6[ ? Oui, car 4 est entre 1 et 6, et 1 est inclus tandis que 6 est exclu.
- Le nombre 4 appartient-il à l’intervalle [1, 4] ? Oui, 4 est inclus dans l’intervalle fermé.
- Le nombre 1 appartient-il à l’intervalle ]1, 4] ? Non, car 1 est exclu (crochet ouvert).
- Le nombre 0 appartient-il à l’intervalle [1, 4] ? Non, 0 est en dehors de l’intervalle.
Ces exemples montrent l’importance de bien identifier les crochets ouverts et fermés pour comprendre l’appartenance d’un nombre à un intervalle.
↔️ Les intervalles non bornés : les demi-droites
Les demi-droites sont des intervalles qui s’étendent à l’infini d’un côté. En partant d’un réel a, on peut définir quatre cas :
- [a, +∞[ : tous les réels x ≥ a, avec a inclus (crochet fermé) et +∞ toujours avec un crochet ouvert.
- ]a, +∞[ : tous les réels x > a, avec a exclu (crochet ouvert).
- ]-∞, a] : tous les réels x ≤ a, avec a inclus et -∞ toujours avec un crochet ouvert.
- ]-∞, a[ : tous les réels x < a, avec a exclu.
Les crochets au niveau des infinis sont toujours ouverts car on ne peut jamais atteindre l’infini. Ces intervalles sont très fréquents pour décrire des ensembles de nombres qui ne sont pas limités d’un côté.
📝 Exercices pratiques sur les demi-droites
- Le nombre 6 appartient-il à [5, +∞[ ? Oui, 6 est plus grand que 5.
- Le nombre -1 appartient-il à ]0, +∞[ ? Non, -1 est plus petit que 0.
- Le nombre -1 appartient-il à ]-∞, -1] ? Oui, le crochet en -1 est fermé.
- Le nombre 0 appartient-il à ]-∞, 0[ ? Non, 0 est exclu (crochet ouvert).
🌐 L’intervalle R : la droite réelle entière
L’ensemble R des nombres réels est lui-même un intervalle, qui s’écrit :
]-∞, +∞[
Les crochets aux infinis sont ouverts, ce qui signifie que cette droite ne commence ni ne finit jamais. Cet intervalle contient tous les nombres réels possibles, sans exception.
➕ Quelques intervalles particuliers
Parmi les intervalles importants, on trouve :
- R+ : l’ensemble des réels positifs ou nuls, soit [0, +∞[.
- R+* : les réels strictement positifs, soit ]0, +∞[.
- R- : les réels négatifs ou nuls, soit ]-∞, 0].
- R-* : les réels strictement négatifs, soit ]-∞, 0[.
Ces ensembles sont très utilisés en mathématiques pour décrire des domaines de définition ou des contraintes.
🧩 Exercice récapitulatif
Pour finir, un exercice consiste à compléter un tableau comprenant :
- La notation de l’intervalle
- L’expression sous forme d’inéquation
- La représentation graphique
- La lecture orale de l’intervalle
Par exemple :
- Intervalle : [0, 4[
- Inéquation : 0 ≤ x < 4
- Graphique : segment entre 0 (crochet fermé) et 4 (crochet ouvert)
- Lecture : 0 fermé 4 ouvert
Cet exercice permet de consolider la compréhension des différents types d’intervalles et de leur notation.
🎯 Conclusion
Les intervalles de R sont une notion incontournable en mathématiques, particulièrement au lycée. Ils permettent de définir précisément des ensembles de nombres réels, qu’ils soient finis ou infinis, avec des bornes incluses ou exclues. Comprendre la notation, le sens des crochets ouverts et fermés, ainsi que la représentation graphique est essentiel pour progresser en mathématiques.
Je t’encourage à t’entraîner avec cette feuille d’exercices sur les intervalles en maths.
Et voici le corrigé des exercices pour vérifier tes réponses.
Avec un peu de pratique, les intervalles deviendront un outil simple et naturel dans ton parcours mathématique.
Bon courage et à très bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !
À toi maintenant !
Si tu veux me poser des questions ou t’exprimer sur la vidéo, n’hésite pas à laisser un commentaire juste en-dessous👇.