Bienvenue dans cet article dédié à la résolution d’une équation produit nul.
Je suis Corinne Huet, professeure agrégée de mathématiques, et je vais t’expliquer pas à pas comment aborder ce type d’équation très fréquent en mathématiques, notamment au collège et au lycée.
Que tu sois en train de réviser ou que tu souhaites simplement comprendre cette méthode essentielle, cet article est fait pour toi !
🔍 Comprendre la propriété principale de l’équation produit nul
Avant de se lancer dans la résolution, il est important de bien comprendre la propriété fondamentale qui régit les équations produit nul. Cette propriété dit simplement :
« Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. »
En termes mathématiques, si on a une multiplication de deux facteurs, par exemple :
a × b = 0
alors cette égalité est vraie si et seulement si :
a = 0 ou bien b = 0.
Cette propriété s’étend naturellement à plusieurs facteurs : si tu as :
a × b × c = 0
alors au moins un des facteurs a, b ou c doit être nul. Il n’est pas nécessaire que tous soient nuls, un seul suffit.
⚠️ Attention : cette règle ne fonctionne que si le produit est égal à zéro. Si le produit est égal à un autre nombre (comme 12), on ne peut pas utiliser cette méthode.
Cette règle est la clé pour résoudre rapidement les équations produit nul, car elle permet de transformer une seule équation complexe en plusieurs petites équations simples à résoudre individuellement.
🧮 Exercice pratique : résoudre l’équation (2x + 6)(4 – x) = 0
Prenons un exemple concret :
(2x + 6)(4 – x) = 0.
On reconnaît ici un produit de deux facteurs égal à zéro. Grâce à la propriété principale, cette équation est équivalente à :
2x + 6 = 0 ou bien 4 – x = 0.
Il suffit donc de résoudre chacune de ces équations du premier degré séparément.
🔹 Résolution de la première équation :
2x + 6 = 0
1. On isole x : 2x = -6
2. On divise par 2 : x = -3
✅ Première solution : x = -3
🔹 Résolution de la deuxième équation :
4 – x = 0
On isole x : 4 = x
✅ Deuxième solution : x = 4
✅ Conclusion : ensemble des solutions
Une fois les deux équations résolues, on rassemble les solutions dans un ensemble :
S = { -3 ; 4 }
Cela signifie que les deux valeurs x = -3 et x = 4 rendent l’équation vraie. Tu peux toujours vérifier tes solutions en les remplaçant dans l’équation de départ.
📚 Ressources complémentaires et conseils
Tu sais maintenant comment résoudre une équation produit nul en décomposant le produit en facteurs et en résolvant chacune des petites équations correspondantes.
📝 Pour progresser davantage, je t’encourage à t’exercer régulièrement. Tu peux télécharger cette feuille d’exercices corrigés spécialement dédiée à ce sujet. Cela te permettra de t’entraîner, de vérifier tes réponses, et de gagner en rapidité.
💡 Pour approfondir tes compétences, tu peux aussi revoir les méthodes liées :
– à la résolution d’équations de type x² = a
– à la résolution d’équations du premier degré
– au développement d’identités remarquables.
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✍️ En résumé
– Une équation produit nul est une équation où un produit de facteurs est égal à zéro.
– La propriété clé : un produit est nul si au moins un facteur est nul.
– Pour résoudre, il faut poser chaque facteur égal à zéro et résoudre chaque équation séparément.
– On rassemble ensuite toutes les solutions dans un ensemble.
Tu as désormais toutes les clés en main pour aborder sereinement ce type d’équation !
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À très bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !