Bienvenue dans cet article dédié à la résolution des équations du second degré simples, plus précisément celles de la forme x² = a .
Je suis Corinne Huet, professeure agrégée de mathématiques, et je vais te guider pas à pas pour comprendre cette équation essentielle en mathématiques.
Que tu sois au collège ou au lycée, maîtriser cette technique bâtira des bases solides et te permettra de résoudre rapidement et efficacement ce type d’équations, fréquemment rencontrées dans les exercices et les contrôles.
🔍 La propriété fondamentale pour résoudre l’équation du second degré x² = a
Pour résoudre une équation du second degré du type x² = a , où a est une constante réelle, il est important de connaître la nature de a . Cette constante peut être n’importe quel nombre réel : 0, un entier, un nombre décimal, π, ou même un très grand nombre. La solution dépendra essentiellement du signe de a .
Voici la propriété clé :
- Si a est négatif : L’équation x² = a n’a pas de solution réelle. En effet, un carré est toujours positif ou nul, donc il est impossible qu’il soit égal à un nombre négatif.
- Si a est nul : L’équation x² = 0 admet une seule solution, qui est x = 0 .
- Si a est strictement positif : L’équation a deux solutions réelles distinctes, données par x = √a et x = -√a .
Cette propriété simple mais fondamentale te permet de résoudre toute équation du second degré sous cette forme, en fonction du signe de la constante a .
📝 Exercices pratiques : appliquer la méthode sur plusieurs exemples
Pour bien comprendre, passons en revue 4 équations différentes et voyons comment appliquer cette propriété.
1. L’équation x² = -9
Comme -9 est négatif, cette équation n’a pas de solution réelle. En effet, aucun nombre réel au carré ne peut donner un résultat négatif.
Ensemble des solutions : ∅ (ensemble vide)
2. L’équation x² = 0
Ici, la seule solution est x = 0 . Cela correspond au cas où le carré d’un nombre est nul, donc ce nombre doit être nul lui-même.
Ensemble des solutions : {0}
3. L’équation x² = 9
Le nombre 9 est strictement positif, donc il y a deux solutions :
- x = √9 = 3
- x = -√9 = -3
Ces deux solutions sont valides car 3² = 9 et (-3)² = 9.
Ensemble des solutions : {3, -3}
4. L’équation x² = 17
Pour cette équation, 17 est positif mais pas un carré parfait. La racine carrée de 17 ne se simplifie pas davantage, donc on laisse la solution sous forme de racine :
- x = √17
- x = -√17
Ensemble des solutions : {√17, -√17}
✔️ Résumé et conseils pour résoudre une équation du second degré du type x² = a
Pour conclure, résoudre une équation du second degré du type x² = a est simple si tu appliques la bonne méthode :
- Vérifie le signe de la constante a .
- Si a est négatif, il n’y a pas de solution réelle.
- Si a est nul, la seule solution est zéro.
- Si a est positif, il y a deux solutions : la racine carrée positive et la racine carrée négative de a.
Cette méthode t’évite toute confusion et te donne un cadre clair pour résoudre rapidement ces équations.
📚 Pour aller plus loin
Si tu souhaites t’entraîner davantage, je te propose une feuille d’exercices corrigés spécialement conçue pour pratiquer la résolution des équations du type x² = a .
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À bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !