Asymptote [Vidéo](Terminale)

Salut à toi et bienvenue sur bossetesmaths.com, ici Corinne Huet. Dans cette vidéo je vais t’expliquer comment on arrive à trouver des asymptotes lorsqu’on étudie des limites de fonctions. Donc ça c’est ce que tu fais en général en début de terminale quand tu abordes les limites de fonctions donc je t’explique ça de suite. On va parler d’asymptote verticale et d’asymptote horizontale. A tout de suite !

Alors on va commencer par répondre à cette question : c’est quoi une asymptote ? Pour y répondre, on va se placer dans un repère du plan, alors un repère du plan tu vois ce que c’est hein, ce sont 2 axes avec une origine et une unité sur chaque axe. Ensuite je vais considérer une fonction que j’appelle f qui sera définie sur un intervalle du type a ouvert + l’infini c’est-à-dire qu’elle n’est pas définie en a (le crochet est ouvert). Je pourrai éventuellement traiter le cas de fonctions qui sont définies sur des intervalles du type moins l’infini, a ouvert (on verra par la suite comment ça intervient quand je vais parler d’asymptote) et je vais noter Cf la courbe de cette fonction f dans mon repère comme ceci.

Alors sache qu’en terminale, que ce soit en terminale S ou en terminale ES, on va traiter 2 types d’asymptotes : soit on parlera d’asymptote horizontale ou bien on parlera d’asymptote verticale. Alors voilà comment ça marche : tout d’abord si tu calcules la limite de f(x) quand x tend vers plus l’infini (tu te rappelles notre fonction est définie sur l’intervalle a plus l’infini) et on va faire la limite quand x tend vers plus l’infini, hé bien si tu tombes sur 1 nombre l qui est un nombre fini, un nombre réel et bien je vais dire que la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale à la courbe de f en plus l’infini. Alors évidemment si ta fonction est définie sur un intervalle de ce type là (moins l’infini, a) hé bien la limite que tu calculeras ça sera quand x tend vers moins l’infini évidemment et on dira que c’est une asymptote horizontale en moins l’infini.

Ensuite si tu calcules la limite de f(x) cette fois-ci quand x tend vers a, imagine que tu tombes sur l’infini alors quand je met l’infini c’est soit plus l’infini soit moins l’infini, peu importe. Hé bien à ce moment là je vais dire que la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe de f. Voilà les définitions d’asymptote verticale et d’asymptote horizontale donc pour pouvoir conclure à une asymptote, tu as compris qu’il fallait calculer une limite.

Alors essaie de comprendre ce qu’il va se passer concrètement sur un graphique. On vient d’écrire que quand la limite de f(x), quand x tend vers plus l’infini et est égal à un nombre l (donc tu vois ici mon nombre l hein sur l’axe des ordonnées) ça veut dire que la droite d’équation y = l qui est ici en vert est une asymptote horizontale à la courbe de f; donc ça veut dire quoi concrètement au niveau de la courbe de f ? Hé bien ça veut dire que plus x devient grand (tend vers plus l’infini), plus f(x) se rapproche de l et donc ma courbe concrètement elle va se rapprocher de plus en plus de son asymptote en plus l’infini.
Ensuite en ce qui concerne l’asymptote verticale, si la limite quand x tend vers a ( alors tu vois ici le nombre a sur l’axe des abscisses ) le x est égal a l’infini, par exemple – l’infini ça veut dire plus concrètement que plus je me rapproche de a, plus x se rapproche de a, plus f(x) se rapproche de – l’infini, concrètement ça veut dire que la courbe va se rapprocher de plus en plus de son asymptote en allant vers – l’infini. Alors pour bien comprendre cette notion d’asymptote je te propose un premier exemple dans lequel on prend une fonction f qui est définie sur l’ensemble R privé du nombre 2 et elle est définie par l’expression suivante : f(x) = 3 x-16 le tout sur 2-x. Il y a deux questions, dans la première question on te demande de déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition, R privé de 2 et dans la deuxième question une fois que tu auras calculé les limites on va te demander d’interpréter graphiquement les résultats c’est à dire de parler d’asymptote. Alors pour traiter la première question déjà voyons comment peut s’écrire l’ensemble de définition de notre fonction f c’est à dire R privé de 2. Qu’est-ce que c’est finalement en terme d’intervalle ? Alors je dirai et j’espère que tu es d’accord avec moi, que R privé de 2 c’est l’intervalle – l’infini ; 2 exclus union l’intervalle 2 ; +l’infini avec 2 exclus également. Donc voila en fait ici l’ensemble de définition est une union de deux intervalles et comme on te demande les limites de f aux bornes de son ensemble de définition hé bien en fait on a finalement quatre limites à calculer : la limite quand x tend vers l’infini, vers + l’infini et vers 2 à gauche et à droite. Alors on va commencer d’abord par les limites en l’infini. Tu constates que ta fonction f est une fonction rationnelle c’est à dire que tu as un quotient de deux polynômes 3x – 16 / 2-x. Si tu remplaces mentalement les x par l’infini tu es d’accord que en haut la limite c’est l’infini et en bas aussi donc tu te retrouves avec une forme indéterminée tu type l’infini sur l’infini. Donc, pour avoir la limite de f(x) quand x tend vers l’infini tu connais la méthode il s’agit de prendre les termes de plus haut degrés c’est à dire qu’au numérateur le terme au plus au degrés c’est 3x et au dénominateur le terme de plus haut degrés c’est -x. Donc finalement c’est égal à la limite de 3x sur – x, quand on simplifie les choses est-ce que tu es d’accord qu’ici x / x ça se simplifie puisque ici x ne vaut pas zéro, x tend vers + l’infini ou – l’infini, il est très très grand. Donc je peux simplifier tout par x ici et je me retrouve finalement avec 3 sur -1 et tu vois bien qu’ici ça ne dépend plus de x et donc la limite sera 3 sur -1 = -3. Donc voila, ça c’est valable quand x tend vers + et vers – l’infini.

Alors maintenant qu’on a déterminé la limite de f en – l’infini et + l’infini, il nous reste à voir ce qu’il se passe lorsque x tend vers 2. Alors si je fais les choses naturellement, lorsque x tend vers 2, la limite du numérateur c’est à dire 3x -16 et bien je l’obtient tout simplement en remplaçant x par 2. Ca fait 3 fois 2 – 16, ça nous donne 6-16 c’est à dire -10. Si je recommence ce processus avec le dénominateur, la limite lorsque x tend vers 2 de 2-x, finalement quand je remplace x par 2 ça me donne 2-9 = 0. Alors quand je vais faire le quotient de -10 par 0 ça va me donner une limite qui tend vers l’infini mais je ne sais pas si c’est + l’infini ou – l’infini. Ca va dépendre de la manière dont je tends vers 0, ici est-ce que je tends vers 0 en restant positif ou en restant négatif ? Donc c’est à ce stade là qu’on va distinguer si tend vers 2 en étant plus petit que deux ou plus grand que 2. On va regarder d’abord quand x est inférieur à 2, tu es d’accord que ça va me donner 2-x supérieur à 0, donc finalement ici la limite est égale à 0 mais en restant positif. Enfin, si je fais le quotient par quotient, je vais pouvoir conclure que la limite lorsque x tend vers 2 ou étant inférieur à 2, de f(x), elle est du type -10 sur 0 plus, ça va donc me faire – l’infini. Ensuite je recommence la limite de 2-x quand x tend vers 2 mais cette fois ci lorsque x est supérieur à 2. Alors on sait que ça fait 0 et on sait aussi que comme x est supérieur à 2, 2-x sera inférieur à 0. Il sera négatif donc ici la limite elle vaut 0 et on reste négatif. Finalement lorsqu’on va passer au quotient, la limite de f(x) lorsque x tend vers 2 en étant supérieur à 2, tu vois que ça va me donner une limite du type -10 sur 0 moins donc ça va me donner + l’infini.

On a bien déterminé les limites de f aux bornes de son ensemble de définition, on peut donc passer à la question 2 à savoir l’interprétation graphique de ces résultats. Alors ici j’ai recopié les limites que j’ai obtenues quand x tend vers + l’infini et quand x tend vers – l’infini hé bien f(x) à pour limite -3 et donc je peux dire que la droite d’équation y = -3 est une asymptote horizontale à la courbe de f, je vais noter Cf et je vais préciser que c’est valable en + l’infini et en – l’infini puisque j’ai fais la limite quand x tend vers + l’infini et quand x tend vers – l’infini et j’ai obtenu un nombre réel qui valait -3. Donc voila pour l’asymptote horizontale. Ensuite, comme on a calculer la limite de x quand x tend vers 2 et qu’on a obtenu l’infini que ce soit à droite ou à gauche de 2, on peut conclure que la droite d’équation x=2 est une asymptote verticale à la courbe Cf. Regardons graphiquement ce qu’il se passe avec la calculatrice : donc ici j’ai une TI-83+, ça marche pour toutes les TI-82 et même pour Casio ça sera le même fonctionnement. Donc d’abord je vais dans f(x) pour entrer la fonction : donc c’était 3x – 16 entre parenthèses que je vais diviser par 2 -x aussi entre parenthèses. Je fais « entrer », je vais régler ma fenêtre de telle sorte que sur l’axe des x j’aille de -10 à 10 et sur l’axe des y également de -10 à 10 et j’appuie sur « Graph ». Alors la courbe se trace, qu’est-ce qu’on peut en sortir ici ? Hé bien tu vois qu’ici lorsque y = -3 , mentalement tu peux imagine une droite ici qui est l’asymptote horizontale de ta fonction, donc tu vois quand x tend vers – l’infini ici on se rapproche, quand x tend vers + l’infini ici la courbe se rapproche également de l’asymptote horizontale. Tu peux également imaginer ici une droite verticale d’équation x =2 qui est notre asymptote verticale, donc quand x se rapproche de 2 en étant inférieur à 2, f(x) lui il tend vers – l’infini et quand x se rapproche de 2 en étant supérieur, f(x) tend vers + l’infini. Alors sur des modèles de calculatrice, tu verras l’asymptote verticale qui va se tracer.

Je te propose un deuxième exemple dans lequel on considère une fonction qu’on appelle g qui est définie sur un intervalle -l’infini ; -1 exclu par l’expression suivante : g(x) = 4x-2x au cube sur x au carré -1. Tu vois bien ici que la valeur x = -1 est une valeur interdite puisque quand on remplace x par -1 ici au dénominateur on obtient 0 est c’est interdit de diviser par 0. Alors la question ici est un peu plus vague, on te demande si la fonction g admet des asymptotes. On va voir tout de suite comment on peut y répondre grâce à des calculs de limites. Ici, si tu regardes l’ensemble de définition de g tu comprends rapidement qu’on a deux limites à calculer : la limite lorsque x tend vers – l’infini et la limite lorsque x tend vers -1 en étant inférieur à -1. On va d’abord se concentrer sur la limite en -l’infini et tu constates comme sur l’exemple précédent que ta fonction g en fait c’est une fonction qu’on appelle rationnelle c’est à dire que c’est le quotient de deux polynômes : ici en haut tu as le polynôme de degrés 3 et en bas tu as un polynôme de degrés 2. Donc quand tu vas calculer la limite de g(x) quand x tend vers – l’infini hé bien en fait tu vas uniquement retenir les termes de plus haut degrés dans ce quotient. Donc ici au numérateur, en terme de plus haut degrés ça sera -2x au cube et au dénominateur le terme de plus haut degrés ça sera x au carré. Donc la limite ça sera la limite de -2x au cube sur x au carré. Alors je continue, c’est la limite lorsque x tend vers – l’infini de ce quotient que je vais simplifier : tu vois bien que x au cube sur x au carré ça va s’en aller mais il va me rester un x au numérateur donc finalement il va me rester -2x. Et enfin lorsque x tend vers – l’infini, donc dans ta tête tu vas faire -2 multiplié par – l’infini et ça va donc nous donner une limite qui est égale à + l’infini. Alors on fait le bilan : la limite de g(x), quand x tend vers – l’infini, est égale à + l’infini, ce n’est pas égal à une constante, un nombre réel, c’est vraiment égal à l’infini donc ici tu vois que je ne peux pas conclure à une asymptote horizontale.

Alors on vient de calculer la limite de g(x) en – l’infini, maintenant regardons ce qu’il se passe quand je fais la limite en -1. Alors si on le fait naturellement, on va faire tout d’abord la limite quand x tend vers -1 du numérateur c’est-à-dire de (4x – 2x au cube) et pour faire ça il suffit tout simplement de remplacer tous les x par -1 donc ça va me faire 4 fois (-1) – 2 fois (-1) qui est au cube, ça va nous donner -4 – 2 fois (-1) donc ça nous fait -4 + 2 et finalement cette limite est égale à -2.

Si je recommence cette fois-ci au dénominateur donc la limite lorsque x tend vers -1 de (x au carré – 1). Hé bien quand on remplace x par -1 on obtient (-1) au carré – 1, ça nous fait 1 – 1 et 1 – 1 ça fait 0. Alors ici le quotient va nous donner un quotient du type -2 / 0 et ça je sais que ça me donne l’infini mais reste à savoir si c’est égal à plus l’infini ou moins l’infini. Je dois donc voir si ici je tend vers 0 en étant plus petit que 0 c’est-à-dire négatif ou plus grand que 0 c’est-à-dire positif.
Alors on est d’accord que dans cet exercice x est forcément inférieur à -1 puisqu’on est dans cet intervalle moins l’infini, -1 ouvert. Je dois regarder le signe de ce trinôme (x au carré – 1). Alors je sais pas si tu seras d’accord avec moi mais en gros ici je vais être x au carré – 1; il a 2 racines qui sont -1 et 1 et comme le coefficient qui est devant x au carré c’est-à-dire 1 est positif et bien je met le signe de a partout sauf entre les racines. Donc tu vois qu’ici x tend vers 1 en étant inférieur à 1, hé bien x au carré – 1 lui il va tendre vers 0 en étant positif donc je vais mettre un petit plus ici à mon 0. Donc je peux procéder au quotient et finalement j’obtiens que la limite, lorsque x tend vers -1 en étant inférieur à -1 de g(x), hé bien c’est une limite du type -2 / 0 plus; ça va me faire moins l’infini. Alors est-ce qu’on peut conclure à une asymptote ? Hé bien oui, ici la limite lorsque x tend vers -1 de g(x) c’est égal à moins l’infini donc je peux conclure que la droite d’équation, ici ça sera x = -1 car tu fais la limite quand x tend vers -1. Hé bien je vais dire que cette droite est une asymptote verticale à la courbe de la fonction g.

Alors si je reviens à ma calculatrice, je retourne dans f(x), je supprime l’expression précédente et je vais rentrer donc l’expression de g(x) à savoir (4x – 2x puissance 3) entre parenthèses / par (x au carré – 1). Tu fais entrer. Alors il faut que je dise à ma calculatrice de travailler sur l’intervalle – l’infini, -1 donc je vais aller régler la fenêtre : je vais par exemple prendre pour x minimum -10 et en revanche pour x maximum je vais m’arrêter à -1. Voilà, tu vois les y je les ai mis de -10 à 10, je vais les laisser comme ça pour voir le graphique donc j’appuie sur graph. Voici la courbe de g qui va se tracer ici et tu vois bien que quand x tend vers – l’infini, g(x) lui tend vers plus l’infini et quand x tend vers -1 en se rapprochant de -1 en étant inférieur, hé bien g(x) lui il tend vers – l’infini.

Hé bien c’est la fin de cette vidéo sur les asymptotes. J’espère qu’elle t’aura servi à comprendre la notion d’asymptote verticale et d’asymptote horizontale. Si tu veux t’exercer, tu peux télécharger la feuille d’exercices qui est juste en-dessous de la vidéo et tu peux également télécharger le corrigé pour vérifier tes erreurs. Voilà je te remercie d’avoir suivi cette vidéo sur bossetesmaths.com et je te dis à très très bientôt, salut !