Equations du second degré [Vidéo](Première)

Salut et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet.
Dans cette nouvelle vidéo, je vais t’expliquer comment résoudre des équations du second degré c’est-à-dire des équations ou tu as x au carré, x puissance 2, x du second degré. Alors c’est une notion que tu vois généralement en première mais sache qu’elle est ultra importante pour la suite notamment en terminale lorsque tu auras à étudier des fonctions donc je t’invite à suivre correctement cette vidéo, à bien manipuler toutes ces formules et je t’expliquerai notamment à la fin de la vidéo comment faire lorsque tu tombes sur des racines qui ne tombent pas juste. Voilà je te dis à tout de suite, c’est parti !!

Alors pour commencer il est assez légitime de se poser cette question : c’est quoi une équation du second degré ? Pour y répondre, j’aimerai bien que tu distingues ce que c’est un polynôme ou un trinôme du second degré d’une équation du second degré.
Alors pour ce qui est du polynôme, on dit aussi trinôme du second degré, c’est une expression de ce type a fois x au carré + b fois x + c ou les coefficients a, b, c sont des nombres fixés par l’avance dans R. Cela est un polynôme du second degré. Maintenant pour en faire une équation du second degré hé bien il suffit tout simplement d’écrire ax au carré + bx + c = 0 et là j’ai une équation du second degré et donc les solutions de cette équation ce seront en fait les nombres x qui vérifient cette équation.
Si je reviens ici au polynôme ou au trinôme du second degré, hé bien ce que je vais appeler les racines du polynôme ce seront les nombres x qui annulent ce polynôme. Donc tu fais bien attention au vocabulaire : si je parle d’un polynôme ou d’un trinôme du second degré hé bien les valeurs x qui l’annule ça s’appelle des racines, en revanche si je parle de l’équation du second degré égale 0, hé bien les solutions ça ne s’appellent pas des racines, ça s’appellera bien des solutions.

Alors maintenant l’objectif de cette vidéo est de savoir comment faire pour résoudre une équation du second degré de ce type : ax au carré + bx + c = 0. Hé bien, tu regardes bien tes 3 coefficients a, b et c et avec ces 3 coefficients tu vas calculer ce qu’on appelle le discriminant du polynôme. Il va se noter avec la lettre grecque delta (juste un petit triangle comme ça ) et ce delta en fait sera égal au calcul suivant b au carré – 4ac. Une fois que tu auras calculé ce discriminant delta, on va avoir trois cas.

– Le 1er cas c’est si delta est un nombre strictement négatif. Hé bien alors, mon équation n’aura pas de solutions dans l’ensemble des nombres réels, dans R. Alors si tu es en terminale S, tu apprendras qu’en fait elle a des solutions mais pas dans R. Elle aura des solutions dans un ensemble plus grand que R qui s’appelle C et qui est en fait l’ensemble des nombres complexes. Je n’en parle pas pour le moment, ça fera l’objet d’une prochaine vidéo.

– Le 2ème cas c’est si delta te donne 0. Hé bien alors ton équation admettra une unique solution. Alors cette unique solution en général on va la noter x indice 0, x°. Comment je vais la calculer ? Hé bien il suffit juste d’appliquer cette formule : x0= -b sur deux fois a, avec les coefficients a et b de ton équation ici.

– Enfin le dernier cas est le cas ou delta est strictement positif. Alors mon équation aura deux solutions distinctes que je vais noter x1 et x2. Alors comment les calculer ces deux solutions ? Hé bien il suffit tout simplement d’appliquer les formules suivantes : x1 ça sera égal à -b – racine carré de delta sur 2a. Et x2 sera égal à -b + racine carré de delta sur 2a.
A savoir que comme delta lui est strictement positif, il est légitime de faire sa racine carré.

Une petite astuce pour retenir le deuxième cas : hé bien en fait le 2ème cas se déduit du 3ème cas. En effet, si delta vaut 0 tu vois bien que racine carré de delta ça fait racine de 0 qui fait 0. Et à ce moment là ça disparait ici et il te reste uniquement -b sur 2a, c’est bien la racine x0. Alors justement je viens d’utiliser le mot racine, tu te souviens maintenant que si je parle de racine hé bien je parlerai uniquement du trinôme et je ne parlerai pas de l’équation. Donc voilà pour ces résultats, alors tu n’as pas le choix il va falloir que tu les apprennes par coeur si tu ne les connais pas encore pour pouvoir être à l’aise quand on va te demander de résoudre une équation du 2nd degré. Donc on va essayer de s’entrainer tout de suite sur des exemples pour pouvoir bien manipuler ces formules et les intégrer.

Commençons par un 1er exemple dans lequel il faut résoudre l’équation 2x au carré – 4x + 3 = 0. Alors tu es d’accord avec moi, c’est une équation du second degré. Alors je commence par écrire mes 3 coefficients : mon nombre a qui vaut 2 (c’est ce qui est devant x au carré), mon nombre b qui est devant x qui vaut -4 et le nombre c c’est la constante qui nous reste c’est égal à 3. Ensuite avec ces trois coefficients, je calcule le discriminant delta qui est égal à b au carré – 4ac. On remplace alors b vaut -4, je le met entre parenthèse au carré (n’oublies pas les parenthèses surtout). -4 fois a qui vaut 2 et fois c qui vaut 3. Ensuite je fais mon calcul : donc -4 au carré, -4 fois -4 ça fait 16 – 24 et au final delta est égal à 16 – 24 c’est-à-dire à -8. Et je regarde son signe, tu vois bien que delta ici est un nombre strictement négatif donc mon équation, on l’a dit précédemment qu’elle n’a pas de solutions attention de bien rajouter dans R. Donc si je dois donner son ensemble de solutions, hé bien grand S est égal à l’ensemble vide.

Alors on poursuit avec un 2ème exemple : il faut résoudre l’équation -9x au carré + 6x – 1 = 0. Alors peut-être que tu peux mettre la vidéo sur pause et le faire tout seul, voir si tu y arrives et on se reparle dans deux minutes pour comparer nos résultats. Alors comme d’habitude je commence par écrire mes 3 coefficients : a est égal à -9, b est égal à 6, c est égal à -1 et j’entame le calcul de delta qui est égal à b au carré – 4ac. Je remplace : b valait 6 donc 6 au carré – 4 fois a qui vaut (-9), attention de mettre les parenthèses fois c qui vaut (-1-) et on met des parenthèses. On calcule : 6 au carré, 6 fois 6 ça fait 36, moins fois moins fois moins, y’en a 3 donc ça me fera moins 36 et 36 – 36 c’est égal à 0. Donc je me retrouve avec un delta qui est nul donc, on l’a dit précédemment, mon équation va admettre une unique solution qui se note x0, alors tu te rappelles de la formule, c’est égal à -b sur 2a. Hé bien il suffit de remplacer b il vaut 6 et 2 fois a qui vaut (-9) comme ceci donc ça va me faire (-6) sur (-18) alors tu vois qu’ici – et – ça fait plus donc on peut les enlever et je peux diviser en haut et en bas par 6 dans cette fraction. Alors 6 sur 6 ça fait 1 et 18 sur 6 ça fait 3 donc voici la solution de mon équation, x0 = 1/3 et donc si je veux donner l’ensemble des solutions de mon équation, je le note comme ceci entre accolades.

Alors voici un troisième exemple ou il faut résoudre l’équation -x au carré + 2x + 3 = 0. Donc tu peux comme précédemment mettre ta vidéo sur pause pour le faire seul et on se reparle dés que t’as terminé. Alors ici les coefficients sont a = -1 (tu vois là le nombre devant x au carré c’est bien -1), b lui est égal à 2 et c est égal à 3. On calcule delta notre discriminant qui est égal à b au carré – 4ac. Cela nous donne 2 au carré – 4 fois (-1) fois 3. 2 au carré égal 4, moins fois moins ça fait plus, 4 fois 1 4, fois 3 12 et 4 + 12 c’est égal à 16. Donc ici on a affaire à un delta qui est strictement positif et dans la même foulée, tu vois pour simplifier mes calculs par la suite vu que je vais avoir besoin de racine carré de delta, je vais le calculer tout de suite. C’est égal à racine de 16 et racine de 16 tu sais que ça fait 4. Donc finalement mon équation elle va admettre 2 solutions distinctes que j’avais noté tout à l’heure x1 et x2, on va garder les mêmes notations. x1 c’est égal à -b – racine carré de delta / 2a donc on va tout simplement remplacer : alors -b ça va me faire -2 – racine carré de delta on la calculé ici ça donne 4 sur 2a qui vaut (-1). On calcule tout ça : -2 – 4 ça fait -6 / -2 et au final moins par moins ça fait plus et 6/2 c’est égal à 3. Donc voici pour la 1ère racine, on y va pour la deuxième racine x2 = -b + Racine carré de delta / 2a, donc on fait comme précédemment on remplace. -2 + 4 / -2, -2 + 4 ça nous fait 2 donc on se retrouve avec 2 / (-2) et ça c’est égal à -1 et au final l’ensemble des solutions de mon équation, il est constitué de 2 nombres : 3 et -1 que je note comme ceci entre accolades. C’est ce que tu avais trouvé ?

Alors pour terminer je souhaiterai que l’on traite un 4ème exemple dans lequel j’ai légèrement modifié l’énoncé. Je te demande de déterminer non plus les solutions d’une équation mais cette fois ci les racines d’un trinôme du 2nd degré qui est le trinôme suivant : f(x) = 3x au carré – 10x – 2.
Alors pour faire on procède exactement de la même manière que précédemment donc on va calculer delta, d’abord on donne les coefficients a, b et c. Donc a=3; b=-10; c=-2; Pour delta c’est toujours la même formule : b au carré – 4ac. Ici ça nous donne (-10) qui est au carré – 4 fois 3 fois (-2). On calcule tout ça : -10 fois -10 ça fait 100, moins fois moins ça fait plus, 4 fois 3 égal 12 fois 2, 24 et 100 + 24 ça fait 124.
On se retrouve donc avec un delta positif et je t’ai dis dans la même foulée de calculer racine carré de delta qui va être utilisé pour le calcul des racines ensuite. Alors la racine de delta est égal à la racine du nombre 124. Le problème c’est que c’est une racine qui ne tombe pas juste comme tout à l’heure ou j’avais racine de 16 qui est égal à 4; Alors qu’est-ce que je fais dans ces cas là ? Hé bien j’essaie de trouver une décomposition pour 124. Qu’est-ce qui va me faire 124 ? Alors déjà tu vois c’est un nombre qui est pair donc ça sera 2 fois quelque chose, ici c’est 2 fois 62 qui fait 124. Je continue à décomposer un petit peu : alors 2 je peux rien faire avec 2, mais 62 tu vois que c’est encore un nombre pair donc il est divisible par 2 et 62 tu es d’accord avec moi que ça fait 2 fois 31. Finalement je me retrouve avec 4 fois 31 pour le nombre 124, du coup dans ma racine carré je vais remplacer 124 par sa décomposition 4 fois 31. Qu’est-ce que je vais en faire ? Hé bien tu sais que la racine d’un produit peut se décomposer en le produit des racines donc ça va me faire racine de 4 fois racine carré de 31 et ça c’est assez sympa puisque racine de 4 c’est égal à 2 et on va conserver racine de 31 qui ne peut plus se simplifier. Donc surtout quand tu as une racine de delta qui ne tombe pas juste, il faut simplifier absolument ta racine carré comme je viens de le faire ici c’est-à-dire en décomposant ton nombre sous ta racine. D’accord ça c’est une étape essentielle, surtout tu dois le faire puisque tu vas voir maintenant que mon trinôme f(x) il va avoir donc deux racines et mes racines je vais pouvoir les simplifier correctement. Alors tu as remarqué là dans ma phrase, je n’ai pas parlé de solutions d’équation, j’ai parlé de mon trinôme f(x) et j’ai dis qu’il a deux racines distinctes.

Alors les calculs ils sont comme précédemment alors : x1 = -b – racine carré de delta / 2a. Alors je vais le faire en ligne ce calcul, ça sera plus simple. Donc ici -b ça me fait moins moins 10, ça me fait 10 – racine de delta que je remplace par 2 racine carré de 31 / 2 fois a qui vaut 3. Arrivé à ce stade, il ne faut pas que tu bloques : c’est très facile je vais couper cette fraction en 2 fractions, c’est la méthode la plus simple pour la simplifier. Cela va me donner 10 / 2 fois 3, alors 10 tu me permets d’écrire que c’est 2 fois 5, sur 2 fois 3 – 2 racine de 31 sur 2 fois 3. Alors c’est quoi l’intérêt de séparer cette fraction en 2 fractions ? Hé bien maintenant t’as le droit de simplifier la 1ère fraction par 2 et la 2ème fraction par 2 et tu vas te retrouver finalement avec 5 sur 3 – racine de 31 sur 3 que tu peux tout mettre sur 3 finalement et ça va nous donner 5 – racine de 31 / 3. Voilà pour ta 1ère racine x1.

On va faire le même travail sur la 2ème racine x2. Donc la formule c’est toujours la même -b + racine de delta / 2a, ça va nous donner 10 + 2 racine de 31 / 2 fois 3. Avec le même procédé tu sépares ça en deux racines, en deux fractions et donc tu vas te retrouver avec 10 c’est-à-dire 2 fois 5 / 2 fois 3 + 2 racine de 31 / 2 fois 3. Voilà donc là tu peux simplifier chacune des 2 fractions par 2 et tu te retrouves avec 5 + racine de 31, le tout sur 3. Voilà et ici je ne vais pas donner l’ensemble grand S des solutions puisque je ne résous pas une équation, je cherche juste les racines du trinôme f(x) donc je viens de les donner et l’exercice est terminé.

Hé bien notre vidéo est à son terme à présent, j’espère qu’elle aura permis de bien cerner tous les éléments pour pouvoir résoudre des équations du second degré et notamment dans le dernier exemple ou on a traité le cas d’une racine de delta qui ne tombait pas juste. Voilà tu dois vraiment manipuler cette technique pour pouvoir avoir des racines carré qui sont jolies, pas des racines avec des nombres à virgules, infinies et qui sont horribles sur une copie de maths donc je t’invite pour t’entrainer à télécharger la feuille d’exercices qui est juste en bas de la vidéo et pour vérifier tes erreurs n’hésites pas à regarder le corrigé que tu peux télécharger librement. Voilà je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très bientôt pour une prochaine vidéo, salut !!!